幻灯片 1第三节 平面向量的数量积
----
幻灯片 2三年24考 高考指数:★★★★
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
5.会用向量方法解决简单的平面几何问题.
----
幻灯片 31.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点；
2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.
----
幻灯片 41.平面向量的数量积
(1)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为
θ，则向量a与b的数量积是数量_________，记作a·b，即
a·b =_________.
(2)向量的投影
设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是_______；
向量b在a方向上的投影是__________.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度 与_____
____________________的乘积.
----
幻灯片 5【即时应用】
(1)已知正三角形ABC的边长为1，则
① =_________；
② 在 方向上的投影为__________.
(2)已知 ，则向量 的夹角θ等于
__________.
----
幻灯片 6【解析】(1)①
② 在 方向上的投影为 cosA=1·cos60°= .
(2)∵
又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.
答案：(1)① ② (2)60°
----
幻灯片 72.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a,b的夹角.
x1x2+y1y2=0
----
幻灯片 8【即时应用】
(1)思考：若a·b<0，是否说明向量a和b的夹角为钝角？
提示：不一定，也可能是平角.
(2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判断下列命题的真假(请在
括号内填“真”或“假”)
① ( )
②若θ为向量a、b的夹角，则 ( )
③若 则λ=1 ( )
④ ( )
----
幻灯片 9【解析】① 故①真.
② ②真.
③∵ =(1,-1)+λ(2,4)=(2λ+1,4λ-1)，
∴ =(2λ+1)-(4λ-1)=-2λ+2=0，
∴λ=1,③真.
④a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)，
∴(a+b)·(4a+b)=3×6+3×0=18,④真.
答案：①真 ②真 ③真 ④真
----
幻灯片 103.平面向量数量积的运算律
(1)交换律：
(2)数乘结合律： =_______=_______;
(3)分配律： =_________.
----
幻灯片 11【即时应用】
(1)思考： 与 相等吗？
提示：不一定相等，∵ 均为实数，∴
，所以 与 不一定相等.
(2)若非零向量a,b满足 则a与b的
夹角为_________.
----
幻灯片 12【解析】设a,b的夹角为θ，
∵
∴
又∵ ≠0，0°≤θ≤180°，
∴cosθ=- ,∴θ=120°.
答案：120°
----
幻灯片 13 平面向量数量积的运算
【方法点睛】 1.平面向量的数量积问题类型及求法
(1)已知向量a、b的模及夹角θ，利用公式
求解；
(2)已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.
----
幻灯片 142.利用数量积求解长度问题的处理方法
(1)
(2)
(3)若a=(x,y),则|a|=
----
幻灯片 15【例1】(1)(2011·大纲版全国卷)设向量a,b满足
则 =( )
(A) (B) (C) (D)
(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设
则 =________.
(3)(2011·辽宁高考改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),
则 =________.
----
幻灯片 16【解题指南】(1)借助 求解；
(2)用基向量 表示向量 ；
(3)借助 求k，进而求
【规范解答】(1)选B.∵
∴
----
幻灯片 17(2)由题意画出图形如图所示，取基底 ，结合图形可
得
∴
=
=
答案：
----
幻灯片 18(3) =2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)，
由 得 =10+(2-k)=0,
∴k=12,
∴ =(-1,12),
∴
答案：-140
----
幻灯片 19【互动探究】若本例(2)题条件改为“若D、E分别为边BC、
AC的中点”，又该如何求 ？
【解析】∵D、E分别为BC、AC的中点，
∴
∴
----
幻灯片 20【反思·感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角；二是利用坐标来计算.对于第一种形式，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.
----
幻灯片 21【变式备选】在□ABCD中，AC为一条对角线，若 =
(2，4)， =(1，3)，则 =________.
【解析】∵
∴
∴
答案：8
----
幻灯片 22 平面向量的垂直问题
【方法点睛】两向量垂直的判断方法及应用
(1)若a,b为非零向量，则 ；若非零向量a=(x1,
y1),b=(x2,y2),则 ⇔x1x2+y1y2=0.
(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.
【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.
----
幻灯片 23【例2】已知 若△AOB是以
O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量 .
【解题指南】设出向量b=(x,y)，利用
列出方程组，求出b.
【规范解答】方法一：设向量b=(x,y),则
由题意可知,
从而有：
----
幻灯片 24
解得 或
所以 或
----
幻灯片 25方法二：设向量b=(x,y)，依题意，
则
所以
所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量，
即有
解得 或
----
幻灯片 26【反思·感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题.化形为数，从而使向量问题数字化.
----
幻灯片 27【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、
B(2,3)、C(－2,－1).
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足 求t的值.
【解析】(1)由题设知 =(3,5), =(-1,1),
则
所以
故所求的两条对角线的长分别为
----
幻灯片 28(2)由题设知： =(－2,－1)，
由
即(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
从而5t=-11,所以t=- .
----
幻灯片 29 平面向量的夹角的求法
【方法点睛】求向量夹角的方法
(1)利用向量数量积的定义知， 其中两向量夹
角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：
或者找出这三个量之间的关系.
(2)利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
----
幻灯片 30(3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理，三角形的面积公式等求解.
【提醒】a·b>0⇔0°≤θ<90°(a·b<0⇔90°<θ≤180°)，
即a·b>0(<0)是θ为锐角(钝角)的必要而不充分条件.
----
幻灯片 31【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),
则2a+b与a-b的夹角等于( )
(A) (B) (C) (D)
(2)(2011·浙江高考)若平面向量 满足 且以向
量 为邻边的平行四边形的面积为 ，则 的夹角θ的
取值范围是________.
----
幻灯片 32【解题指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐
标公式求夹角.
(2)利用平行四边形的面积可得出sinθ的范围，进而求出夹
角θ的范围.
【规范解答】(1)选C.∵ 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，
a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)，
∴
----
幻灯片 33又θ∈［0，π］，∴θ= .
(2)由 可得，
答案：
----
幻灯片 34【互动探究】若将本例(1)题干中向量a改为(1，k)，k≠-1，
且 的夹角为锐角，则如何求实数k的取值范围？
【解析】2a+b=(3,2k-1), a-b=(0,k+1)，
∵k≠-1,∴2a+b、a-b均不是零向量，且夹角为锐角，
∴(2a+b)·(a-b)>0，
即(2k-1)(k+1)>0,∴k<-1或k> ,
当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)×0=0,
∴k=-1又k≠-1,∴2a+b与a-b不共线，
故k的取值范围为：k<-1或k> .
----
幻灯片 35【反思·感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cosθ,进而求θ，要注意θ∈［0,π］.
----
幻灯片 36【变式备选】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosθ，sinθ)，O为坐标原点，
(1) 求sin2θ的值.
(2)若 ,且θ∈(-π,0),求 与 的夹角.
【解析】(1)
----
幻灯片 37∴sinθ+cosθ= ，∴1+2sinθcosθ= ，
∴
(2)∵ =(2,0), =(cosθ,sinθ)，
∴ =(2+cosθ,sinθ)，
∴
即4+4cosθ+cos2θ+sin2θ=7
∴4cosθ=2即cosθ= .
∵-π<θ<0,∴θ=- .
----
幻灯片 38又∵
设α为 与 的夹角，
∴
∴α= .
----
幻灯片 39【满分指导】平面向量主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理.
【解题指南】利用向量数量积证明，由
把 展开利用 代入，即可
证明.
----
幻灯片 40【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在
△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，有
a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC. ………………………………………… 4分
证明：如图，
----
幻灯片 41 ………………………… 8分
=b2-2bccosA+c2，
即a2=b2+c2-2bccosA， …………………………………… 10分
同理可证b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC. …………………………………………12分
----
幻灯片 42【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
----
幻灯片 431.(2011·重庆高考)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b
与a共线，那么a·b的值为( )
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
【解析】选D.a+b=(3,2+k),因为a+b与a共线，所以
2+k-3k=0,解得k=1,所以a·b=1×2+1×2=4.
----
幻灯片 442.若非零向量a,b,c满足a∥b且a⊥c，则 =
( )
(A)4 (B)3
(C)2 (D)0
【解析】选D.∵a∥b且a⊥c，∴ 从而
∴
----
幻灯片 453.(2011·辽宁高考)若a，b，c均为单位向量，且
则 的最大值为( )
(A) (B)1 (C) (D)2
【解析】选B.由
得
又 且 均为单位向量，得
故 的最大值为1.
----
幻灯片 464.(2012·福州模拟)若向量a＝(1，1)，b=(-1，2)，则a·b等于________.
【解析】∵a=(1，1)，b=(-1，2)，
∴a·b=(1，1)·(-1，2)=1×(-1)+1×2=-1+2=1.
答案：1
----
幻灯片 475.(2011·上海高考)在正三角形ABC中，D是BC上的点.
若AB=3，BD=1，则 =________.
【解析】∵
∴
=
=
答案：
----
【点此下载】