幻灯片 1第五节 数系的扩充与复数的引入
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幻灯片 2三年30考 高考指数:★★★★★
1.理解复数的基本概念；
2.理解复数相等的充要条件；
3.了解复数的代数表示形式及其几何意义；
4.会进行复数代数形式的四则运算;
5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.
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幻灯片 31.复数的基本概念是考查的重点.
2.复数代数形式的乘除运算、复数相等是考查的重点，也是热点.
3.题型以客观题为主.
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幻灯片 41.复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，其中实部是__，虚部是__.
(2)复数的分类
a
b
b=0
b≠0
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幻灯片 5(3)复数相等：a+bi=c+di⇔_______(a,b,c,d∈R).
(4)共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔_______(a,b,c,d∈R).
(5)复数的模
向量 的长度叫做复数z=a+bi的模，记作____或_______，
即|z|=|a+bi|= ________(a,b∈R).
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幻灯片 6【即时应用】
判断下列命题是否正确？(请在括号中填写“√”或“×”)
(1)若3+(2+x)i为实数(x∈R),则x=-2. ( )
(2)已知x,y∈R,若(x+2)+yi=3+2i，则x=1,y=2. ( )
(3)2i+3的共轭复数为-3+2i. ( )
(4)|1+i|＞|2-i|. ( )
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幻灯片 7【解析】(1)3+(2+x)i若为实数，则2+x=0,∴x=-2,故(1)正确.
(2)由复数相等知， ，∴ ，故(2)正确.
(3)2i+3的共轭复数为-2i+3,故(3)错误.
(4)|1+i|= ,|2-i|= ,故(4)错误.
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
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幻灯片 82.复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立____________来表示复数的平面叫
做复平面.
(2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_____,y轴叫做_____，
实轴上的点都表示_____；除原点以外，虚轴上的点都表示
_______.
(3)复数的几何表示：
复数z=a+bi 复平面内的点_______
平面向量_____.
直角坐标系
实轴
虚轴
实数
纯虚数
Z(a,b)
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幻灯片 9【即时应用】
判断下列命题是否正确？(请在括号内填写“√”或“×”)
①原点是实轴与虚轴的交点 ( )
②1+ 对应的点位于第四象限 ( )
③若z=3+2i，则 在复平面上对应的点在第三象限 ( )
【解析】①原点在实轴上，且在虚轴上，故①正确；②∵1+
=1-i,1-i对应点为(1,-1)在第四象限，故②正确；③由 =
3-2i知③不正确.
答案：①√ ②√ ③×
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幻灯片 103.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_____________;
②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_____________;
③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=_________________;
④除法： =_________________
(c+di≠0).
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
(ac-bd)+(ad+bc)i
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幻灯片 11(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，
都有z1+z2=______,(z1+z2)+z3=____________.
z2+z1
z1+(z2+z3)
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幻灯片 12【即时应用】
(1)设z=3i+2,则1- =________.
(2)1+i+i2+i3=_________.
(3) 为实数，则实数a=_________.
(4) +(3+i)(1-i)=_________.
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幻灯片 13【解析】(1)∵z=3i+2,∴ =2-3i,1- =1-(2-3i)=-1+3i
(2)1+i+i2+i3=1+i-1-i=0
(3)∵ 为实数，
∴ (1-a)=0,∴a=1.
(4)原式
= +(4-2i)=(1+2i)+(4-2i)=5.
答案：(1)-1+3i (2)0 (3)1 (4)5
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幻灯片 14 复数的有关概念
【方法点睛】解决有关复数概念问题的方法
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数的模公式求解.
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幻灯片 15【提醒】解题时，需注意两方面问题：一是正确理解和表达
有关概念，如a+bi为实数的条件，其共轭复数是什么,a+bi的
虚部是什么等;二是加强复数代数形式的四则运算的熟练程度.
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幻灯片 16【例1】(2011·安徽高考)设i是虚数单位，复数 为纯虚
数，则实数a为( )
(A)2 (B)-2
(C)- (D)
【解题指南】先把复数化成a+bi(a,b∈R)的形式，再根据
复数为纯虚数的概念列出关于a的条件去解答即可.
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幻灯片 17【规范解答】选A.
又 是纯虚数，
则 所以a=2.
【反思·感悟】处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部与虚部，从定义出发解决问题.
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幻灯片 18【变式训练】已知复数z= +(a2-5a-6)i(a∈R),
试求实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；
(2)纯虚数.
【解析】(1)当z为实数时，则有
∴ .∴a=6,
即a=6时，z为实数.
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幻灯片 19(2)当z为纯虚数时，则有
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数.
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幻灯片 20 复数的几何意义
【方法点睛】复数的几何意义及应用
(1)|z|表示复数z对应的点与原点的距离.
|z1-z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离.
(2)结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方法更灵活.
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幻灯片 21【例2】(1)(2011·山东高考)复数z= (i为虚数单位)
在复平面内对应的点所在象限为( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
(2)若i为虚数单位，图中复平面内
点Z表示复数z，则表示复数 的
点是( )
(A)E (B)F
(C)G (D)H
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幻灯片 22(3)如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3+2i,
-2+4i,试求：
① 对应的复数， 对应的复数；
② 对应的复数.
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幻灯片 23【解题指南】(1)(2)两题解题的关键是把所给复数化成a+bi
(a,b∈R)的形式，再利用复数的几何意义求解.(3)利用 对
应的复数等于点A对应的复数减去点C对应的复数和向量的运算
去解决.
【规范解答】(1)选D.
所以复数z所对应的点在第四象限.
(2)选D.由图可得z=3+i,
对应的点为(2,-1)，即点H.
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幻灯片 24(3)①
∴ 对应的复数为-3-2i.
∵ ，∴ 对应的复数为-3-2i.
②
∴ 对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
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幻灯片 25【互动探究】本例(3)题中，已知条件不变，若设P为复平
面上一点且满足 如何求解P点的轨迹方程.
【解析】设P代表的复数为z=x+yi(x,y∈R).
∴P点轨迹是以原点为圆心，以 为半径的圆，
故点P的轨迹方程为x2+y2=29.
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幻灯片 26【反思·感悟】解决此类问题，一方面要了解复数的几何意义(如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置)，了解复数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形式的四则运算.
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幻灯片 27【变式备选】1.若(2+ i)·z=- i，则复数z对应的点在复平面内的( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
【解析】选C.由 可知，复数
z对应的点在复平面内的第三象限.
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幻灯片 282.虚数(x-2)+yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，
的取值范围是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
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幻灯片 29【解析】选B.
∵
设k= ,
则k为过圆(x-2)2+y2=1上点及原点的直线的斜率，如图,
设圆(x-2)2+y2=1的圆心为M，过原点作圆M的切线OA，则
sin∠AOM= .
∴∠
又∵y≠0,∴k≠0.由对称性可知选B.
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幻灯片 30 复数的代数运算
【方法点睛】1.复数的代数运算技巧
复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类，不含i的看作另一类，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧.
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幻灯片 312.几个常用结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.
(1)
(2)-b+ai=i(a+bi);
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
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幻灯片 32【例3】(1)(2011·重庆高考)复数 =( )
(A) (B)
(C) (D)
(2)(2011·湖北高考)i为虚数单位，则 =( )
(A)-i (B)-1 (C)i (D)1
(3)(2011·浙江高考)把复数z的共轭复数记作 ,i为虚数
单位.若z=1+i,则(1+z)· =( )
(A)3-i (B)3+i
(C)1+3i (D)3
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幻灯片 33【解题指南】根据复数的四则运算法则求解.
【规范解答】(1)选C.
(2)选A.( )2 011=i2 011=i3=-i.
(3)选A.(1+z)· = +|z|2=1-i+2=3-i.
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幻灯片 34【互动探究】本例(3)中题干不变，若 =2+i，则复数
z=________.
【解析】 =(1+i)·(2+i)=1+3i,∴z=1-3i.
答案：1-3i
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幻灯片 35【反思·感悟】进行复数代数形式的四则运算，一方面要严
格执行运算法则；另一方面也要注意一些常用的运算技巧，
如本题中的 =i的性质，其实复数的除法运算就是分母实
数化的运算.
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幻灯片 36【变式备选】1.复数 的值是( )
(A)-1 (B)1 (C)-i (D)i
【解析】选A.
=-1，故选A.
2.复数 =( )
(A)0 (B)2 (C)-2i (D)2i
【解析】选D.
故选D.
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幻灯片 373.设z=1+i，则 +z2=( )
(A)-1-i (B)-1+i
(C)1-i (D)1+i
【解析】选D.
故选D.
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幻灯片 38【创新探究】复数命题新动向
【典例】(2011·陕西高考)设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,
x∈R},N={x||x- |＜ ，i为虚数单位，x∈R},则M∩N
为( )
(A)(0,1) (B)(0,1］
(C)［0,1) (D)［0,1］
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幻灯片 39【解题指南】集合M为函数值域，N为不等式的解集，其中
为复数的模，弄清集合的元素是解题的关键.
【规范解答】选C.∵y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|∈［0,1］,所
以M=［0,1］,
又∵
∴N=(-1,1),M∩N=［0,1),故选C.
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幻灯片 40【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到如下创新点拨和备考建议:
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幻灯片 411.(2011·天津高考)i是虚数单位，复数 =( )
(A)2+i (B)2-i
(C)-1+2i (D)-1-2i
【解析】选B.
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幻灯片 422.(2011·福建高考)i是虚数单位，1+i3等于( )
(A)i (B)-i (C)1+i (D)1-i
【解析】选D.1+i3=1-i.
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幻灯片 433.(2011·湖南高考)若a,b∈R,i为虚数单位，且(a+i)i=b+i,则( )
(A)a=1,b=1 (B)a=-1,b=1
(C)a=-1,b=-1 (D)a=1,b=-1
【解析】选D.∵(a+i)i=b+i,∴-1+ai=b+i,再根据复数相等的充要条件得a=1,b=-1.
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幻灯片 444.(2011·新课标全国卷)复数 的共轭复数是( )
(A)- i (B) i
(C)-i (D)i
【解析】选C.
∴ 的共轭复数是-i.
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幻灯片 455.(2011·江苏高考)设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i是虚数
单位)，则z的实部是_________.
【解析】方法一：设z=a+bi(a,b∈R),则i(z+1)=i(a+1+bi)
=-b+(a+1)i=-3+2i,所以a=1,b=3,复数z的实部是1.
方法二：∵i(z+1)=-3+2i,∴
=(-3+2i)(-i)-1=1+3i,
∴复数z的实部为1.
答案：1
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