幻灯片 1第一节 数列的概念与简单表示法
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幻灯片 2三年2考 高考指数:★
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.
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幻灯片 31.根据数列的递推关系求通项公式和已知前n项和Sn求an是高考考查的重点.
2.多在解答题中出现，属中档题目.
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幻灯片 41.数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义
①数列：按照_________排列的一列数.
②数列的项：数列中的___________.
一定顺序
每一个数
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幻灯片 5(2)数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
项与项间
的大小关系
有穷数列
无穷数列
递增数列
递减数列
常数列
项数_____
项数_____
an+1___an
an+1___an
an+1= an
其中
n∈N*
有限
无限
>
<
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幻灯片 6(3)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与_______之间的关系可以用一个式子来
表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
序号n
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幻灯片 7【即时应用】(1)思考：数列的通项公式是唯一的吗？是否每个数列都有通项公式？
提示:不唯一，如数列-1,1,-1,1，…的通项公式可以是an=
(-1)n(n∈N*)，也可以是 有的数列没有通
项公式.
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幻灯片 8(2)判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}.( )
②数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列.( )
③数列 的第k项为 ( )
④数列0,2,4,6,…可记为{2n}.( )
【解析】由数列的定义可知①、②错误；数列 的第k项
为 故③正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为an
＝2n－2，故④错．综上知，③正确；①,②,④错误.
答案：①× ②× ③√ ④×
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幻灯片 9(3)若数列{an}的通项公式为 那么这个数列是_____数
列.(填“递增”，“递减”，“摆动”)
【解析】方法一：令f(x)= 则f(x)= 在(0，+∞)
上是增函数，则数列{an}是递增数列.
方法二：∵
∴an+1>an.∴数列{an}是递增数列.
答案：递增
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幻灯片 10(4)数列9，99，999，…的通项公式an=_______.
【解析】9=10-1，99=102-1，999=103-1，…,
∴an=10n-1.
答案：10n-1
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幻灯片 112.数列的递推公式
如果已知数列{an}的________(或_______)，且任何一项an与它
的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即
an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推
公式.
第一项
前几项
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幻灯片 12【即时应用】(1)已知数列{an}中，a1＝1， 则a5＝_______.
(2)数列{an}满足a1＝0，an+1＝an＋2n，则{an}的通项公式an＝
_______.
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幻灯片 13【解析】(1)
(2)由已知，an+1－an＝2n，
故an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)
＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)．
答案: (1) (2)n(n－1)
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幻灯片 143.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则
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幻灯片 15【即时应用】(1)数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=_______.
(2)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=nan,则an=_______.
【解析】(1)当n=1时，a1=S1=2;
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+1)-［(n-1)2+1］
=n2-(n-1)2=2n-1,
将n=1代入an=2n-1得a1=1≠2.
∴
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幻灯片 16(2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,
∴an=an-1(n≥2)，又∵a1=1,
∴an=1.
答案：(1) (2)1
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幻灯片 17 已知数列的前几项归纳数列的通项公式
【方法点睛】求数列的通项时，要抓住以下几个特征
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.
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幻灯片 18【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.
(1)-1,7,-13,19,…
(2)0.8,0.88,0.888,…
(3)
【解题指南】(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑.
(2)从考虑数列0.8,0.88,0.888,…和数列0.9,0.99,0.999,…的关系着手.
(3)分子规律不明显，从考虑分子与分母的关系着手.
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幻灯片 19【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值
总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(2)数列变为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),…,
∴
(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4
项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为
原数列化为
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幻灯片 20【反思·感悟】1.解答本题(3)时有两个困惑：一是首项的符号，二是各项分子规律不明显.解答时从分子与分母的关系入手，是求解的关键.
2.归纳通项公式应从以下四个方面着手：
(1)观察项与项之间的关系；
(2)符号与绝对值分别考虑；
(3)分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系；
(4)规律不明显时适当变形.
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幻灯片 21【变式训练】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式.
(1)3,5,7,9，….
(2)
(3)
【解析】(1)各项减去1后为正偶数,∴an=2n+1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，….
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幻灯片 22(3)各项负正相间，故通项公式中含有因式(-1)n，各项绝对值的分母组成数列{n},分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3.即奇数项为2-1，偶数项为2+1.
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幻灯片 23【变式备选】根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式.
(1)2，5，8，11；
(2)1，4，9，16.
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幻灯片 24【解析】(1)∵a1=3×1-1=2
a2=3×2-1=5
a3=3×3-1=8
a4=3×4-1=11
∴an=3n-1.
(2)∵a1=12=1
a2=22=4
a3=32=9
a4=42=16.∴an=n2.
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幻灯片 25 已知Sn求an
【方法点睛】已知Sn求an时应注意的问题
(1)应重视分类讨论思想的应用，分n=1和n≥2两种情况讨论；
特别注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.
(2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时，a1也适合“an式”，则需统
一“合写”.
(3)由Sn-Sn-1=an推得an，当n=1时，a1不适合“an式”，则数列
的通项公式应分段表示(“分写”)，即
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幻灯片 26【例2】已知数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.
(1)Sn=2n2+3n；(2)Sn=3n+1.
【解题指南】解决本题的关键是明确通项公式an与前n项和Sn的
关系，利用 进行求解.
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幻灯片 27【规范解答】(1)由题可知，当n=1时，a1=S1=2×12+3×1=5，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-［2(n-1)2+3(n-1)］=4n+1.
当n=1时，4×1+1=5=a1,∴an=4n+1.
(2)当n=1时，a1=S1=3+1=4，
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.
当n=1时，2×31-1=2≠a1，
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幻灯片 28【反思·感悟】解答此类题目易犯的错误是没有分n=1和n≥2两种情况求解，而是直接根据an=Sn-Sn-1求得an.
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幻灯片 29【变式训练】已知数列{an}的前n项和为Sn，求下列条件下数列的通项公式.
(1)Sn=2·5n-2;
(2)Sn=2·3n-1-1.
【解析】(1)当n=1时，
a1=S1=2×5-2=8.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2·5n-2-2·5n-1+2=8·5n-1.
∴当n=1时,8×５１-１=8=a1，故an=8·5n-1.
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幻灯片 30(2)当n=1时，a1=S1=1,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2·3n-1-1-(2·3n-2-1)=2·3n-1-2·3n-2
=2·3n-2·(3-1)
=4·3n-2.
当n=1时， 故数列{an}的通项公式为：
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幻灯片 31 由递推公式求数列的通项公式
【方法点睛】1.“累加法”求an
已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2)，可以用“累加法”，即an-an-1
=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).
所有等式左右两边分别相加，代入a1得an.
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幻灯片 322.“累乘法”求an
已知a1且 可以用“累乘法”，即
所有等式左右两边分别相乘，代入a1得an.
【提醒】在求解出通项公式后，记得验证a1是否满足公式.
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幻灯片 33【例3】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式.
【解题指南】(1)求an-an-1，累加求和并验证n=1的情形.
(2)求 累乘求积并验证n=1的情形.
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幻灯片 34【规范解答】(1)∵
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幻灯片 35(2)
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幻灯片 36【互动探究】将本例(1)中 改为
如何求解？
【解析】
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幻灯片 37【反思·感悟】解答此类题目应注意两个方面的问题：一是何时应用“累加”或“累乘”法，可从所给递推公式的结构上分析.二是如何“累加”或“累乘”，这是求通项公式an的关键，应注意对“累加”式或“累乘”式的变形.
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幻灯片 38【变式备选】求出满足条件a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*)的数列的通项公式.
【解析】由题意得，an-an-1=2n-3(n≥2),∴an=a1+(a2-a1)+… +(an-an-1)=0+1+3+…+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2，又a1=0适合上式，所以数列的通项公式为an=(n-1)2.
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幻灯片 39【易错误区】忽视数列的项数n的范围致误
【典例】(2012·大连模拟)已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=
2n,则 的最小值为______.
【解题指南】先用“累加法”求出an，再根据 的单调性求
最小值.
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幻灯片 40【规范解答】∵an+1-an=2n，∴an-an-1=2(n-1)，
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(2n-2)+(2n-4)+…+2+33=n2-n+33(n≥2)，
又a1=33适合上式，
令f(x)=x+ -1(x>0),则f′(x)=
令f′(x)=0得
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幻灯片 41∴当0 时，f′(x)>0，
即f(x)在区间(0， )上递减；在区间( ，+∞)上递增.又
5< <6，
且
∴f(5)>f(6)，∴当n=6时， 有最小值
答案：
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幻灯片 42【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 43----
幻灯片 441.(2012·珠海模拟)设数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a7的
值为( )
(A)13 (B)14 (C)15 (D)16
【解析】选B.a7=S7-S6=(72+7)-(62+6)=14.
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幻灯片 452.(2012·中山模拟)数列 的第10项是( )
【解析】选C.由已知得数列的通项公式
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幻灯片 463.(2012·杭州模拟)已知数列{an}，若a1=b(b>0),
(n∈N*),则能使an=b成立的n的值可能是( )
(A)14 (B)15 (C)16 (D)17
【解析】选C.
故数列{an}是以3为周期的数列.
∴a16=a1=b.
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幻灯片 474.(2011·浙江高考)若数列{n(n+4)( )n}中的最大项是第k项，则k=_______.
【解析】由题意得不等式组
解得 故k=4.
答案：4
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