幻灯片 1第二节 等差数列及其前n项和
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幻灯片 2三年19考 高考指数:★★★★
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等差数列与一次函数的关系.
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幻灯片 31.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点；
2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；
3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主.
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幻灯片 41.等差数列的定义
(1)条件：一个数列从_________，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.
(2)公差：是指常数，一般用字母d表示.
(3)定义表达式：_________(n∈N*).
第2项起
an+1-an=d
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幻灯片 5【即时应用】判断下列数列是否为等差数列.(请在括号中填写“是”或“否”)
(1)数列 ( )
(2)数列a，2a，3a，4a，… ( )
(3)数列{an}满足an=an-1+1(n≥2,n∈N*) ( )
(4)数列{an}满足an+1=an+1(n≥2,n∈N*) ( )
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幻灯片 6【解析】根据等差数列的定义知，(2)(3)是等差数列，
(1)不是等差数列，(4)中数列{an}从第2项起满足等差数列的定义，第1项不一定满足，故不是等差数列.
答案：(1)否 (2)是 (3)是 (4)否
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幻灯片 72.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=
__________.
a1+(n-1)d
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幻灯片 8【即时应用】(1)在等差数列{an}中，a5=10,a12=31,则数列的通项公式为________.
(2)等差数列10，7，4，…的第20项为________.
【解析】(1)∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,
∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×3=3n-5.
(2)由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得
a20=10+(20-1)×(-3)=-47.
答案：(1)an=3n-5 (2)-47
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幻灯片 93.等差中项
若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A= .
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幻灯片 10【即时应用】(1)A= 是a，A，b成等差数列的_______条
件.
(2)若等差数列{an}的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五
项为_______.
【解析】(1)若A= 可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以a,A,
b成等差数列；反之，若a,A,b成等差数列，则A= 故A=
是a，A，b成等差数列的充要条件.
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幻灯片 11(2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即
解得a=0,故数列{an}的前三项依次为0，1，2，则a5=0+4×1=4.
答案：(1)充要 (2)4
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幻灯片 124.等差数列的前n项和公式
(1)已知等差数列{an}的首项a1和第n项an,则其前n项和公式
Sn= .
(2)已知等差数列{an}的首项a1与公差d，则其前n项和公式
Sn= .
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幻灯片 13【即时应用】(1)在等差数列{an}中，a1=5,an=95,n=10,则Sn
=_______.
(2)在等差数列{an}中，a1=100,d=-2,n=50,则Sn=_______.
(3)在等差数列{an}中，d=2,n=15,an=-10,则Sn=________.
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幻灯片 14【解析】(1)
(2) (100-
49)=2 550.
(3)由an=a1+(n-1)d得,
-10=a1+(15-1)×2,解得a1=-38,
答案：(1)500 (2)2 550 (3)-360
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幻灯片 15 等差数列的基本运算
【方法点睛】1.等差数列运算问题的通法
等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
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幻灯片 162.等差数列前n项和公式的应用方法
等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n
项an，则利用 该公式经常和等差数列的性质结
合应用.如果已知项数n、首项a1和公差d，则利用Sn=na1+
在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项
公式结合使用.
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幻灯片 17【例1】(1)(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=________.
(2)(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_____升.
(3)(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1=1,a3=-3.
①求数列{an}的通项公式；
②若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.
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幻灯片 18【解题指南】(1)根据S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k.
(2)转化为关于a1,d的方程组，先求a1,d,再求a5，或直接转
化为关于a5,d的方程组求解.
(3)求出公差d后直接写出an，求出Sn，根据Sk=-35求k的值.
【规范解答】(1)∵S4=S9,
解得 则
由ak+a4=0，得
∴k=10.
答案：10
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幻灯片 19(2)方法一：设自上第一节竹子容量为a1,依次类推，数列{an}为等差数列.
又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,
a7+a8+a9=3a1+21d=4.
解得
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幻灯片 20方法二：设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9,且数列{an}为等差数列.
a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,
即4a5-10d=3 ①
3a5+9d=4 ②
联立①②解得
答案：
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幻灯片 21(3)①设等差数列{an}的公差为d，
由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3，解得d=-2.
从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
②由①知an=3-2n,
由Sk=-35得2k-k2=-35.
即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5.
又k∈N*,故k=7.
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幻灯片 22【互动探究】本例第(3)题中，若将“a1=1,a3=-3”改为“a1=31,S10=S22”，试求
①Sn;
②这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值.
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幻灯片 23【解析】①∵S10=a1+a2+…+a10,
S22=a1+a2+…+a22，又S10=S22，
∴a11+a12+…+a22=0，
即a11+a22=2a1+31d=0,
又a1=31,∴d=-2,
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幻灯片 24②方法一：由①知Sn=32n-n2,
∴当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.
方法二：an=a1+(n-1)d=31+(n-1)×(-2)=-2n+33，
由an≥0得，n≤
∴当n=16时Sn有最大值，S16=32×16-162=256.
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幻灯片 25【反思·感悟】1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
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幻灯片 26【变式备选】在等差数列{an}中，
(1)已知a15=33,a45=153,求a66;
(2)已知S8=48,S12=168,求a1和d；
(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.
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幻灯片 27【解析】(1)方法一：设首项为a1,公差为d，依题意得
解方程组得
∴a66=-23+(66-1)×4=237.
方法二：由 得 由an=am+(n-m)d,得
a66=a45+(66-45)×4=237.
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幻灯片 28(2)
解方程组得
(3)∵a6=10,S5=5,
解方程组得
∴a8=a1+7d=-5+7×3=16;
S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3
=44.
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幻灯片 29 等差数列的判定
【方法点睛】等差数列的判定方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立；
(3)通项公式法：验证an=pn+q；
(4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.
【提醒】在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式
和前n项和的公式的方法主要适用于选择题、填空题中的简单判
断.
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幻灯片 30【例2】已知数列{an}中， (n≥2,n∈N*),
数列{bn}满足 (n∈N*).
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.
【解题指南】利用定义法证明数列{bn}是等差数列；先求bn，
再求an,最后利用函数的单调性求最大项和最小项.
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幻灯片 31【规范解答】(1)
又
∴数列{bn}是以 为首项，以1为公差的等差数列.
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幻灯片 32(2)由(1)知 则
设 则f(x)在区间(-∞, )和( +∞)上
为减函数.
∴当n=3时，an取得最小值-1，当n=4时，an取得最大值3.
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幻灯片 33【反思·感悟】本例中在用定义法证明{bn}是等差数列时，不论用bn+1-bn还是用bn-bn-1需要考虑运算中是否包含了b2-b1这一运算.这是容易被忽视的问题.
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幻灯片 34【变式训练】1.已知数列{an}中，a1=-1,an+1·an=an+1-an,则数列{an}的通项公式为_______.
【解析】∵an+1·an=an+1-an
∴数列 是公差为-1的等差数列，且
答案：an=
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幻灯片 352.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn-1=0
(n≥2),
求证： 是等差数列.
【证明】∵an=Sn-Sn-1,且an+2Sn·Sn-1=0(n≥2)，
∴Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0(n≥2)，
又Sn≠0，
∴数列 是以2为首项，2为公差的等差数列.
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幻灯片 36 等差数列的性质及应用
【方法点睛】等差数列的常见性质
(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am+an=ap+aq=2ak.
(2)若{an},{bn}都是等差数列，k,m∈R,数列{kan+mbn}仍为等差数列.
(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍为等差数列(m∈N*).
(4)am=an+(m-n)d⇔d= (m≠n,m,n∈N*)
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幻灯片 37(5)项数为偶数2n的等差数列{an}:
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1).
②S偶-S奇=nd,
(6)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}:
①S2n+1=(2n+1)an+1.②
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幻灯片 38【例3】(1)(2011·辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1,则a5=_______.
(2)已知等差数列{an}中，a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前9项之和等于________.
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n>6),求数列{an}的项数及a9+a10.
【解题指南】(1)根据S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5.
(2)根据S3,S6-S3,S9-S6成等差数列求解.
(3)根据前6项与最后6项的和求出a1+an,再求n及a9+a10.
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幻灯片 39【规范解答】(1)∵S2=S6，
∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0，
∴2(a4+a5)=0,即a4+a5=0，∴a5=-a4=-1.
答案：-1
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幻灯片 40(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S9-S6成等差数列，且S3=40，S6-S3=20.
∴S9-S6=20+(-20)=0，∴S9=S6=60.
答案：60
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幻灯片 41(3)由题意知a1+a2+…+a6=36①
an+an-1+an-2+…+an-5=180②
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216，
∴a1+an=36,
又 ∴18n=324,∴n=18.
∴a1+a18=36,∴a9+a10=a1+a18=36.
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幻灯片 42【互动探究】若本例中第(1)题条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值.
【解析】在本例中第(1)题已求解出a5=-1,
又a4=1,得公差d=-2,∴S4最大.且S4=1+3+5+7=16.
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幻灯片 43【反思·感悟】1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例第(1)、(3)题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2+a5=a7的错误.
2.本例第(2)题也可先求a1,d,再求a7+a8+a9,但不如用性质简单.
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幻灯片 44【变式备选】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2
=0,S2m-1=38,求m的值.
【解析】∵am-1+am+1=2am,∴am-1+am+1-am2=2am-am2=0，
解得am=0或am=2.又∵a1+a2m-1=2am,
×(2m-1)=(2m-1)am=38,
∴am≠0,am=2,
∴2m-1=19,
解得m=10.
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幻灯片 45【满分指导】等差数列主观题的规范解答
【典例】(12分)(2012·广州模拟)已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令 (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
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幻灯片 46【解题指南】(1)分析题意，列方程组求解；
(2)将an代入bn后，表示出bn是解题关键.
【规范解答】(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a3=7，a5+a7=26，所以有
解得a1=3,d=2，…………………………………………3分
所以an=3+2(n-1)=2n+1,
…………………………6分
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幻灯片 47(2)由(1)知an=2n+1，
所以
………………………………………………………………9分
所以
………………………………………………………………11分
即数列{bn}的前n项和 ………………………12分
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幻灯片 48【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 49----
幻灯片 501.(2011·江西高考)设{an}为等差数列，公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10=S11，则a1=( )
(A)18 (B)20 (C)22 (D)24
【解析】选B.因为S10=S11，所以a11=0,
而a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,
所以a1=20.
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幻灯片 512.(2012·临沂模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a7+a11=12，则S13等于( )
(A)52 (B)54 (C)56 (D)58
【解析】选A.∵{an}为等差数列，∴a3+a7+a11=3a7=12，∴a7=4，S13= =13a7=13×4=52.
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幻灯片 523.(2011·天津高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*,若a3=16,S20=20,则S10的值为_______.
【解析】由题意知 解得
答案：110
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幻灯片 534.(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=________.
【解析】∵a2+a8=a4+a6=a3+a7=37，
∴a2+a4+a6+a8=37×2=74.
答案：74
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幻灯片 545.(2012·济南模拟)设同时满足条件：①
(n∈N*);②bn≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列.
(1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3=4,S3=18,求Sn;
(2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由.
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幻灯片 55【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,
解得a1=8,d=-2,
(2)由
得 故数列{Sn}适合条件①.
而 (n∈N*),则当n=4或5时，Sn有最大值20,即Sn≤20,故数列{Sn}适合条件②.
综上,数列{Sn}是“特界”数列.
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