幻灯片 1第三节 等比数列及其前n项和
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幻灯片 2三年13考 高考指数:★★★
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
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幻灯片 31.在考试内容上常以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.重点考查通项公式、前n项和公式，同时考查等差、等比数列的综合应用.
2.在考试形式上主要以选择、填空为主,考查等比数列的性质及其应用.
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幻灯片 41.等比数列的定义
(1)条件：一个数列从第2项起_______________________等于同一个常数.
(2)公比：是指_____，通常用字母q表示(q≠0).
(3)定义表达式: .
每一项与它的前一项的比
常数
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幻灯片 5【即时应用】判断下列数列是否为等比数列(请在括号中填“是”或“否”)
(1)数列1,-1,1,-1,1,… ( )
(2)数列a,a,a,a,a,… ( )
(3)数列{an}满足an=2an-1(n≥2,n∈N*,an≠0) ( )
(4)数列{an}满足an+1=2an(n≥2,n∈N*,an≠0) ( )
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幻灯片 6【解析】(1)是等比数列.
(2)当a=0时，不是等比数列.
(3)符合等比数列的定义，是等比数列.
(4)a2与a1的关系不明确，不一定是等比数列.
答案：(1)是 (2)否 (3)是 (4)否
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幻灯片 72.等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则其通项公式为
__________________.
an=a1qn-1(n∈N*)
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幻灯片 8【即时应用】(1)等比数列4 ,4,2 ,…的第11项为
_______.
(2)在等比数列{an}中，若a3=2,a6=16，则数列的通项公式为
_______.
【解析】(1)
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幻灯片 9(2)设等比数列的公比为q，则 解得
答案:
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幻灯片 103.等比中项
如果_______成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：
G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒________.
a,G,b
G2=a·b
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幻灯片 11【即时应用】(1)b2=ac是a、b、c成等比数列的_______条件.
(2)若等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则它的第5项为_______.
【解析】(1)当a=0,b=0,c=1时，满足b2=ac,但a、b、c不成等比数列,反之，若a、b、c成等比数列，则必有b2=ac,故b2=ac是a、b、c成等比数列的必要不充分条件.
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幻灯片 12(2)由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,
答案: (1)必要不充分 (2)
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幻灯片 134.等比数列的前n项和公式
(1)当公比q=1时,Sn=____.
(2)当公比q≠1时,Sn= = .
na1
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幻灯片 14【即时应用】(1)在等比数列{an}中，a1=2.4,q=-1.5,n=5，
则Sn=_______.
(2)在等比数列{an}中，a1=8,q= an= 则Sn=______;
(3)设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn，则 =______.
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幻灯片 15【解析】(1)
答案:
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幻灯片 16 等比数列的基本运算
【方法点睛】1.等比数列运算的通法
等比数列运算问题的一般方法是设出首项和公比，然后根据通项公式或前n项和公式转化为方程组求解.
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幻灯片 172.等比数列前n项和公式的应用
在使用等比数列的前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q≠1两种情况求解.
【提醒】在运算过程中，应善于运用整体代换的思想简化运算的过程.
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幻灯片 18【例1】(1)已知{an}是各项都为正数的等比数列,Sn是{an}的前n项和,若a1=1,5S2=S4，则a5=_______.
(2)(2011·大纲版全国卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
【解题指南】(1)根据5S2=S4，列方程求公比q.
(2)建立关于a1和q的方程组，求出a1和q后再求an和Sn.
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幻灯片 19【规范解答】(1)设公比为q,则由5S2=S4知q≠1,
又a1=1,∴ ∴q2=4,又q＞0,
∴q=2.∴a5=a1q4=1×24=16.
答案: 16
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幻灯片 20(2)设{an}的公比为q，由题意得
解得 或
当a1=3,q=2时，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1);
当a1=2,q=3时，an=2×3n-1,Sn=3n-1.
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幻灯片 21【互动探究】本例(2)中,若将“a2=6,6a1+a3=30”改为“a1+a2 =12,a2a4=1”，试求an和Sn.
【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意知
或
解得 或
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幻灯片 22当a1=9,q= 时,
当a1=16,q= 时,an=16×
=(-1)n-143-n,
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幻灯片 23【反思·感悟】1.本例(1)只有一解，本例(2)有两组解，在求解过程中，要注意根据题意确定解的个数.
2.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.
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幻灯片 24【变式备选】1.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn=93，an=48，公比q=2，则项数n=________.
【解析】由Sn=93，an=48，公比q=2，根据等比数列的前n项和公式和通项公式可得
答案：5
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幻灯片 252.已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数
列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.
【解析】方法一：设前2个数分别为a，b,则第3、4个数分别
为36-b,37-a，则
解得 或
所以这四个数分别为12,16,20,25或者
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幻灯片 26方法二：设第2、3个数分别为b,c，则第1个数为2b-c，第
4个数为 则 或
所以这四个数分别为12,16,20,25或者
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幻灯片 27方法三：设第1、3个数分别为a,c，则第2、4个数分别为
然后根据题意可知 解得
或者 从而解得这四个数分别为12,16,20,25或者
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幻灯片 28 等比数列的判定与证明
【方法点睛】等比数列的判定方法
(1)定义法：若 (q为非零常数,n∈N*)或 (q为非零常数且n≥2,n∈N*)，则{an}是等比数列.
(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且an+12=an·an+2(n∈ N*)，则数列{an}是等比数列.
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幻灯片 29(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.
【提醒】前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.
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幻灯片 30【例2】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列.
(2)在(1)的条件下证明 是等差数列,并求an.
【解题指南】(1)利用Sn+1=4an+2，寻找bn与bn-1的关系.
(2)先求bn，再证明数列 是等差数列，最后求an.
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幻灯片 31【规范解答】(1)由a1=1,及Sn+1=4an+2,
有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,
∴b1=a2-2a1=3.
由Sn+1=4an+2 ①
知当n≥2时，有Sn=4an-1+2 ②
①-②得an+1=4an-4an-1，
∴an+1-2an=2(an-2an-1)
又∵bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1,
∴{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
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幻灯片 32(2)由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴数列 是首项为 公差为 的等差数列.
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幻灯片 33【反思·感悟】在证明本题时，首先利用转化的思想，把
Sn+1=4an+2转化为an+1与an的关系，然后作商 或
在作商时，无论使用 还是 都要考虑比值中是否
包含了 这一项，这是很容易被忽视的地方.
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幻灯片 34【变式训练】数列{an}的前n项和为Sn，若an+Sn=n,cn=an-1，求证:数列{cn}是等比数列.
【证明】∵an+Sn=n,
∴a1+S1=1,得a1=
∴c1=a1-1= 又an+1+Sn+1=n+1,
∴2an+1-an=1,即2(an+1-1)=an-1.
又∵a1-1=
即
∴数列{cn}是以 为首项，以 为公比的等比数列.
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幻灯片 35 等比数列的性质及应用
【方法点睛】等比数列的常见性质
(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=ak2;
(2)通项公式的推广：an=am·qn-m(m,n∈N*);
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan},
(λ≠0)仍然是等比数列;
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幻灯片 36(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列，公比为qk;
(5)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为-1时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.
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幻灯片 37【例3】(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1·a2·a3 =5,a7·a8·a9=10，则a4·a5·a6=( )
(A)5 (B)7 (C)6 (D)4
(2)已知等比数列{an}满足an＞0，n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n (n≥3)，则log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( )
(A)n(2n-1) (B)(n+1)2 (C)n2 (D)(n-1)2
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幻灯片 38【解题指南】(1)利用a1·a2·a3,a4·a5·a6,a7·a8·a9成等比数列求解.
(2)根据a5·a2n-5=an2先求an，再代入求解.
【规范解答】(1)选A.∵a1·a2·a3,a4·a5·a6,a7·a8·a9成等比数列,
∴(a4·a5·a6)2=(a1·a2·a3)(a7·a8·a9)=50,
又an＞0,
∴a4·a5·a6=5
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幻灯片 39(2)选C.∵a5·a2n-5=an2=22n且an＞0,
∴an=2n,
∴a2n-1=22n-1,
∴log2a2n-1=2n-1,
∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+5+…+(2n-1)=n2.
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幻灯片 40【互动探究】若本例第(1)题条件改为“a1+a2+a3=40,
a4+a5+a6=20”,求数列{an}的前9项之和.
【解析】∵(a1+a2+a3),(a4+a5+a6),(a7+a8+a9)成等比数列,
∴a7+a8+a9=40× =10,
∴S9=40+20+10=70.
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幻灯片 41【反思·感悟】1.解答本例(1)时,也可用整体代入的方法求解,但不如用等比数列的性质简单.
2.利用等比数列的性质解决问题时,一定要注意每一项的下标,不要犯a2·a5=a7的错误.
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幻灯片 42【变式备选】在等比数列{an}中，an＞0，若(2a4+a2+a6)a4 =36，则a3+a5=______.
【解析】∵{an}是等比数列,an＞0,
∴(2a4+a2+a6)a4=
∴a3+a5=6.
答案: 6
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幻灯片 43【创新探究】等比数列与三角函数相结合的创新题
【典例】(2011·福建高考)已知等比数列{an}的公比q=3,前
3项和
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若函数f(x)=Asin(2x+φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x= 处
取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式.
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幻灯片 44【解题指南】(1)先求a1，再求an.
(2)先求出a3，从而A可知，再根据f(x)的图象过点( A),求
φ.
【规范解答】(1)由q=3,
解得
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幻灯片 45(2)由(1)知an=3n-2,∴a3=3.
∵函数f(x)的最大值为3,所以A=3.
∵当x= 时,f(x)取得最大值,
∴sin(2× +φ)=1.
又0＜φ＜π,∴φ=
∴函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+ ).
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幻灯片 46【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：
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幻灯片 47----
幻灯片 481.(2011·辽宁高考)若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公
比为( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
【解析】选B.因为等比数列{an}满足anan+1=16n, ①
所以an+1an+2=16n+1 ②
②÷①得q2=16.又因为anan+1=16n＞0,所以q=4.
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幻灯片 492.(2012·巢湖模拟)在等比数列{an}中，a1+a2=1,a3+a4=2,则a5+a6+a7+a8=( )
(A)10 (B)11 (C)12 (D)14
【解析】选C.由题意知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列,
∴a5+a6=2×2=4,a7+a8=4×2=8.
∴a5+a6+a7+a8=4+8=12.
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幻灯片 503.(2012·福州模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2=_________.
【解析】依题设有：a22=a1·a5，
即(a1+2)2=a1(a1+8)，
∴a12+4a1+4=a12+8a1，
∴a1=1，a2=3.
答案：3
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幻灯片 514.(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1= a4=4,则
公比q=_______;a1+a2+…+an=________.
【解析】
答案：2
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