幻灯片 1第五节 合情推理与演绎推理
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幻灯片 2三年21考 高考指数:★★★★
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
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幻灯片 31.归纳推理与数列相结合问题是考查重点；
2.类比推理、演绎推理是重点，也是难点；
3.以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答题的形式考查演绎推理，题目难度不大，多以中低档题为主.
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幻灯片 41.推理
(1)定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.
(2)分类：推理一般分为__________与__________两类.
合情推理
演绎推理
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：一个推理是由几部分构成的？
提示：从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论.
(2)数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于______.
【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12，所以x=32.
答案：32
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幻灯片 6(3)已知数列 则 是第______项.
【解析】由题可知该数列的第n项 由
得2n-1=45，∴n=23.
答案：23
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幻灯片 72.合情推理
全部对象都
具有这些特征
一般结论
某些已知特征
部分
整体
个别
一般
特殊
特殊
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幻灯片 8----
幻灯片 9【即时应用】
(1)判断下列命题是否正确(请在括号中填√或×)
①(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn; ( )
②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比，则有sin(α+β)=sinαsinβ; ( )
③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.
( )
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幻灯片 10(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积的比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积的比为_______.
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幻灯片 11【解析】(1)①错.(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2;
②错.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ≠sinαsinβ;
③对.(a+b)2=(a+b)•(a+b)=a2+2a•b+b2满足向量数量积的运算.
(2)两个正四面体的棱长的比为1∶2，则其高之比为1∶2，底
面积之比为1∶4，故其体积的比为1∶8.
答案：(1)①× ②× ③√ (2)1∶8
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幻灯片 123.演绎推理
(1)定义：从______________出发，推出_____________下的
结论，我们把这种推理称为演绎推理.
(2)特点：演绎推理是由____________的推理.
一般性的原理
某个特殊情况
一般到特殊
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幻灯片 13(3)模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式：
一般原理
特殊情况
M是P
S是M
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幻灯片 14【即时应用】
(1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，判断下列说法的真假(填“真”或“假”)
①使用了归纳推理 ( )
②使用了类比推理 ( )
③使用了演绎推理 ( )
④使用了“三段论”但推理形式错误 ( )
⑤使用了“三段论”但小前提错误 ( )
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幻灯片 15(2)判断下列推理过程是否是演绎推理(请在括号中填“是”或“否”)
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180° ( )
②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班级人数超过50人 ( )
③由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 ( )
④在数列{an}中，a1=1, (n≥2,n∈N*)，由此归纳出{an}的通项公式 ( )
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幻灯片 16【解析】(1)①假：不满足归纳推理的定义；
②假：不满足类比推理的定义；
③真：满足演绎推理的定义；
④真：使用了“三段论”但大前提中的“有些有理数”与小前提中的“有理数”不是同一概念，故不符合三段论的推理形式.
⑤假，使用了“三段论”但小前提是正确的.
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幻灯片 17(2)①是，使用了“三段论”.
②不是，使用了归纳推理不是演绎推理.
③不是，使用了类比推理.
④不是,使用了归纳推理.
答案：(1)①假 ②假 ③真 ④真 ⑤假
(2)①是 ②否 ③否 ④否
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幻灯片 18 归纳推理
【方法点睛】归纳推理的特点
(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.
(2)归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠.其结论的正确性往往通过演绎推理来证明.
(3)它是一种发现一般性规律的重要方法.
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幻灯片 19【例1】(1)已知： 设f1(x)=f(x),fn(x)=
fn-1(fn-1(x))(n>1且n∈N*),则f3(x)的表达式为，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为_______.
(2)(2012·苏州模拟)观察式子： 你可以猜出的一个一般性结论是______.
(3)设 先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)
+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.
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幻灯片 20【解题指南】(1)由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及fn(x).
(2)由三个等式可推第四，第五个等式，从而得第n个等式即一般结论.
(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)
+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x).
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幻灯片 21【规范解答】(1)由 得
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幻灯片 22故猜想
答案：
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幻灯片 23(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43, 21+23+25+27+29=125=53，所以第n个等式的第一个数应为第［1+2+…+(n-1)+1］个奇数，即为
共有n个奇数，即第n个等式应为
［n(n-1)+1］+［n(n-1)+3］+［n(n-1)+5］+…+
［n(n-1)+2n-1］=n3.
即(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3.
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幻灯片 24答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3
(3)
同理可得：
由此猜想f(x)+f(1-x)=
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幻灯片 25证明：f(x)+f(1-x)=
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幻灯片 26【互动探究】利用本例第(3)题中的结论计算
f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)的值.
【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)= 得
方法一：f(-2 012)+f(2 013)=
f(-2 011)+f(2 012)=
故f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)
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幻灯片 27方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(2 013)
则S=f(2 013)+f(2 012)+…+f(-2 012)
∴2S=4 026［f(-2 012)+f(2 013)］=
∴
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幻灯片 28【反思·感悟】解决与归纳推理有关问题的关键点是找出其中
的规律，如第(1)题中通过递推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观
察其分子一样，分母变化的是x的系数，故可推出一般结论;第
(2)题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少，通过
观察可看出是第［1+2+…+(n-1)+1］个奇数，从而确定其等式
关系；第(3)题中规律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3=
-2+1-(-2),从而得x+(1-x)的联想，x+(1-x)也可看成-x+1+x，
即 也成立.
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幻灯片 29【变式备选】已知函数
(1)分别求 的值；
(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；
(3)求值：
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幻灯片 30【解析】(1)∵
同理可得
(2)由(1)猜想
证明：
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幻灯片 31(3)由(2)可得，原式=f(1)+［f(2)+ ］+
［f(3)+ ］+…+［f(2 011)+ ］
=f(1)+2 010
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幻灯片 32 类比推理
【方法点睛】1.类比推理的步骤
类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).
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幻灯片 332.类比的方法
类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：
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幻灯片 34----
幻灯片 35【例2】(2012·安溪模拟)已知命题：“若数列{an}是等比数
列，且an>0，则数列 也是等比数列”.类
比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明
你的结论.
【解题指南】等差数列中的和类比等比数列中的积，等差数列中的算术平均数类比等比数列中的几何平均数，故本题中的等比数列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类比.
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幻灯片 36【规范解答】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，
则数列 也是等差数列.
证明如下：设等差数列{an}的公差为d,则
所以数列{bn}是以a1为首项， 为公差的等差数列.
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幻灯片 37【反思·感悟】1.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、等差与等比之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的.
2.类比的关键是确定两类对象之间，某些性质的可比性与合理性.
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幻灯片 38【变式训练】请用类比推理完成下表：
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幻灯片 39【解析】本题由已知前两组类比可得到如下信息：
三角形 的 面积 等于其 内切圆 半径与 三角形周长 的乘积的 一半
↓类比 ↓类比 ↓类比 ↓类比 ↓类比
三棱锥 的 体积 等于其 内切球 半径与 三棱锥表面积 的乘积的 三分之一
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.(本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，证明略)
答案：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一
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幻灯片 40【变式备选】平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如一组对边平行且相等、两组对边分别平行等.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①：_______________________________________
充要条件②：_______________________________________
【解析】两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行.一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等.
答案:三组对面分别平行 两组对面分别平行且全等(答案不惟一)
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幻灯片 41 演绎推理
【方法点睛】演绎推理的特点
(1)演绎推理的结构
演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论.
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幻灯片 42(2)演绎推理的理论依据
其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
【提醒】应用三段论时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，有时可省略.
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幻灯片 43【例3】证明：函数f(x)=-x2+2x在［1,+∞)上是减函数.
【解题指南】证明函数的增减性，其大前提是单调性的定义，若函数满足单调性的定义，则其增减性可得.
【规范解答】任取x1,x2∈［1,+∞)，且x11,∴x1+x2>2,
∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2)>0,
∴函数f(x)=-x2+2x在［1,+∞)上是减函数.
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幻灯片 44【反思·感悟】演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.
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幻灯片 45【变式训练】已知函数y=f(x)，满足：
对任意a,b∈R,a≠b，都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),
(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数.
(2)若x,y为正实数且 比较f(x+y)与f(6)的大小.
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幻灯片 46【解析】(1)设x1,x2∈R,取x1x1f(x2)+x2f(x1)，
∴x1［f(x1)-f(x2)］+x2［f(x2)-f(x1)］>0，
［f(x2)-f(x1)］(x2-x1)>0，
∵x10,∴f(x2)>f(x1).
所以y=f(x)为R上的单调增函数.
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幻灯片 47(2)因为x,y为正实数,且
所以
当且仅当 即 时取等号，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f(x+y)>f(6).
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幻灯片 48【易错误区】归纳推理的解答误区
【典例】(2011·江西高考)观察下列各式：72=49,73=343,
74=2 401,…，则72 011的末两位数字为( )
(A)01 (B)43 (C)07 (D)49
【解题指南】需先求出75=16 807,76=117 649，观察后两位发现呈周期变化，周期为4，易得72 011的末两位数字.
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幻灯片 49【规范解答】选B.由条件知：75=16 807,76=117 649,
77=823 543,…,观察发现后两位数字呈周期变化，周期为4，又∵2 011=4×502+3,
∴72 011的末两位数字是43.
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幻灯片 50【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 51----
幻灯片 521.(2012·三明模拟)观察下列等式
1＝1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律，第n个等式应为_________.
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幻灯片 53【解析】观察上面的式子可知第n个等式起始值为n，共有2n-1个，其和为(2n-1)2.
答案：n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
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幻灯片 542.(2012·衡阳模拟)在△ABC中，若BC⊥AC，AC=b,BC=a,则
△ABC的外接圆半径 将此结论拓展到空间，可得出
的正确结论是：在四面体S—ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，
SA=a,SB=b,SC=c,则四面体S—ABC的外接球半径R=_________.
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幻灯片 55【解析】由于SA，SB，SC两两垂直，则S—ABC的外接球即为以
SA，SB，SC为邻边的长方体的外接球，即(2R)2=SA2+SB2+SC2,即4R2=a2+b2+c2，
∴
答案：
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幻灯片 563.(2012·宜春模拟)在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则______.”
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幻灯片 57【解析】类比条件：两边AB、AC互相垂直，三棱锥三个侧面两两垂直，则AB2+AC2=BC2类比S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2.
证明：如图，AO⊥平面BCD于点O，由三个侧面两两互相垂直可知三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，故O为三角形BCD的垂心，在Rt△DAE中，AO⊥DE，有AE2=EO·ED，
=S△OBC·S△BCD，
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幻灯片 58同理S△ACD2=S△BCD·S△OCD，S△ABD2=S△BCD·S△OBD，
故S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2.
答案：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2
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