幻灯片 1第六节 直接证明与间接证明
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幻灯片 2三年11考 高考指数:★★★
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.
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幻灯片 31.本考点在历年高考中均有体现，主要以直接证明中的综合法为主；
2.分析法的思想应用广泛，反证法仅作为客观题的判断方法，一般不会单独命题.
3.题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题.
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幻灯片 41.直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过
一系列的推理论证，最后推导出____________________的证明
方法.
所要证明的结论成立
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幻灯片 5②框图表示：
(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).
③文字表示为：“因为……所以……”或“由……得……”.
④思维过程：由因导果.
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幻灯片 6(2)分析法
①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条
件，直至最后，把要证明的结论归结为___________________
_____(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法.
②框图表示：
(Q表示要证明的结论).
③文字表示为：“要证……”，“只需证……”，“即证……”
④思维过程：执果索因.
判定一个明显成立的
条件
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幻灯片 7【即时应用】
(1)思考下列思维特点：
①从“已知”逐步推向“未知”，即逐步寻找已知成立的必要条件.
②从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”即逐步寻找结论成立的充分条件.
满足综合法的是_______，满足分析法的是______(请填写相应序号).
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幻灯片 8(2)已知t=a+2b,s=a+b2+1,则s,t的大小关系是______.
(3)在正项等比数列{an}和正项等差数列{bn}中，a1=b1,
a3=b3,a1≠a3，则a5与b5的大小关系为_______.
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幻灯片 9【解析】(1)由分析法、综合法的定义可判断.①满足综合法；②满足分析法.
(2)由s-t=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)2≥0,故s≥t.
(3)由a1≠a3,得b1≠b3,所以b1≠b5,且b1>0,b5>0,
又
即 又a1=b1,所以a5>b5.
答案：(1)① ② (2)s≥t (3)a5>b5
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幻灯片 102.间接证明
(1)反证法的定义
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此
说明_________，从而证明____________的证明方法.
(2)利用反证法证题的步骤
①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；
③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
简言之，否定→归谬→断言.
假设错误
原命题成立
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幻灯片 11【即时应用】
(1)判断下列说法是否正确.(请在括号内打“√”或“×”)
①综合法是由因导果法 ( )
②综合法是顺推法 ( )
③分析法是执果索因法 ( )
④分析法是逆推法 ( )
⑤反证法是间接证法 ( )
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幻灯片 12(2)用反证法证明“如果a>b,那么 ”，其中假设内容应是______.
(3)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设_________.
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幻灯片 13【解析】(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知①②③④⑤都正确.
(2)否定结论， 的否定是
(3)因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°” 的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三角形三个内角都大于60°”.
答案：(1)①√ ②√ ③√ ④√ ⑤√
(2) (3)三角形三个内角都大于60°
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幻灯片 14 综合法的应用
【方法点睛】利用综合法证题的基本思路
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幻灯片 15【例1】已知x+y+z=1，求证：
【解题指南】由基本不等式x2+y2≥2xy,得到关于x、y、z的
三个不等式，将三式相加整理变形,然后利用x+y+z=1得(x+y+z)2=1从而可证.
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幻灯片 16【规范解答】∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,
∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz,
∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,
即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,
∵x+y+z=1,∴(x+y+z)2=1,
∴3(x2+y2+z2)≥1,即x2+y2+z2≥
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幻灯片 17【反思·感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确.
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幻灯片 18【变式训练】设a>0,b>0,a+b=1,求证：
【证明】方法一：∵a>0,b>0,a+b=1,
∴
又
方法二：∵a+b=1,
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幻灯片 19故 等号成立的条件是
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幻灯片 20 分析法的应用
【方法点睛】分析法的特点与思路
分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等.通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范.
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幻灯片 21【例2】(2012·南通模拟)已知m>0,a,b∈R,求证：
【解题指南】利用分析法，去分母后移项作差，最后变形可证.
【规范解答】∵m>0,∴1+m>0.
所以要证原不等式成立，
只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),
即证m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,
而(a-b)2≥0显然成立，故原不等式得证.
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幻灯片 22【反思·感悟】1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
2.在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证．
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幻灯片 23【变式训练】已知a,b∈(0,+∞),求证：
【证明】因为a,b∈(0,+∞)，要证原不等式成立,
只需证
即证(a3+b3)2<(a2+b2)3,
即证a6+2a3b3+b62ab成立,
以上步骤步步可逆,
所以
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幻灯片 25 综合法、分析法的综合应用
【方法点睛】综合法与分析法的应用技巧
综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写.这一点在立体几何中应用最为明显，同时，在三角、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题.
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幻灯片 26【提醒】综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.
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幻灯片 27【例3】如图，四边形ABCD是正方形，
PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=
AB=2MA.求证：
(1)平面AMD∥平面BPC；
(2)平面PMD⊥平面PBD.
【解题指南】(1)欲证平面AMD∥平面BPC，只需证AM∥PB，AD∥BC从而得AM∥平面PBC,AD∥平面PBC，从而得证.
(2)欲证平面PMD⊥平面PBD，只需连接AC交BD于E，取PD中点为F，连接MF、EF，即证AE⊥平面PBD,而AE与MF又平行从而得证.
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幻灯片 28【规范解答】(1)因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，
所以PB∥MA.
因为PB⊂平面BPC，MA⊄平面PBC，
所以MA∥平面BPC.同理，DA∥平面BPC.
又MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD,
MA∩AD=A，
所以平面AMD∥平面BPC.
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幻灯片 29(2)连接AC，设AC∩BD=E,取PD中点F，连接EF，MF.
因为四边形ABCD为正方形，
所以E为BD的中点.
因为F为PD中点，所以
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幻灯片 30又
所以四边形AEFM为平行四边形,
所以MF∥AE.
因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AE,
又因为ABCD是正方形，所以AE⊥BD，
所以AE⊥平面PBD，
又因为MF∥AE，所以MF⊥平面PBD，
又因为MF⊂平面PMD，所以平面PMD⊥平面PBD.
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幻灯片 31【互动探究】在本例中条件不变的情况下，如何证明平面PDC⊥平面MAD？
【证明】∵MA⊥平面ABCD，
∴MA⊥DC，
又∵ABCD是正方形，∴DC⊥AD，又∵AD∩MA=A，
∴DC⊥平面MAD，
又∵DC⊂平面PDC，
∴平面PDC⊥平面MAD.
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幻灯片 32【反思·感悟】利用分析法分析结论成立的充分条件，探究面面平行需具备的条件，面面垂直所要具备的条件，找到条件后，再用综合法书写证明过程.这是此类问题的常规解法，需要灵活掌握.
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幻灯片 33【变式备选】△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，三条边为a、b、c,求证：(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
【证明】∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列，
∴B=60°,由余弦定理，
有b2=c2+a2-2cacos60°,得c2+a2=ac+b2，
两边同加上ab+bc，
得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
两边同除以(a+b)(b+c)，得
∴
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幻灯片 34∴
即
∴(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.
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幻灯片 35 反证法的应用
【方法点睛】1.反证法的解题原则
反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法.
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幻灯片 362.反证法中常见词语的否定形式
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幻灯片 37【例4】若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+
c=z2-2x+ 求证：a,b,c中至少有一个大于0.
【解题指南】否定结论，至少有一个大于0的否定是都不大于0，只需证a+b+c≤0不成立即可，而后下结论.
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幻灯片 38【规范解答】假设a,b,c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0,
而a+b+c=
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.
∵π-3>0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,
∴a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾.因此a,b,c中至少有一个大于0.
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幻灯片 39【反思·感悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.
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幻灯片 40【变式训练】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c，若a,b,c三边的倒数成等差数列，求证：∠B<90°.
【证明】假设∠B<90°不成立，即∠B≥90°,从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即b>a,b>c.
∴ 相加得
这与 矛盾.
故∠B≥90°不成立.
因此∠B<90°.
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幻灯片 41【变式备选】已知a≥-1,求证三个方程：
x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,
x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数根.
【证明】假设三个方程都没有实数根，则
∴
这与已知a≥-1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立.
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幻灯片 42【满分指导】不等式证明题的规范解答
【典例】(12分)(2012·常州模拟)已知a,b,c,d∈R,用分析法
证明 并指明等号何时成立.
【解题指南】由于a,b,c,d∈R,故ac+bd≤0或ac+bd>0,要分两种情况分析，可证.
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幻灯片 43【规范解答】(1)当ac+bd≤0时， ……2分
故不等式显然成立，此时a=b=c=d=0时等号成立.
………………………………………………………………4分
(2)当ac+bd>0时，要证原不等式成立，只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), ………………………………6分
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.
………………………………………………………………8分
即证2abcd≤a2d2+b2c2,即0≤(bc-ad)2. ………………10分
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幻灯片 44∵a,b,c,d∈R,
∴上式恒成立，故不等式成立，此时等号成立的条件为bc=ad.
∴由(1)(2)知原不等式成立.……………………………12分
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幻灯片 45【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 46----
幻灯片 471.(2012·泉州模拟)用反证法证明“如果a>b,则a3>b3”，假设的内容是( )
(A)a3=b3 (B)a3b (B)a0,b>0，那么必有( )
(A)a3+b3≥a2b+ab2 (B)a3+b3>a2b+ab2
(C)a3+b3≤a2b+ab2 (D)a3+b30,b>0,
∴a+b>0,而(a-b)2≥0,
∴(a-b)2(a+b)≥0,
即a3+b3-a2b-ab2≥0,即a3+b3≥a2b+ab2.
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幻灯片 515.(2012·大同模拟)用反证法证明命题“若a,b∈N,ab能被3整除，那么a,b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
(A)a、b都能被3整除 (B)a、b都不能被3整除
(C)b不能被3整除 (D)a不能被3整除
【解析】选B.由反证法的定义可知，否定结论，即“a,b中至少有一个能被3整除”的否定是“a,b都不能被3整除”，故选B.
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