幻灯片 1第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
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幻灯片 2三年8考 高考指数:★★★
1．理解空间直线、平面位置关系的定义；
2．了解可以作为推理依据的公理和定理；
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
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幻灯片 31.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．
2.从考查形式看，以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力和空间想象能力.
3.从考查题型看，多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，一般难度不大，属低中档题.
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幻灯片 41.平面的基本性质
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：①三个公理的作用分别是什么？
②你能说出公理2的几个推论吗？
提示：①公理1的作用：(ⅰ)判断直线在平面内；(ⅱ)由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．
公理3的作用：(ⅰ)判定两平面相交；(ⅱ)作两平面的交线；(ⅲ)证明点共线．
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幻灯片 6②公理2的三个推论为：
(ⅰ)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
(ⅱ)经过两条相交直线，有且只有一个平面；
(ⅲ)经过两条平行直线，有且只有一个平面．
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幻灯片 7(2)判断下列说法的正误(请在括号中填写“√”或“×”)
①如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a，就说平面
α,β相交，并记作α∩β=a ( )
②两个平面α,β有一个公共点A，就说α,β相交于过A点的任
意一条直线 ( )
③两个平面α,β有一个公共点A，就说α,β相交于A点，并记
作α∩β=A ( )
④两个平面ABC与DBC相交于线段BC ( )
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幻灯片 8【解析】根据平面的性质公理3可知①对；对于②，其错误在于“任意”二字上；对于③，错误在于α∩β=A上；对于④，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC.
答案：①√ ②× ③× ④×
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幻灯片 9(3)平面α,β相交，在α,β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_________个平面．
【解析】如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．
答案：1或4
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幻灯片 102.空间中两直线的位置关系
(1)空间两直线的位置关系
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幻灯片 11(2)平行公理和等角定理
①平行公理:
平行于___________的两条直线平行．用符号表示：设a,b,c为
三条直线，若a∥b,b∥c，则a∥c．
②等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_____
_______．
同一条直线
相等
或互补
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幻灯片 12(3)异面直线所成的角
①定义：已知两条异面直线a,b，经过空间中任一点O作直线
a′∥a,b′∥b，把a′与b′所成的_____________叫做异面直
线所成的角(或夹角)．
②范围：______.
锐角(或直角)
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幻灯片 13【即时应用】
(1)思考：不相交的两条直线是异面直线吗？不在同一平面内的直线是异面直线吗？
提示：不一定．因为两条直线没有公共点，这两直线可能平行也可能异面；因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线，故该结论不一定正确．
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幻灯片 14(2)和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是_______.
【解析】画出图形分析.
图①中，AB、CD与异面直线a、b都相交，此时AB、CD异面；
图②中，AB、AC与异面直线a、b都相交，此时AB、AC相交.
答案：异面或相交
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幻灯片 153.空间直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直
线
与
平
面
相交
a∩α=A
个
平行
a∥α
个
在平
面内
a⊂α
个
a
α
α
A
1
0
无数
a
α
a
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幻灯片 16平
面
与
平
面
平行
α∥β
个
相交
α∩β=l
个
无数
0
α
β
β
l
α
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幻灯片 17【即时应用】
(1)判断下列说法是否正确(请在括号中填写“√”或“×”)
①经过三点确定一个平面 ( )
②梯形可以确定一个平面 ( )
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ( )
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ( )
(2)两个不重合的平面可把空间分成_________部分．
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幻灯片 18【解析】(1)经过不共线的三点可以确定一个平面，
∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，
∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，
∴④不正确.
(2)当两平面平行时可分为3部分；当两平面相交时分为4部分．
答案：(1)①× ②√ ③√ ④×
(2)3或4
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幻灯片 19 平面的基本性质及其应用
【方法点睛】考查平面基本性质的常见题型及解法
(1)判断所给元素(点或直线)是否能确定唯一平面，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，此时需要利用公理2及其推论．
(2)证明点或线共面问题，一般有两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
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幻灯片 20(3)证明点共线问题，一般有两种途径：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(4)证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
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幻灯片 21【例1】(1)给出以下四个命题
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
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幻灯片 22(2)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边
形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=
∠FAB=90°，BC∥AD且BC= AD，BE∥AF
且BE= AF，G，H分别为FA，FD的中点.
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
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幻灯片 23【解题指南】(1)根据确定平面的公理及推论进行判断.
(2)①证明BC、GH平行且相等即可；②证明EF∥CH，由此构成平面，再证点D在该平面上．
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幻灯片 24【规范解答】(1)选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.
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幻灯片 25(2)①由题设知，FG=GA，FH=HD，
所以GH∥AD且GH= AD,
又BC∥AD且BC= AD，
故GH∥BC且GH=BC，
所以四边形BCHG是平行四边形．
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幻灯片 26②C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BE∥AF且BE= AF，G是FA的中点知，
BE∥GF且BE=GF，
所以四边形EFGB是平行四边形，
所以EF∥BG.
由①知BG∥CH，所以EF∥CH，
故EC，FH共面.
又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.
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幻灯片 27【互动探究】本例第(2)题的条件不变，如何证明“FE，AB，DC交于一点”？
【证明】由例题可知，四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边形，故可得四边形ECHF为平行四边形．
∴EC∥HF，且EC= DF．
∴四边形ECDF为梯形．
∴FE，DC交于一点，设FE∩DC=M．
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幻灯片 28∵M∈FE，FE⊂平面BAFE，
∴M∈平面BAFE．
同理M∈平面BADC．
又平面BAFE∩平面BADC=BA，
∴M∈BA．∴FE,AB,DC交于一点．
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幻灯片 29【反思·感悟】点共线和线共点问题，都可转化为点在直线上的问题来处理，实质上是利用公理3，证明点在两平面的交线上，解题时要注意这种转化思想的运用．
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幻灯片 30【变式备选】如图，空间四边形ABCD中，E，
F，G，H分别是AB，AD，BC，CD上的点，设EG
与FH交于点P．求证：P、A、C三点共线．
【证明】∵EG∩FH=P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC=AC.
∴P∈AC.∴P、A、C三点共线．
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幻灯片 31 空间中两直线的位置关系
【方法点睛】判定空间直线位置关系的方法
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
【提醒】在空间中两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点.
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幻灯片 32【例2】如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )
(A)AC⊥BD
(B)AC∥截面PQMN
(C)AC=BD
(D)异面直线PM与BD所成的角为45°
【解题指南】结合图形，根据有关的知识逐一进行判断．注意本题选择的是错误选项！
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幻灯片 33【规范解答】选C.因为四边形PQMN为正方形，所以PQ∥MN，又
PQ平面ADC，MN⊂平面ADC，所以PQ∥平面ADC.
又平面BAC∩平面DAC=AC，所以PQ∥AC.
同理可证QM∥BD.由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A
正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与
BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；综上知C错误.
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幻灯片 34【反思·感悟】解决此类问题常出现的错误是不善于挖掘题中的条件，不能将问题适当地转化；另外，图形复杂、空间想象力不够、分析问题不到位等，也是常出现错误的原因．
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幻灯片 35【变式训练】设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )
(A)若AC与BD共面，则AD与BC共面
(B)若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
(C)若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC
(D)若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
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幻灯片 36【解析】选D.对于A，易知点A，B，C，D共面，故AD与BC共面，所以A正确；对于B，假设AD与BC不异面，则可得AC与BD共面，与题意矛盾，故B正确；对于C，如图，
E为BC中点，易证得直线BC⊥平面ADE，从
而AD⊥BC，故C正确；
对于D，当四点构成空间四面体时，只能推
出AD⊥BC，但二者不一定相等，故D错误.
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幻灯片 37 异面直线所成的角
【方法点睛】1.找异面直线所成的角的方法
一般有三种找法：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
2.求异面直线所成角的步骤
(1)作：通过作平行线，得到相交直线；
(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角；
(3)算：通过解三角形，求出该角．
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幻灯片 38【例3】(2012·银川模拟)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.
【解题指南】利用正方体中的平行关系，将两异面直线所成的角转化成三角形的内角进行求解．
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幻灯片 39【规范解答】(1)如图，连接AC、AB1，
由ABCD-A1B1C1D1是正方体，
知AA1C1C为平行四边形，
所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角
就是A1C1与B1C所成的角.由AB1=AC=B1C
可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成角为60°.
B
A
E
C
D
F
D1
B1
C1
A1
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幻灯片 40(2)如图，连接BD，由AA1∥CC1，且AA1=CC1可知A1ACC1是平行四边形，∴AC∥A1C1.
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD,∴EF⊥AC,即所求角为90°.
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幻灯片 41【反思·感悟】1.求异面直线所成的角时，常采用平行平移的
方法，转化为三角形的内角来求解.解题时常常借助三角形的
中位线来完成转化.
2.在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围，如在
解三角形的过程中求得三角形内角的余弦值为负时，必须转化
为(0， ］内的角．
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幻灯片 42【变式训练】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
(1)异面直线AB与A1D1所成的角；
(2)AD1与DC1所成的角.
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幻灯片 43【解析】(1)∵A1B1∥AB，而A1D1⊥A1B1，
∴A1D1⊥AB，
∴AB与A1D1所成的角为90°.
(2)连接AB1，B1D1，∵AB1∥DC1，
∴AB1与AD1所成的角即为DC1与AD1所成的角.
又AD1=AB1=B1D1，
∴△AB1D1为正三角形.
∴AD1与AB1所成的角为60°.
∴AD1与DC1所成的角为60°.
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幻灯片 44【变式备选】在空间四边形ABCD中，已知AD=1， 且AD⊥BC，对角线 求AC和BD所成的角．
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幻灯片 45【解析】如图，分别取AD、CD、AB、BD的中点
E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.
由三角形的中位线定理知
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幻灯片 46EF∥AC，且 GE∥BD，且 GE和EF所成的锐角
(或直角)就是AC和BD所成的角.
同理， GH∥AD，HF∥BC，
又AD⊥BC，∴∠GHF=90°，
∴GF2=GH2+HF2=1，
在△EFG中，EG2+EF2=1=GF2，
∴∠GEF=90°，
即AC和BD所成的角为90°.
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幻灯片 47【满分指导】求异面直线所成角主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·上海高考改编)已知
ABCD—A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，
高AA1=2，求
(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；
(2)四面体AB1D1C的体积.
【解题指南】(1)利用平行平移法得到异面直线所成的角，转化为解三角形的问题；(2)利用割补法求体积即可．
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幻灯片 48【规范解答】(1)连BD，AB1，B1D1，AD1.……………………1分
∵BD∥B1D1,∴异面直线BD与AB1所成角为∠AB1D1(或其补角)，记∠AB1D1=θ, …………………………3分
由已知条件得
在△AB1D1中，由余弦定理得
………6分
∴异面直线BD与AB1所成角的余弦值为
………………………………………………………………7分
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幻灯片 49(2)连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积
…………………………………………………………………12分
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幻灯片 50【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 51----
幻灯片 521.(2011·浙江高考)若直线l不平行于平面α，且lα，
则( )
(A)α内的所有直线与l异面
(B)α内不存在与l平行的直线
(C)α内存在唯一的直线与l平行
(D)α内的直线与l都相交
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幻灯片 53【解析】选B.由题意可得直线l与平面α相交，如图:
对A，由于α内所有不过交点的直线与l异面，故A错误；对B，如果α内存在与l平行的直线，则直线l与α平行，直线不存在，故B正确；对C，可得直线l与α平行，与题设不符，故C错误；对D，α内所有不过交点的直线与l异面，故D错误.
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幻灯片 542.(2012·福州模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
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幻灯片 55【解析】选D.连接BC1，A1C1，则BC1∥AD1，
∴∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成角或所成角的补角，
设AB=1，则A1A=2，
在△A1BC1中，由余弦定理得：
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幻灯片 563.(2012·郑州模拟)已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E、F
分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且
求证：
(1)E、F、G、H四点共面；
(2)三直线FH、EG、AC共点.
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幻灯片 57【解析】(1)连接EF、GH.
由E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF BD，又CG= BC，CH= DC，
∴HG BD，∴EF∥HG且EF≠HG.
∴EF、HG可确定平面α,即E、F、G、
H四点共面.
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幻灯片 58(2)由(1)知：EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG.
∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O，
∵点O∈直线FH，直线FH⊂面ACD，
∴点O∈平面ACD.
同理点O∈平面ABC.
又∵面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC(公理3).
∴直线FH、EG、AC交于点O，即三直线共点.
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