幻灯片 1第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
----
幻灯片 2三年20考 高考指数:★★★★
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理；
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.
----
幻灯片 31.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂直有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；
2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等；
3.通过求线面角，或与几何体的体积结合在一起命题，进而考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现.
----
幻灯片 41.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
条件：直线l与平面α内的_____一条直线都垂直.
结论：直线l与平面α垂直.
任意
----
幻灯片 5(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
一条直线与一个
平面内的两条
______直线都垂
直，则该直线与
此平面垂直.
∵_____，
_____，
_____,
_____，
_______，
∴l⊥α
性
质
定
理
垂直于同一个
平面的两条直
线______.
∵_____，
______，
∴a∥b
α
a
b
O
l
a
α
b
平行
l⊥a
l⊥b
a⊂α
b⊂α
a∩b=O
a⊥α
b⊥α
相交
----
幻灯片 6【即时应用】(1)思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？
提示：不可以.当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面α内，或者l与平面α相交但不垂直.
(2)直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系是_______.
【解析】由b∥α可得b平行于α内的一条直线，设为b′.因为a⊥α，所以a⊥b′，从而a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面.
答案：垂直
----
幻灯片 72.直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的
射影所成的______，叫做这条直线和这个平
面所成的角.如图，______就是斜线AP与平
面α所成的角.
(2)线面角θ的范围：θ∈［0， ］.
锐角
∠PAO
----
幻灯片 8【即时应用】
(1)思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线一定平行吗？
提示：不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.
----
幻灯片 9(2)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1C与
平面A1B1C1D1所成的角为_______，其大小
为_____；D1B与平面ABCD所成的角的正弦
值为_____.
【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为∠CB1C1，其大小为
45°；连接BD，则D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD，其正弦
值为
答案：∠CB1C1 45°
----
幻灯片 103.平面与平面垂直
(1)二面角
①定义：从一条直线出发的两个半平面
所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做
二面角的棱.两个半平面叫做二面角的___.
如图的二面角，可记作:二面角________或二面角_________.
α-l-β
α-AB-β
面
----
幻灯片 11②二面角的平面角：
如图，过二面角α-l-β的棱l上一点O在两
个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l,则_______
就叫做二面角α-l-β的平面角.
③平面角的范围：
设二面角的平面角为θ，则θ∈［0,π］.
∠AOB
----
幻灯片 12(2)平面与平面垂直
①定义：
条件：两相交平面所成的二面角为_________.
结论：这两平面垂直.
直二面角
----
幻灯片 13②平面与平面垂直的判定定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判
定
定
理
一个平面过
另一个平面
的_____，则
这两个平面
垂直.
∵______,
______,
∴α⊥β
垂线
l⊥α
l⊂β
α
l
----
幻灯片 14③平面与平面垂直的性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
性
质
定
理
两个平面垂
直，则一个
平面内垂直
于_____的直
线与另一个
平面垂直.
∵______,
________,
_______
_______
∴l⊥α
交线
β⊥α
α∩β=a
l⊂β
l⊥a
l
a
β
α
----
幻灯片 15【即时应用】
(1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？
提示：不一定.两平面可能平行，也可能相交.
(2)已知α,β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”)
【解析】由条件知，当m⊥β时，一定有α⊥β；但反之不一定成立.故填必要不充分.
答案：必要不充分
----
幻灯片 16(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=_______.
【解析】如图,取AC的中点O，连接DO，
BO，则DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB为二
面角的平面角，从而∠DOB=90°.设正
方形边长为1，则 所以
DB=1，故△ADB为等边三角形，所以
∠DAB=60°.
答案：60°
A
B
C
D
O
----
幻灯片 17 直线与平面垂直的判定和性质
【方法点睛】1.判定线面垂直的常用方法
----
幻灯片 182.线面垂直性质的应用
当直线和平面垂直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法.
【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程.如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.
----
幻灯片 19【例1】(1)(2012·北京模拟)已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )
(A)CD∥平面PAF
(B)DF⊥平面PAF
(C)CF∥平面PAB
(D)CF⊥平面PAD
----
幻灯片 20(2)(2012·鹰潭模拟)如图，三棱
锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，
DE垂直平分线段PC，且分别交AC、
PC于D、E两点,又PB=BC，PA=AB.
①求证：PC⊥平面BDE；
②若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明你的结论；
③若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.
----
幻灯片 21【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断.
(2)①利用线面垂直的判定定理证明；②证明BD⊥平面PAC即可；③根据VB-CED=VC-BDE，转化为求S△BDE及CE的长度.
----
幻灯片 22【规范解答】(1)选D.由正六边形的性质得CD∥AF，CF∥AB，故A、C正确；因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥DF，又DF⊥AF，PA∩AF=A，故DF⊥平面PAF，即B正确.故选D.
(2)①由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，
∵DE垂直平分PC，∴DE⊥PC，
又BE∩DE=E，
∴PC⊥平面BDE
----
幻灯片 23②由①得，PC⊥BD，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD.
又PC∩PA=P，
∴BD⊥平面PAC
∴当点Q是线段PA上任一点时都有BD⊥DQ.
----
幻灯片 24③∵PA=AB=2,
∴
∵AB⊥BC,∴
∴PC=4，CE=2，
且
∵△CDE∽△CPA，
∴
----
幻灯片 25∴
由②知：BD⊥DE.
∴
----
幻灯片 26【互动探究】本例(2)②若改为“设Q是线段PA上任意一点，求证：平面BDQ⊥平面PAC”，如何证明？
【证明】由(2)②的解法可知BD⊥平面PAC.
又BD⊂平面BDQ,
∴平面BDQ⊥平面PAC.
----
幻灯片 27【反思·感悟】1.在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化.
2.解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理.
----
幻灯片 28【变式备选】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点.
(1)求证：A1E⊥平面ADE；
(2)求三棱锥A1－ADE的体积.
----
幻灯片 29【解析】(1)由勾股定理得：
∴A1A2＝A1E2＋AE2，∴∠AEA1=90°，
∴A1E⊥AE.
∵AD⊥平面AA1B1B，A1E⊂平面AA1B1B，
∴A1E⊥AD，
又AD∩AE＝A，∴A1E⊥平面ADE.
(2)由题意得
----
幻灯片 30 平面与平面垂直的判定和性质
【方法点睛】1.判定面面垂直的方法
面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图，
其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.
----
幻灯片 312.面面垂直性质的应用
(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
----
幻灯片 32【例2】如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥
平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予
证明；
(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，
如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由.
----
幻灯片 33【解题指南】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由
知EF∥CD，由∠BCD＝90°及AB⊥平面BCD可证得结论成立.
(2)由EF∥CD可知问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂直，而这样的平面一定存在，故只需计算出λ即可.
----
幻灯片 34【规范解答】(1)EF⊥平面ABC.
证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，
又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，
在△ACD中
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.
----
幻灯片 35(2)∵CD⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，
∴BE⊥CD，
故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC.
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，
∴AB＝BDtan60°＝
则
当BE⊥AC时，
----
幻灯片 36则 BE⊥AC，
又BE⊥CD，AC∩CD＝C，
∴BE⊥平面ACD，
∵BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ACD.
所以存在 时，平面BEF⊥平面ACD.
----
幻灯片 37【反思·感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造.
----
幻灯片 38【变式训练】如图，四棱锥P-ABCD中，底
面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为
正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB;
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.
----
幻灯片 39【解析】(1)如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.
∵△PAD为等边三角形，
∴PG⊥AD,
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD.
在△ABD中，∠DAB=60°,AD=AB,
∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD,且BG∩PG=G,
∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
----
幻灯片 40(2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点，
在△PGC中作HF∥PG，
交PC于F点，连接DF，
∴FH⊥平面ABCD,
∴平面DEF⊥平面ABCD.
∵菱形ABCD中，G、E分别为AD、BC的中点，即得知H是CG的中点，∴F是PC的中点，
∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.
----
幻灯片 41 垂直关系的综合问题
【方法点睛】垂直关系综合题的类型及解法
(1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)对于垂直与平行结合的问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
(3)对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.
----
幻灯片 42【例3】(2012·唐山模拟)如图，已知三棱
锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中
点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形.
(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC；
(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积.
【解题指南】(1)要证DM∥平面APC,只需证明DM∥AP；(2)证BC⊥平面APC；(3)通过VD－BCM＝VM－BCD求体积.
----
幻灯片 43【规范解答】(1)∵M为AB中点，D为PB中点，
∴DM∥AP，
又DM平面APC，AP⊂平面APC.
∴DM∥平面APC.
(2)∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，
∴MD⊥PB，
又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB.
----
幻灯片 44又AP⊥PC，PB∩PC=P，
∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，
又∵AC⊥BC，AP∩AC=A，∴BC⊥平面APC.
又BC⊂平面ABC.∴平面ABC⊥平面APC.
(3)∵AB＝20，∴MP＝10，PB＝10.
又BC＝4，
∴
又
----
幻灯片 45【反思·感悟】1.本题体现了“转化”思想在立体几何中的应用，解题中要注意利用“平行”、“垂直”间的转化.
2.解答题中要注重关键步骤的叙述与体现，以做到规范解题.
----
幻灯片 46【变式训练】1.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
(A)BC∥平面PDF
(B)DF⊥平面PAE
(C)平面PDF⊥平面PAE
(D)平面PDE⊥平面ABC
----
幻灯片 47【解析】选D.因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立.
----
幻灯片 482.(2012·鞍山模拟)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α⊥β.
其中所有正确的序号是__________.
----
幻灯片 49【解析】①中，由α∥β,l⊥α得l⊥β，可得l⊥m，故正确；②中，由α⊥β，l⊥α得l在平面β内或与β平行，不一定有l∥m，故不正确；③中，由l∥m，l⊥α可得m⊥α，又m⊂β，故α⊥β，正确；④中，由l⊥m不能得到α⊥β.
综上①③正确.
答案：①③
----
幻灯片 50【变式备选】(2012·济南模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点.
(1)求证：平面MNP∥平面A1C1B；
(2)求证：MO⊥平面A1BC1.
----
幻灯片 51【证明】(1)连接D1C，∵MN为△DD1C的中位线，
∴MN∥D1C.
又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B.同理MP∥C1B.
而MN与MP相交，MN，MP⊂平面MNP，BC1与A1B相交，
BC1,A1B⊂平面A1C1B.∴平面MNP∥平面A1C1B.
----
幻灯片 52(2)方法一:连接C1M和A1M，设正方体的棱长为a，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1，∴C1M=A1M，
又∵O为A1C1的中点，
∴A1C1⊥MO.
连接BO和BM，在三角形BMO中，
经计算知：
∴OB2+MO2=MB2，
∴BO⊥MO.
----
幻灯片 53而A1C1，BO⊂平面A1C1B，A1C1∩BO=O,
∴MO⊥平面A1C1B.
方法二:连接AB1，B1D,B1D1,则O是B1D1的
中点,
∵AD⊥平面ABB1A1,A1B⊂平面ABB1A1,
∴AD⊥A1B.
又A1B⊥AB1,AD和AB1是平面AB1D内两条相交直线,
----
幻灯片 54∴A1B⊥平面AB1D,
又B1D⊂平面AB1D,
∴A1B⊥B1D.
同理:BC1⊥B1D.
又A1B和BC1是平面A1BC1内两条相交直线,
∴B1D⊥平面A1BC1.
∵OM是△D1B1D的中位线，
∴OM∥B1D.
∴OM⊥平面A1BC1.
----
幻灯片 55【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答
【典例】(12分)(2011·辽宁高考)如
图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平
面ABCD，PD∥QA,QA=AB= PD.
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.
----
幻灯片 56【解题指南】(1)证明PQ⊥DC，PQ⊥QD，进而可得PQ⊥平面DCQ；
(2)设出正方形的边长为a，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值.
----
幻灯片 57【规范解答】(1)由条件知PDAQ为直角梯形.
因为QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，
所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，…………………………………………2分
又PQ⊂平面PDAQ，所以PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得
则PQ⊥QD. …………………………………………………5分
又DC∩QD=D,所以PQ⊥平面DCQ. …………………………6分
----
幻灯片 58(2)设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，
所以棱锥Q-ABCD的体积 ……………………………8分
由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高，
而 △DCQ的面积为
所以棱锥P-DCQ的体积 …………………………11分
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1. …12分
----
幻灯片 59【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
----
幻灯片 60----
幻灯片 611.(2012·泉州模拟)已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中的真命题是( )
(A)若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
(B)若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
(C)若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
(D)若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
----
幻灯片 62【解析】选A.由m⊥α,α⊥β可得m∥β或m⊂β，又n⊥β，故m⊥n，即A正确；如图(1)，m⊥α,n∥β,α⊥β,但m∥n，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m∥α,n⊥β, α⊥β，但m,n相交，故D错.
----
幻灯片 632.(2012·淄博模拟)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起.下列说法正确的是__________.(填上所有正确的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都
有MN∥平面DEC;
②不论D折至何位置都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.
----
幻灯片 64【解析】将△ADE沿AE折起后所得图形如图,取DE中点P,EC中点Q,连PM、PQ、QN.
则
∴PMNQ，∴四边形PMNQ为平行四边形，
∴MN∥PQ，
又MN平面DEC，PQ⊂平面DEC，
∴MN∥平面DEC，
----
幻灯片 65故①正确.
又AE⊥ED，AE⊥EC，DE∩CE=E，
∴AE⊥平面DEC，∴AE⊥PQ，∴AE⊥MN，
故②正确.
由MN∥PQ，PQ与EC相交知MN与EC不平行，
从而MN与AB不会平行.
答案：①②
----
幻灯片 663.(2011·福建高考)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA=AB=1，AD=3， ∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积.
----
幻灯片 67【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，
所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB,所以CE⊥AD.
又PA∩AD=A，
所以CE⊥平面PAD.
(2)由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，DE=CD·cos45°=1.
CE=CD·sin45°=1.
----
幻灯片 68又因为AB=CE=1，AB∥CE，
所以四边形ABCE为矩形.
所以S四边形ABCD=S矩形ABCE+S△ECD=
又PA⊥平面ABCD，PA=1，
所以
----
【点此下载】