幻灯片 1第六节 空间直角坐标系
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幻灯片 2三年1考 高考指数:★
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；
2.会推导空间两点间的距离公式.
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幻灯片 31.本节内容属了解内容，一般不单独命题．
2.本节内容的重点是空间点的坐标的确定及空间两点间的距离；
3.通过求点的坐标考查空间想象能力，通过求两点间的距离考查计算能力.
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幻灯片 41.空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系
Oxyz
x轴
y轴
z轴
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幻灯片 5(2)右手直角坐标系的含义
当右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向时，中指
指向_____的正方向.
(3)空间中点M的坐标
空间中点M的坐标常用有序实数组(x,y,z)来表示，记作M(x,y,z)，其中x叫做点M的_______，y叫做点M的_______，z
叫做点M的_______.
建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x,y,z)
可建立一一对应的关系.
z轴
横坐标
纵坐标
竖坐标
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幻灯片 6【即时应用】
(1)思考:空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？
提示：三个坐标平面把空间分为八部分.
(2)xOz平面内点的坐标的特点是__________.
【解析】点在xOz平面内,故点在y轴上的射影一定是坐标原点,其纵坐标为0,横坐标、竖坐标不确定.
答案:纵坐标为0
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幻灯片 7(3)在空间直角坐标系中，点M(-5,3,1)关于x轴的对称点坐标为_____________.
【解析】关于x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数.
答案：(-5,-3,-1)
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幻灯片 82.空间两点间的距离
(1)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则|AB|=____________________________
特别地，点P(x,y,z)与坐标原点O的距离为|OP|=___________.
(2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是空间中两点，则线段AB的中
点坐标为_____________________.
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幻灯片 9【即时应用】
(1)思考:在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，
那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢?
提示：是以定点为球心，以定长为半径的球面.
(2)已知空间两点A(2,0,4),B(-6,2,-2)，则线段AB的中点到原
点的距离为___________.
【解析】由中点坐标公式可得线段AB的中点为(-2,1,1),故到
原点的距离为
答案：
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幻灯片 10(3)已知点P(1,1,1),其关于xOz平面的对称点为P′，则
=___________.
【解析】由题意得P′(1，-1，1),
∴
答案：2
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幻灯片 11 求空间点的坐标
【方法点睛】1.建立恰当坐标系的原则
(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；
(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.
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幻灯片 122.求空间中点P的坐标的方法
(1)过点P作与x轴垂直的平面，垂足在x轴上对应的数即为点P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标.
(2)从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可求得点P的坐标.
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幻灯片 13【例1】(1)空间直角坐标系中,点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为________.
(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，以A为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标.
【解题指南】(1)空间直角坐标系中,点在x轴的射影的坐标满足横坐标相同,纵、竖坐标均为零.(2)注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小.
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幻灯片 14【规范解答】(1)点P(2,3,4)在x轴上的射影的横坐标与点P相同,纵坐标、竖坐标均为0.故射影坐标为(2,0,0).
答案：(2,0,0)
(2)以A点为坐标原点，AC、AA1所在直线分别
为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设AC的中点是D，连接BD，则BD⊥y轴，且
∴A(0,0,0),B( 1,0),C(0,2,0)，
A1(0,0,2),B1( 1,2),C1(0,2,2).
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幻灯片 15【互动探究】本例(2)中若以AC的中点D为坐标原点，以DB,DC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标.
【解析】建立空间直角坐标系,如图所示，则
A(0,-1,0),B( 0,0),C(0,1,0)，
A1(0,-1,2),B1( 0,2),C1(0,1,2).
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幻灯片 16【反思·感悟】
1.建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题，特别是所给图形中的垂直关系，更要合理利用.
2.对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不同．为方便起见常将尽量多的点建在坐标轴上.
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幻灯片 17【变式备选】如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=1，试写出：
(1)长方体的所有顶点的坐标；
(2)棱A1B1的中点M的坐标.
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幻灯片 18【解析】(1)依题意知，各顶点的坐标分别为
D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0，3，0),
D1(0，0，1)，A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1).
(2)A1B1的中点M的坐标为
即
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幻灯片 19 空间中点的对称问题
【方法点睛】空间直角坐标系中点的对称规律
已知点P(x,y,z)，则点P关于点、线、面的对称点坐标为：
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幻灯片 20【例2】如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(-2,-3,-1)，求其他七个顶点的坐标.
【解题指南】由题意知，长方体的各顶点关于原点O和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的坐标.
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幻灯片 21【规范解答】由题意得，点B与点A关于xOz面对称，故点B的坐标为(-2,3,-1)；点D与点A关于yOz面对称，故点D的坐标为(2,-3,-1);点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3,-1)；由于点A1,B1,C1,D1分别与点A,B,C,D关于xOy面对称，故点A1,B1,C1,D1的坐标分别为A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),
D1(2,-3,1).
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幻灯片 22【反思·感悟】1.求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于坐标平面对称，明确哪些坐标发生了变化，哪些没变，一定要记清变化的规律．
2.记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键.
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幻灯片 23【变式训练】已知在矩形ABCD中，A(4,1,3)，B(2,-5,1)，C(3,7,-5)，求顶点D的坐标.
【解析】由题意知，点A(4,1,3)，C(3,7,-5)的中点为M( 4,-1).设点D的坐标为(x,y,z)，则
故点D的坐标为(5,13,-3).
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幻灯片 24 空间两点间的距离
【方法点睛】1.求空间两点间距离的步骤
(1)建立坐标系，写出相关点的坐标；
(2)利用公式求出两点间的距离.
2.两点间距离公式的应用
(1)求两点间的距离或线段的长度；
(2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值；
(3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性.
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幻灯片 25【例3】(1)已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则|OB|等于( )
(A)(9,0,16) (B)25 (C)5 (D)13
(2)如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体的
体对角线AB上，点Q在棱CD上．当点P为
对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，
探究|PQ|的最小值.
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幻灯片 26【解题指南】(1)根据空间点在xOz平面上的射影的特点及距离公式求解.(2)确定点P、Q的坐标，利用两点间的距离公式得到|PQ|，然后利用函数知识解决.
【规范解答】(1)选C.由题意得点B的坐标为(3,0,-4),故
(2)因为B(0,0,a),A(a,a,0)，P为AB的中点,
所以P( ).
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幻灯片 27又点Q在棱CD上运动，所以可设Q(0,a,z0)，
其中z0∈［0,a］，
故
因此当 时，|PQ|的最小值为
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幻灯片 28【互动探究】本例(2)中,若将“当点P为对角线AB的中点”改为“当点P在对角线AB上运动时”,其余条件不变,则结果如何?
【解析】显然，当点P在AB上运动时，点P到坐标平面xOz、yOz的距离相等，且P在第一象限，
所以可设P(t,t,a-t),t∈［0,a］，
又Q在CD上运动，
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幻灯片 29所以可设Q(0,a,z0)，z0∈［0,a］.
所以
=
故当 时，|PQ|有最小值为
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幻灯片 30【反思·感悟】1.解此类问题的关键是确定点的坐标，常出现的错误是将坐标求错.
2.利用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决.
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幻灯片 31【变式备选】已知点A(1，a，-5)、B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是( )
【解析】选B.
∴当a=-1时,|AB|取最小值
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幻灯片 32【易错误区】求点的坐标时忽略解的讨论致误
【典例】(2012·临沂模拟)已知点P在z轴上，且满足|OP|=1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为________.
【解题指南】先确定点P的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可.
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幻灯片 33【规范解答】设点P的坐标为(0,0,z)，
由|OP|=1得 =|z|=1，故z=±1.
当z=1时，点P的坐标为(0,0,1),
当z=-1时，点P的坐标为(0,0,-1),
答案：
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幻灯片 34【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 35----
幻灯片 361.(2012·合肥模拟)已知点A(-3,0,-4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于( )
(A)12 (B)9 (C)25 (D)10
【解析】选D.由题意知点B的坐标为(3,0,4),故
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幻灯片 372.(2012·福州模拟)在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有( )
(A)1个 (B)2个 (C)不存在 (D)无数个
【解析】选D.在坐标平面xOy内，可设点P(x,y,0)，
由题意得
解得
所以符合条件的点有无数个.
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幻灯片 383.(2012·扬州模拟)正方体不在同一表面上的两个顶点为
A(-1,2,-1)，B(3,-2,3),则正方体的体积为( )
(A)8 (B)27 (C)64 (D)128
【解析】选C.设正方体的棱长为a，根据条件则有
解得a=4,
所以体积为43=64.
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幻灯片 394.(2012·滨州模拟)如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，BC=3,M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为_____.
【解析】由题意得M为AC1的中点.
又A(0,0,0)，C1(2,3,2),故M(1, ,1).
答案：M(1, ,1)
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