幻灯片 1第二节 直线的交点坐标与距离公式
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幻灯片 2三年3考 高考指数:★★
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
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幻灯片 31.两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离公式是高考的重点；
2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；
3.多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答题中考查.
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幻灯片 41.两条直线的交点
直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方
程组 的解一一对应.
相交⇔方程组有________，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组______；重合⇔方程组有__________.
唯一解
无解
无数组解
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？
提示：当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两直线平行；有无数个交点时，两直线重合.
(2)直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是__________.
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幻灯片 6【解析】由直线l1与l2所组成的方程组 得：
∴直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐
标是(2,-2).
答案：(2,-2)
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幻灯片 7(3)直线l1：5x+2y-6=0与l2：5x+2y-16=0的位置关系是_______.
【解析】∵由直线l1与l2所组成的方程组
无解，∴直线l1与l2平行.
答案：平行
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幻灯片 82.距离
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幻灯片 9【即时应用】
(1)原点到直线x+2y-5=0的距离是_________；
(2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_____；
(3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为__________.
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幻灯片 10【解析】(1)因为
(2)依题设及两点间的距离公式得：
解得：a=±8；
(3)因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.
因此，两平行线间的距离为：
答案：(1) (2)±8 (3)
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幻灯片 11 两直线的交点问题
【方法点睛】1.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.
2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)
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幻灯片 12【例1】(1)求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点，且也经过点A(8,-4)的直线方程为_________________；
(2)已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交，求实数m、n满足的条件.
【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；(2)两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到m、n满足的条件.
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幻灯片 13【规范解答】(1)方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0
的交点坐标为(-2,1)，直线又过A(8,-4)，所以所求直线方
程为： 即x+2y=0；
方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程
为x+y+1+λ(x-y+3)=0，
又因为直线过A(8,-4)，所以8-4+1+λ(8+4+3)=0，
解得: 所以，所求直线方程为x+2y=0.
答案：x+2y=0
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幻灯片 14(2)因为两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0相交，因此，
当m=0时，l1的方程为 l2的方程为 两直线相交，
此时，实数m、n满足的条件为m=0，n∈R；当m≠0时，
∵两直线相交，
∴ 解得m≠±4，此时，实数m、n满足的条件为m≠±4，n∈R.
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幻灯片 15【互动探究】本例(1)中的“且也经过点A(8,-4)”改为“与直线2x-y=0垂直”,求该直线方程.
【解析】方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点坐标为(-2,1)，又直线与直线2x-y=0垂直，所以所求直线的斜率
因此所求直线方程为：y-1= (x+2)，即x+2y=0.
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幻灯片 16方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为x+y+1+λ(x-y+3)=0，即(1+λ)x+(1-λ)y+1+3λ=0,
又因为直线与直线2x-y=0垂直，所以所求直线的斜率
即有
解得:λ= 所以，所求直线方程为x+2y=0.
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幻灯片 17【反思·感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求λ的值;
2.考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存在.
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幻灯片 18【变式备选】当m为何值时，三条直线l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0,
l3：2x-3my-4=0能围成一个三角形?
【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共
点，所以
解得：
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幻灯片 19又因为l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0的交点为(1,-1)，所以
2+3m-4≠0，解得
当m=0时，l3:2x-4=0, l1:4x+y-3=0, l2:x+y=0, l1与l3的交点
为(2,-5)，
l1与l2的交点为(1,-1), l2与l3的交点为(2,-2)，
能构成三角形，符合题意.
综上可知：
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幻灯片 20 距离公式的应用
【方法点睛】
1.两点间的距离的求法
设点A(xA,yA),B(xB,yB)，
|AB|=
特例：AB⊥x轴时，|AB|=|yA-yB|
AB⊥y轴时，|AB|=|xA-xB|.
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幻灯片 212.点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.
3.两平行直线间的距离的求法
(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
(2)利用两平行线间的距离公式.
【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x、y的系数必须相等.
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幻灯片 22【例2】已知点A(2，-1)，
(1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在.请说明理由.
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幻灯片 23【解题指南】(1)因为已知直线过点A，因此可选择点斜式方程，利用到原点的距离为2列方程，解方程即可，但要注意对斜率不存在的讨论；(2)易知最大距离时的直线与AO垂直，这样问题即可解决；(3)可由(2)知道距离的最大值，从而得出直线是否存在.
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幻灯片 24【规范解答】(1)过点A的直线l与原点距离为2，而点A的坐标为(2,-1).
当斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；
当斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-2)，即
kx-y-2k-1=0，由已知得
解得 此时直线l的方程为3x-4y-10=0,
综上可知：直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
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幻灯片 25(2)过点A与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线，由
l⊥AO，得klkOA=-1，所以 由直线的点斜式得y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，即直线2x-y-5=0是过点A且与原点
距离最大的直线l的方程，最大距离是
(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 的直线，因此
不存在过点A且与原点距离为6的直线.
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幻灯片 26【反思·感悟】1.在解答本题时，直线斜率存在时,根据题设条件，由点到直线的距离公式得关于斜率的方程，这是很关键的问题,同时注意讨论斜率不存在的情况；
2.另外，求距离的最值时，除了考虑距离公式所要求的条件，以防漏解、错解外，还要注意数形结合思想的应用.
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幻灯片 27【变式训练】已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0，在坐标平面内求一点P，使｜PA｜=|PB|，且点P到直线l的距离为2.
【解析】设点P的坐标为(a,b).
∵A(4，-3)，B(2,-1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，-2)，
∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,
即x-y-5=0.
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幻灯片 28由题意知点P(a,b)在上述直线上，∴a-b-5=0.①
又点P(a,b)到直线l：4x+3y-2=0的距离为2，
∴ 即4a+3b-2=±10,②
联立①②可得
∴所求点P的坐标为(1，-4)或( ).
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幻灯片 29【变式备选】过点P(-1,2)引一直线，两点A(2,3)，B(-4,5)到该直线的距离相等，求这条直线的方程.
【解析】方法一：当斜率不存在时，过点P(-1,2)的直线方程为：x=-1，A(2,3)到x=-1的距离等于3，且B(-4,5)到x=-1的
距离也等于3，符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，过点P(-1,2)的直线方程为：y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0，
依题设知：
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幻灯片 30解上式得：
所以，所求直线方程为：x+3y-5=0；
综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.
方法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点P(-1,2)与AB平行的直线，另一条是过点P及AB中点的直线.
因为A(2,3)，B(-4,5)，所以 因此，过点P与
AB平行的直线的方程为：
y-2= (x+1),即x+3y-5=0;
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幻灯片 31又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)，
所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1；
综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.
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幻灯片 32 对称问题
【方法点睛】1.对称中心的求法
若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标
公式求得a、b的值，即
2.轴对称的两个公式
若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A≠0)对称，则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l.故有
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幻灯片 333.对称问题的类型
(1)点关于点对称；(2)点关于直线对称；
(3)直线关于点对称；(4)直线关于直线对称.
以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称.
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幻灯片 34【例3】已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1,-2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程.
【解题指南】(1)可设对称点A′的坐标为(m,n)，利用AA′与直线l垂直以及线段AA′的中点在直线l上，得出关于m、n的方程组，解方程组即可得A′的坐标；(2)本题实质上是求直线的方程，可想法找到两个点的坐标，即可求出直线l′的方程.也可在l′上任取一点，利用该点关于点A的对称点在直线l上即可得出方程.
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幻灯片 35【规范解答】(1)设对称点A′的坐标为(m,n)，由已知可
得
解得 即A′( ).
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幻灯片 36(2)方法一：在l上任取两点(1,1)与(0, )，则它们关于点
A(-1，-2)的对称点坐标为(-3,-5)与(-2, )
∴ l′的方程为: 化简得2x-3y-9=0.
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幻灯片 37方法二:设点P(x,y)为l′上任意一点，则点P关于点A的对称点
为P′(-2-x,-4-y)，又因为P′在直线l上，所以，
2(-2-x)-3(-4-y)+1=0，
即2x-3y-9=0.
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幻灯片 38【反思·感悟】1.此题是点关于线对称，线关于点对称，这类问题都要抓住对称这一特征解决问题.
2.利用方程思想和中点坐标公式，找到已知点与未知点之间的关系，最后代入已知方程求解.
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幻灯片 39【变式训练】求直线m：3x-2y-6=0关于直线l：2x-3y+1=0对称的直线m′的方程.
【解析】由 解得m与l的交点
E(4,3)，E点也在直线m′上.
在直线m：3x-2y-6=0上取一点A(2,0)，设A点关于直线l的对称点B的坐标为 (a,b)，则
由
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幻灯片 40解得B( ).
由两点式得直线m′的方程为
即9x-46y+102=0.
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幻灯片 41【创新探究】新定义下的直线方程问题
【典例】(2012·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x,y)，定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点.
对于以下结论：①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积
为2；
②设P为直线 x+2y-2=0上任意一点，则[OP]的最小值为1；
其中正确的结论有______(填上你认为正确的所有结论的序号) .
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幻灯片 42【解题指南】①根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；②认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1是假命题.
【规范解答】①由[OP]=1，根据新
定义得：|x|+|y|=1, 上式可化为：
y=-x+1(0≤x≤1)，y=-x-1(-1≤x
≤0)，y=x+1(-1≤x≤0)，y=x-1
(0≤x≤1),画出图象如图所示：
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幻灯片 43根据图形得到：四边形ABCD为边长是 的正方形，所以面
积等于2，故①正确；
②当点P为( 0)时，[OP]=|x|+|y|= +0＜1,所以[OP]
的最小值不为1，故②错误；
所以正确的结论有：①.
答案：①
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幻灯片 44【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：
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幻灯片 45----
幻灯片 461.(2012·海口模拟)直线l1的斜率为2,l1∥l2，直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )
(A)(3，0) (B)(-3，0)
(C)(0，-3) (D)(0，3)
【解析】选D. ∵点P在y轴上，∴设P(0,y),
又∵ l1∥l2,
∴y=3,∴P(0,3).
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幻灯片 472.(2012·大连模拟)已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0，当l1与l2相交于点P(m,-1)时，m,n的值分别为_______、
_______.
【解析】∵m2-8+n=0,2m-m-1=0,∴m=1,n=7.
答案：1 7
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幻灯片 483.(2012·聊城模拟)若点P是曲线y=x2上的任意点，则点P到直线y=x-2的最小距离为___________.
【解析】在曲线y=x2上任取一点P(x0,y0)，则P到直线
y=x-2的距离为：
因此，当x0= 时其最小值为
答案：
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幻灯片 494.(2011·安徽高考)设直线l1:y=k1x+1，l2:y=k2x-1，其中实数
k1，k2满足k1k2+2=0.
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
【解题指南】(1)注意两直线相交的定义，可用反证法；先假设
l1与l2不相交,之后推出矛盾.(2)可以求出交点，代入方程；也可
消去参数k1、k2，得出椭圆方程.
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幻灯片 50【证明】(1)(反证法)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有
k1＝k2，代入k1k2+2=0，得k12+2=0.
此与k1为实数的事实相矛盾.从而k1≠k2，即l1与l2相交.
(2)方法一：由方程组 得
得交点P的坐标(x,y)为
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幻灯片 51而
此即表明交点在椭圆2x2+y2=1上.
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幻灯片 52方法二：交点P的坐标(x,y)满足 显然x≠0，从而
代入k1k2+2=0，得 整理得：2x2+y2=1,
所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.
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