幻灯片 1第三节 圆的方程
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幻灯片 2三年6考 高考指数:★★
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；
2.初步了解用代数方法处理几何问题.
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幻灯片 31.圆的方程的求法、圆的几何性质是高考的重点；
2.常和圆的几何性质结合,重点考查待定系数法、方程的曲线与曲线的方程的概念；
3.题型多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇.
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幻灯片 41.圆的定义、方程
(1)在平面内到______的距离等于______的点的轨迹叫做圆；
(2)确定一个圆的基本要素是： _______和_______.
(3)圆的标准方程
①两个条件：圆心(a,b),________；
②标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.
定点
定长
圆心
半径
半径r
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幻灯片 5(4)圆的一般方程
①一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0；
②方程表示圆的充要条件为：______________；
③圆心坐标_________,半径r=_______________.
D2+E2-4F＞0
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幻灯片 6【即时应用】
(1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是__________;
(2)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+ y-3=0的距离为_______;
(3)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为
圆心, 为半径的圆的方程为_______________________.
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幻灯片 7【解析】(1)x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，所以a2+(2a)2-4(2a2+a-1)＞0,解得-2＜a＜
(2)x2-2x+y2-3=0的圆心坐标为(1,0)，它到直线x+ y-3=0的
距离为
(3)直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0,
由 得 ∴C(-1,2).
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幻灯片 8∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
即:x2+y2+2x-4y=0.
答案：(1)-2＜a＜ (2)1 (3)x2+y2+2x-4y=0
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幻灯片 92.点与圆的位置关系
(1)理论依据：____与_______的距离与半径的大小关系
(2)三个结论:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0)
①__________________ ⇔点在圆上；
②__________________ ⇔点在圆外；
③__________________ ⇔点在圆内.
点
圆心
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2＜r2
(x0-a)2+(y0-b)2＞r2
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幻灯片 10【即时应用】
(1)思考：①若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上，则x02+y02+Dx0+Ey0+F满足什么条件？
②若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内，则x02+y02+Dx0+Ey0+F
满足什么条件？
③若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x02+y02+Dx0+Ey0+F
满足什么条件？
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幻灯片 11提示：①x02+y02+Dx0+Ey0+F=0;
②x02+y02+Dx0+Ey0+F＜0;
③x02+y02+Dx0+Ey0+F＞0.
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幻灯片 12(2)已知点A(0,0)在圆：x2+y2+2ax+a2+a-2=0外，则a的取值范围是____________;
【解析】因为方程x2+y2+2ax+a2+a-2=0表示圆，所以(2a)2-4(a2+a-2)＞0，解得:a＜2,
又因为点A(0,0)在圆外，所以a2+a-2＞0，解得：a＜-2或a＞1,综上可得1＜a＜2或a＜-2.
答案：1＜a＜2或a＜-2
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幻灯片 13(3)已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线
x-y=0的对称点B也在圆上，则a=______,b=______.
【解析】方法一：点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为B(2,1)，又因为A、B两点都在圆上，
所以 解得
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幻灯片 14方法二：易知圆心在y=x上，∴1=
即a=-2,又∵点A(1,2)在圆x2+y2-2x-2y+b=0上，
∴12+22-2×1-2×2+b=0,∴b=1.
答案：-2 1
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幻灯片 15 求圆的方程
【方法点睛】1.求圆的方程的方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值;
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幻灯片 16②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.
2.确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
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幻灯片 17【例1】(1)过点A(6,5)、B(0,1)，并且圆心在直线3x+10y+9=0上的圆的方程为______________；
(2)求经过点A(-2,-4)，且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.
【解题指南】(1)因为圆心在弦的垂直平分线上，所以解方程组，求出圆心，再求出半径，即得圆的方程；
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幻灯片 18(2)可先设圆心坐标为C(a,b)，由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a、b的两个方程，解方程组即可得到圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程；也可直接求出圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程.
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幻灯片 19【规范解答】(1)因为圆经过A、B两点，所以，圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分线方程为：3x+2y-15=0,解方程
组 得：
所以圆心坐标为：C(7,-3),又|BC|=
所以，所求圆的方程为：(x-7)2+(y+3)2=65.
答案：(x-7)2+(y+3)2=65
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幻灯片 20(2)方法一：设圆心坐标为C(a,b),依题意得：
解得：
半径r=
因此，所求圆的方程为：
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幻灯片 21方法二：依题意得,圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分线方程为：x+y-4=0；又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线上，而此直线方程为：3x-y-18=0，解方程组
得：
以下同方法一.
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幻灯片 22【互动探究】本例(2)中“经过点A(-2，-4)”改为“圆心在直
线x+y-4=0上”,结果如何？
【解析】方法一：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依题设
有 解得
因此，所求圆的方程为:
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幻灯片 23方法二：依题设可知，圆心也在过切点B(8，6)且与l垂直的直线上，其斜率为3，所以方程为y-6=3(x-8)
即3x-y-18=0，又圆心在x+y-4=0上，由
得圆心
半径
因此，所求圆的方程为：
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幻灯片 24【反思·感悟】1.从题组求解可以看出，确定一个圆的方程，需要三个独立的条件；“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.
2.解答与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.
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幻灯片 25【变式备选】已知圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是__________________.
【解析】因为圆心为点(2,-3)，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，所以，直径的两个端点坐标为(4,0)、(0,-6)，
所以，圆的半径为 圆的方程为：
(x-2)2+(y+3)2=13.
答案：(x-2)2+(y+3)2=13
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幻灯片 26 与圆有关的最值问题
【方法点睛】与圆有关的最值问题，常见的有以下类型
(1)形如 型的最值问题，可转化为过点(a,b)和点(x,y)
的直线的斜率的最值问题；
(2)形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值
问题;
(3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.
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幻灯片 27【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求y-x的最大值和最小值；
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
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幻灯片 28【解题指南】充分利用所求代数式的几何意义，运用几何法求
解. 为点(x,y)与原点连线的斜率；而y-x表示动直线y=x+b的
纵截距；x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方；也可以消去
一个元，转化为在函数定义域内求最值.
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幻灯片 29【规范解答】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆
心， 为半径的圆， 的几何意义为点(x,y)与原点连线的斜
率，所以设 =k，即y=kx,当直线与圆相切时，斜率k取最大值
或最小值，此时 解得k=± 所以 的最大值为
最小值为
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幻灯片 30(2)y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距，当直线与圆相切时，
直线y=x+b在y轴上的截距取最大值或最小值，此时
解得b=-2± 所以y-x的最大值为-2+ 最小值
为-2-
(3)方法一：x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方，由平面几
何知识可知，原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取
得最大值或最小值.又圆心到原点的距离为2，
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幻灯片 31故(x2+y2)max=
(x2+y2)min=
方法二：由x2+y2-4x+1=0得：y2=-x2+4x-1,且-x2+4x-1≥0,
即：
∴x2+y2=x2+(-x2+4x-1)=4x-1,
∴(x2+y2)max=
(x2+y2)min=
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幻灯片 32【反思·感悟】1.本题三问都是求代数式的最值，它们都是利用代数式的几何意义与取最值时所满足的条件得出等式，通过解方程即可得出结论.
2.解答圆的最值问题，应注意数形结合，充分运用直线的斜率、在坐标轴上的截距、几何性质，来寻找解题思路.
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幻灯片 33【变式训练】已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动，则
的最大值为________；最小值为______.
【解析】 的几何意义表示圆上的动点与(2,1)连线的斜率，
所以设 =k，即kx-y+1-2k=0，当直线与圆相切时，斜率k
取最大值或最小值，此时 解得k=± 所以
的最大值为 最小值为-
答案：
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幻灯片 34【变式备选】若点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点，求
(x-2)2+(y+4)2的最大值、最小值.
【解析】方法一：(x-2)2+(y+4)2表示圆上的点到定点(2,-4)
的距离的平方，因为圆心(-1,0)到点(2,-4)的距离为
所以，圆上的点到点(2,-4)的距离的
最大值为6、最小值为4；因此，(x-2)2+(y+4)2的最大值为36、最小值为16.
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幻灯片 35方法二：因为点P(x,y)是圆(x+1)2+y2=1上任意一点，所以可设
则(x-2)2+(y+4)2
=(cosθ-3)2+(sinθ+4)2=26+8sinθ-6cosθ
=26+10sin(θ+β)(其中tanβ= ).
故(x-2)2+(y+4)2的最大值为36；
(x-2)2+(y+4)2的最小值为16.
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幻灯片 36 与圆有关的轨迹问题
【方法点睛】1.求轨迹方程的基本步骤
第一步：建立适当的平面直角坐标系，设曲线上任意点的坐标为M(x,y)；
第二步：写出适合已知条件的点M的集合P={M|P(M)}；
第三步：用坐标表示P(M)，列出方程f(x,y)=0；
第四步：化简方程f(x,y)=0为最简形式.
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幻灯片 372.求与圆有关的轨迹方程的方法
【提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别.
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幻灯片 38【例3】长为2a的线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程.
【解题指南】可设AB的中点坐标为(x,y)，再求出A、B的坐标，由距离公式及线段AB的长即可得出方程；还可由AB的中点与坐标原点的距离为定长，得出轨迹为圆，从而得出方程.
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幻灯片 39【规范解答】方法一：设AB的中点坐标为(x,y)，因为线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，所以A、B两点的坐标分别为A(2x,0)、B(0,2y)，因为线段AB长为2a，所以
化简得：x2+y2=a2.
方法二：设AB的中点坐标为(x,y),依题设知，AB的中点到原点的距离为a,所以其轨迹为以原点为圆心，以a为半径的圆，其方程为x2+y2=a2.
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幻灯片 40【反思·感悟】1.求点的轨迹时，关键是发现点满足的几何条件，寻找等式，得出方程；另外，注意圆的定义的应用，如果轨迹是圆，则可由圆心及半径直接写出圆的方程.
2.解答轨迹问题时，要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.
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幻灯片 41【变式训练】已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程.
【解析】方法一：直接法
设P(x,y)，由题意知圆心C(1，1).
∵P点是过点A的弦的中点，∴
又∵ ＝(2-x,3-y), =(1-x,1-y),
∴(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0,
∴P点的轨迹方程为
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幻灯片 42方法二：定义法
由已知知，PA⊥PC,∴由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上，又圆心C(1，1)，而AC中点为( 2),
|AC|= 所以半径为
所求动点P的轨迹方程为
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幻灯片 43【满分指导】与圆的方程有关的解答题的规范解答
【典例】(12分)(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB,求a的值.
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幻灯片 44【解题指南】(1)可先求出曲线与坐标轴的交点坐标，再求圆的方程；
(2)直线与圆的方程联立，由 =0即可求出a的值.
【规范解答】(1)曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点为(0,1),
(3± 0).…………………………………………2分
故可设圆的圆心坐标为(3,t),
则有32+(t-1)2=(2 )2+t2,解得：t=1.…………………4分
则圆的半径为
所以圆的方程为：(x-3)2+(y-1)2=9. …………………6分
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幻灯片 45(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足方程组
消去y得到方程：2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,
由已知可得判别式
Δ=(2a-8)2-4×2(a2-2a+1)=56-16a-4a2＞0,
由根与系数的关系可得：
①……………………9分
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幻灯片 46由OA⊥OB可得：x1x2+y1y2=0.
又y1=x1+a,y2=x2+a，
所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0 ②
由①②可得a=-1，满足Δ＞0,故a=-1.…………12分
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幻灯片 47【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 48----
幻灯片 491.(2011·安徽高考)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心，则a的值为( )
(A)-1 (B)1
(C)3 (D)-3
【解析】选B.圆的方程x2+y2+2x-4y=0可变形为(x+1)2+(y-2)2=5,
所以圆心坐标为(-1,2),代入直线方程得a=1.
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幻灯片 502.(2012·烟台模拟)直线2x-y- =0与y轴的交点为P，点P把
圆 (x-1)2+y2=25的直径分为两段，则其长度之比为( )
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幻灯片 51【解析】选A.∵直线2x-y- ＝0与y轴的交点P(0， )，
P与圆心(1，0)的距离为2，而圆的半径为r=5，
∴点P将圆的直径分为3、7两段，故长度之比为
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幻灯片 523.(2012·柳州模拟)直线 ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A、B
两点(a、b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，
则点P(a,b)与点(0,1)之间的距离的最大值为( )
(A) +1 (B)2
(C) (D) -1
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幻灯片 53【解析】选A.∵△AOB为直角三角形，∴∠AOB=90°,
∴圆心到直线的距离 即2a2+b2=2,
可得0≤b2≤2,
而P(a,b)与点(0,1)之间的距离为：
又∵ ∴当b=- 时，
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幻灯片 544.(2011·辽宁高考)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_________________.
【解析】设C(x,0),由|CA|=|CB|，得
解得x=2.∴r=|CA|=
∴圆C的标准方程为(x-2)2+y2=10.
答案：(x-2)2+y2=10
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