幻灯片 1第五节 椭 圆
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幻灯片 2三年19考 高考指数:★★★★
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；
2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用；
3.理解数形结合的思想.
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幻灯片 31.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点；
2.椭圆的定义、标准方程、几何性质常常独立考查；直线与椭圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题；
3.选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现.
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幻灯片 41.椭圆的定义
(1)满足条件
①在平面内
②与两个定点F1、F2的距离之_____等于常数
③常数大于_______
(2)焦点：两定点
(3)焦距：两_______间的距离
|F1F2|
焦点
和
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幻灯片 5【即时应用】
判断下列点的轨迹是否为椭圆(请在括号内填“是”或“否”)
(1)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于2的点的轨迹
( )
(2)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于4的点的轨迹
( )
(3)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于6的点的轨迹
( )
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幻灯片 6【解析】由椭圆的定义可知:(1)距离之和小于|AB|，所以点
的轨迹不存在；(2)距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B为
端点的一条线段；(3)符合椭圆定义，点的轨迹是以A、B为焦
点，长轴长为6的椭圆.
答案：(1)否 (2)否 (3)是
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幻灯片 72.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
图形
性质
范围
对称性
顶点
轴
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幻灯片 8
图形
性质
焦距
离心率
a、b、c
的关系
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幻灯片 9【即时应用】
(1)思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?
提示：因为离心率 所以，离心率越接
近于1，b就越接近于0，即短轴的长接近于0，椭圆就越扁；离
心率越接近于0，a、b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近
相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆.
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幻灯片 10(2)已知椭圆 的焦点在y轴上，若椭圆的离心率为
则m的值为_______.
【解析】 的焦点在y轴上，所以a2=m,
b2=2，离心率为 又离心率为 所以
解得m=
答案：
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幻灯片 11(3)已知椭圆的短轴长为6，离心率为 则椭圆的一个焦点到
长轴端点的距离为_________.
【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 ①
又因为离心率为 所以 ②
又因为a2=b2+c2 ③
解①②③组成的方程组得：a=5,c=4.
所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.
答案：9或1
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幻灯片 12 椭圆的定义、标准方程
【方法点睛】 1.椭圆定义的应用
利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.
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幻灯片 132.椭圆的标准方程
(1)当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为
(a>b>0)；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为
(a>b>0)；
(2)当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可
设为 (m>0,n>0,m≠n)，这样可避免讨论和复杂的计
算；也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)这种形式,在解题时更
简便.
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幻灯片 14【例1】(1)已知△ABC的顶点B、C在椭圆 上，顶点
A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为_________.
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.
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幻灯片 15【解题指南】(1)注意A为椭圆的一个焦点，且BC边过椭圆的另
一个焦点，因此，可借助于椭圆的定义求△ABC的周长；(2)可
先设椭圆的方程为 或 (a>b>0)，再根据题
设条件求出相应的系数值即可.
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幻灯片 16【规范解答】(1)因为A为椭圆的一个焦点，且BC边过椭圆的另一个焦点，设该焦点为F，所以由椭圆的定义得：
|BA|+|BF|= |CA|+|CF|=
因此，△ABC的周长为
答案：
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幻灯片 17(2)设椭圆方程为 或 (a>b>0)，因为P到两
焦点的距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P
且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以(2c)2=52-
32=16，所以c2=4，
因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为：
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幻灯片 18【互动探究】本例(2)将条件“过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点”改为“点P和两焦点构成的三角形为直角三角形”,结果如何？
【解析】当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同，所以，椭圆方程为
当直角顶点为点P时，则有(2c)2=52+32=34，
所以c2= 又因为a=4，所以b2=a2-c2=
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幻灯片 19所以椭圆方程为：
综上可知：所求椭圆方程为： 或
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幻灯片 20【反思·感悟】1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解；
2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；
⒊当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有a>b>0.
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幻灯片 21【变式备选】已知F1、F2是椭圆C： (a＞b＞0)的两个
焦点，P为椭圆C上的一点，且 若△PF1F2的面积为9，
则b=________.
【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
则
∴2r1r2=(r1+r2)2-(r12+r22)=4a2-4c2=4b2,
∴ ∴b=3.
答案：3
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幻灯片 22 椭圆的几何性质及应用
【方法点睛】1.椭圆几何性质中的不等关系
对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系.
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幻灯片 232.利用椭圆几何性质应注意的问题
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.
3.求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.
【提醒】椭圆离心率的范围:0b>0)的两个焦
点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且 tan∠PF1F2=2,
则该椭圆的离心率等于________.
【解题指南】由 得△F1PF2为直角三角形，再由tan∠PF1F2=2得出两直角边的比为2，而斜边长为2c，由勾股定理及椭圆的定义即可求出离心率.
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幻灯片 25【规范解答】因为 所以PF1⊥PF2，得△F1PF2为直角三角形，又因为tan∠PF1F2=2，所以可设|PF1|=m，则|PF2|=2m，2a=3m，2c=
所以离心率
答案：
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幻灯片 26【反思·感悟】1.求椭圆的离心率的值的问题，关键是依据题设条件寻找关于a、b、c的一个等式，或解方程求出离心率，或直接求出离心率；
2.在解方程求椭圆离心率的值时，要注意椭圆离心率自身的范围，有增根要舍去.
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幻灯片 27【变式训练】定义：离心率e= 的椭圆为“黄金椭圆”，
已知E： (a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0)，则E
为“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的( )
(A)既不充分也不必要条件
(B)充分且必要条件
(C)充分不必要条件
(D)必要不充分条件
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幻灯片 28【解析】选B.若E为黄金椭圆，则
∴
所以a,b,c成等比数列.
若a、b、c成等比数列，则b2=ac
⇒a2-c2=ac⇒e2+e-1=0，又0b>0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC
为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于______.
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幻灯片 30【解析】依题设知：点C的坐标为( )，又因为点C在椭
圆E上，所以有 解得a2=9b2，
因此，a2=9(a2-c2)，即
所以椭圆E的离心率等于
答案：
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幻灯片 31 直线与椭圆的位置关系
【方法点睛】1.直线与椭圆位置关系判断的步骤
第一步：联立直线方程与椭圆方程；
第二步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程；
第三步：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离.
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幻灯片 322.直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2，y2),则
(k为直线斜率).
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幻灯片 333.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
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幻灯片 34【例3】(2011·北京高考)已知椭圆G: (a>b>0)
的离心率为 右焦点为( 0)，斜率为1的直线l与椭圆
G交于A,B两点，以AB为底边作等腰△PAB，顶点为P(-3,2).
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积.
【解题指南】(1)利用a,b,c的关系及离心率求出a,b，代入标准方程；
(2)联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而不求，整体代入.
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幻灯片 35【规范解答】(1)由已知得
解得a=
又b2=a2-c2=4，所以椭圆G的方程为
(2)设直线l的方程为y=x+m，由 得，
4x2+6mx+3m2-12=0 ①
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1b>0)的焦距为 离心率为
(1)求椭圆方程；
(2)设过椭圆顶点B(0,b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|、|BE|、|DE|成等比数列，求k2的值.
【解析】(1)由已知2c= 解得a=2，c=
所以b2=a2-c2=1，
椭圆的方程为
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幻灯片 39(2)由(1)得过B点的直线为y=kx+1，
由 得(4k2+1)x2+8kx=0，
所以
依题意k≠0，k≠±
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幻灯片 40因为|BD|、|BE|、|DE|成等比数列，
所以，|BE|2=|BD|·|DE|
所以b2=(1-yD)|yD|，即(1-yD)|yD|=1，
当yD>0时，yD2-yD+1=0，无解，
当yD<0时，yD2-yD-1=0，解得yD=
所以 解得
所以，当|BD|、|BE|、|DE|成等比数列时，
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幻灯片 41【满分指导】直线与椭圆综合问题的规范解答
【典例】(12分)(2011·江苏高考)
如图，在平面直角坐标系xOy中，
M、N分别是椭圆 的顶点，
过坐标原点的直线交椭圆于P、A两
点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
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幻灯片 42(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；
(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB.
【解题指南】(1)利用MN的中点在PA上即可求解；(2)先求点P的坐标，再求出AB的方程，就能求出距离d;(3)证明斜率之积为-1即可.
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幻灯片 43【规范解答】(1)由题意知，a=2,b= 故M(-2,0),N(0,
所以线段MN的中点的坐标为(-1, )，由于直线PA平分线段
MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以
…………………………………………3分
(2)直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得 解得
因此P( ),A( ),
于是C( 0),直线AC的斜率为
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幻灯片 44所以直线AB的方程为x-y- =0， ………………5分
因此 ………………………………7分
(3)方法一：将直线PA的方程y=kx代入
解得 …………………8分
则P(μ,μk),A(-μ,-μk)，于是C(μ,0)，故直线AB的斜率为
直线AB的方程为y= (x-μ)，代入椭圆方程得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0，解得 或
x=-μ， ……………………………………………10分
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幻灯片 45因此B( )，于是直线PB的斜率为
因此k1k=-1，所以PA⊥PB. …………………………12分
方法二：设P(x1,y1)，B(x2,y2),则x1>0,x2>0,x1≠x2，
A(-x1,-y1),C(x1,0). …………………………8分
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幻灯片 46设直线PB，AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上，所以
从而k1k+1=2k1k2+1=
+1 …………………………………………………………10分
因此k1k=-1，所以PA⊥PB.………………………………12分
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幻灯片 47【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 48----
幻灯片 491.(2011·新课标全国卷)椭圆 的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选D.直接求e= 故选D.
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幻灯片 502.(2012·临沂模拟)设椭圆 =1(m＞0，n＞0)的右焦点
与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为 则此椭圆的方程为
( )
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幻灯片 51【解析】选B.∵抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，
∴椭圆中c=2，
∴m=4，m2=16，n2=m2-c2=16-4=12，
∴椭圆方程为：
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幻灯片 523.(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中
心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为 过F1的直线l交C
于A,B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________.
【解析】由△ABF2的周长等于4a=16,得a=4，又知离心率为
即 进而c= 所以a2=16，b2=a2-c2=16-8=8，
∴C的方程为
答案：
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幻灯片 534.(2011·浙江高考)设F1,F2分别为椭圆 的左、右
焦点，点A,B在椭圆上，若 则点A的坐标是_______.
【解析】椭圆的焦点分别为F1( 0),F2( 0)，设A点坐
标为(m,n),B点坐标为(p,t)则m+ =5(p- ),即
又 且
由上面两式解得m=0,n=±1,即点A的坐标是(0,±1).
答案：(0，1)或(0,-1)
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