幻灯片 1第六节 双 曲 线
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幻灯片 2三年13考 高考指数:★★★
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.
2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.
3.理解数形结合的思想.
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幻灯片 31.双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，双曲线的离心率、渐近线或与其他知识结合是高考的热点；
2.多以选择题、填空题为主，属中低档题目.
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幻灯片 41.双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内；
(2)动点到两定点的距离_____________为一定值；
(3)这一定值一定要_______两定点的距离.
之差的绝对值
小于
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幻灯片 5【即时应用】
判断下列点的轨迹是否为双曲线(请在括号内填写“是”或“否”)
(1)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于2的点的轨迹；
( )
(2)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于3的点的轨迹； ( )
(3)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于4的点的轨迹；
( )
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幻灯片 6(4)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹； ( )
(5)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于6的点的轨迹；
( )
(6)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹. ( )
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幻灯片 7【解析】由双曲线的定义可知：(1)点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的一支；(2)点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为3的双曲线；(3)点的轨迹是以B为端点方向向下的一条射线;(4)点的轨迹是分别以A、B为端点方向向上、下的两条射线；(5)距离之差大于|AB|，所以点的轨迹不存在；(6)距离之差的绝对值大于|AB|，所以点的轨迹不存在.
答案：(1)否 (2)是 (3)否 (4)否 (5)否 (6)否
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幻灯片 82.双曲线的标准方程和几何性质
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幻灯片 9【即时应用】
(1)思考：双曲线离心率的大小与双曲线“张口”大小有怎样的关系?
提示:因为离心率
所以，离心率越大， 就趋近于+∞，即两条渐近线所形成的角(双曲线所在的区域)就越大，即双曲线的“张口”就越大；离心率越小即接近1， 就趋近于0，即两条渐近线所形成的角(双曲线所在的区域)就越小，即双曲线的“张口”就越小.
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幻灯片 10(2)已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为_________.
【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为：
所以a2=3，
又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为
答案：
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幻灯片 11(3)已知双曲线 (a＞0,b＞0)的虚轴长为2，焦距为
则双曲线的渐近线方程为__________________.
【解析】依题意知：2b=2，2c=
所以b=1，c= a= 因此，双曲线的渐近线方程为：
答案：y=±
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幻灯片 12 双曲线的定义、标准方程
【方法点睛】1.应用双曲线定义的注意事项
(1)距离之差的绝对值;
(2)2a＜|F1F2|;
(3)双曲线上任意一点与两焦点围成的“焦点三角形”中的数量关系.
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幻灯片 13⒉双曲线的标准方程
(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程
可设为 (mn＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；
也可设为Ax2+By2=1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay=0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；
(3)与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为
(λ≠0)，据其他条件确定λ的值.
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幻灯片 143.求双曲线标准方程的方法及步骤
(1)定义法：根据题设条件得出或已知曲线为双曲线，可直接求出a、b、c，得出双曲线方程；
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程，将题设条件代入方程确定相关系数，最后得出方程.
【提醒】用定义法求双曲线方程时，要注意焦点所在坐标轴的位置.
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幻灯片 15【例1】(1)与双曲线 有相同的渐近线，且过点
(-3, )的双曲线方程为_______________.
(2)已知定点A(0,7)，B(0,-7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程.
【解题指南】(1)先设出双曲线的方程，用待定系数法求解；(2)由椭圆定义得出关于点F的等式，化简后可得出点F的轨迹，进而得出轨迹方程.
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幻灯片 16【规范解答】(1)因为所求双曲线与 有相同的渐近线，所以设所求双曲线方程为 (λ≠0)，又因为双
曲线过点(-3, )，所以 解得λ=
所以所求双曲线方程为：
即
答案：
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幻灯片 17(2)由椭圆的定义知：|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，
又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),
所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2,
所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,b2=48,
因此所求轨迹方程为: (y＜0).
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幻灯片 18【互动探究】本例(1)中“有相同的渐近线”改为“有相同的焦点”，结果如何？
【解析】双曲线 中，c=5，焦点坐标为(-5,0)、
(5,0)，又因为所求双曲线与双曲线 有相同的焦点，所以可设双曲线方程为
又因为双曲线过点(-3,2 )，所以
解得 (舍去)或
所以双曲线方程为：
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幻灯片 19【反思·感悟】1.第一小题有相同渐近线的双曲线方程的设法只有一个参数，再需一个条件即可求解；
2.第二小题是借助于椭圆的定义，得出一个等式，再由双曲线的定义得出轨迹为双曲线的一支.
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幻灯片 20【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P、Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长为___________.
【解析】因为x2-y2=8，所以2a=
由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|=
|QF2|-|QF1|=
所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|=
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幻灯片 21即|PF2|+|QF2|-|PQ|=
又因为|PQ|=7，所以|PF2|+|QF2|=7+
因此,△PF2Q的周长为
|PF2|+|QF2|+|PQ|=14+
答案：14+
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幻灯片 22 双曲线的几何性质
【方法点睛】1.双曲线的几何性质的关注点
双曲线的几何性质从以下三点关注：
(1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;
(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线;
(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形.
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幻灯片 232.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系
(1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意
及判断焦点的位置；
(2)已知渐近线方程y=mx(m＞0)求离心率时，若焦点不确定时， 因此离心率有两种可能.
【提醒】双曲线中a、b、c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆.
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幻灯片 24【例2】(1)(2011·福建高考)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2，
则曲线C的离心率等于( )
(A) (B) 或2
(C) 或2 (D) 或
(2)(2011·北京高考)已知双曲线 (b>0)的一条渐近线
的方程为y=2x,则b=________.
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幻灯片 25【解题指南】(1)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线.再由椭圆、双曲线的定义及离心率的定义即可求解．
(2)利用双曲线方程与其渐近线方程之间的关系求出渐近线方程，比较两渐近线方程，即可求出b值.
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幻灯片 26【规范解答】(1)选A.∵|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2，
∴可设|PF1|=4k，|F1F2|=3k，|PF2|=2k，k>0,
其中|F1F2|=2c=3k，∴c=
若圆锥曲线C为椭圆，则|PF1|+|PF2|=2a=6k，
∴a=3k，∴
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幻灯片 27若圆锥曲线C为双曲线，则|PF1|-|PF2|=2a=2k,
∴a=k,∴ ∴e的取值为
(2)令 得渐近线方程为y=±bx.由已知可得b=2.
答案：2
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幻灯片 28【互动探究】在本例(1)中，若圆锥曲线为双曲线且c=6，其他条件不变，求双曲线的焦点到其渐近线的距离.
【解析】因为圆锥曲线为双曲线且c=6，又因为
|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2，
所以|PF1|=16,|PF2|=8,
2a=16-8=8，即a=4,所以
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幻灯片 29当双曲线的焦点在x轴上时，一个焦点为(6,0)，一条渐近线方程为 x-2y=0，焦点到渐近线的距离为
当双曲线的焦点在y轴上时，一个焦点为(0,6)，一条渐近线方程为2x- y=0，焦点到渐近线的距离为
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幻灯片 30【反思·感悟】1.第一小题首先是讨论曲线的类型，然后再根据相应曲线的定义，求出离心率的值.
2.第二小题关键是利用双曲线的方程与其渐近线方程之间的关系求解.
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幻灯片 31【变式备选】已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线
的右焦点，且双曲线过点 则该双曲线
的渐近线方程为________________.
【解析】抛物线y2=2px的焦点为 双曲线 的右焦
点为( 0)，∴ 即p2=4(a2+b2).因为双曲线
过点
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幻灯片 32所以
∴9a2-4b2=p2=4(a2+b2),∴8b2=5a2,
∴ 渐近线方程为y=±
答案：y=±
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幻灯片 33 与双曲线有关的综合问题
【方法点睛】⒈直线与双曲线的位置关系
判断直线l与双曲线E的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)代入双曲线E的方程F(x,y)=0，消
去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
即 消去y后得ax2+bx+c=0.
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幻灯片 34
直
线
与
双
曲
线
方程特征
公共点个数
位置关系
a=0
a≠0 Δ>0
a≠0 Δ=0
a≠0 Δ<0
1
2
1
0
直线与双曲线的渐近线平行，两者相交
相交
相切
相离
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幻灯片 352.解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法
(1)当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(组),通过解不等式(组)求得参数的取值范围；
(2)当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时,则可先建立目标函数,进而转化为求解函数的值域.
【提醒】解决直线与双曲线相交问题时，若涉及到弦的中点或斜率，一般用点差法求解.
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幻灯片 36【例3】(2012·合肥模拟)已知双曲线C: (a＞0)与直
线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围.
(2)设直线l与y轴交点为P，且 求a的值.
【解题指南】(1)将直线方程代入双曲线方程消去y，整理成关于x的一元二次方程,得a的范围，利用a的取值范围求解;
(2)设出A，B的坐标，利用(1)中一元二次方程的根与系数的关系求解.
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幻灯片 37【规范解答】(1)由双曲线C与直线相交于两个不同的点，知方
程组 有两个不同的解，消去y并整理得:
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 ①,
∴ 解得0＜a＜ 且a≠1,
双曲线的离心率
∵0＜a＜ 且a≠1,
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幻灯片 38∴e＞
即离心率e的取值范围为
(2)设A(x1，y1)，B(x2,y2),P(0,1),
∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1),
得
由于x1,x2是方程①的两个根，
∴
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幻灯片 39即 消去x2，
得 解得a=
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幻灯片 40【反思·感悟】双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系.解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入的思想解题.设直线与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线的斜率为k,则
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幻灯片 41【变式训练】已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12，-15)，
则E的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
【解析】选B.设双曲线的标准方程为 (a＞0,b＞0)，
由题意知c=3,a2+b2=9,
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幻灯片 42设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有：
两式作差得：
又AB的斜率是 即 所以4b2=5a2.
将4b2=5a2代入a2+b2=9得a2=4,b2=5,
所以双曲线的标准方程为 故选B.
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幻灯片 43【易错误区】双曲线几何性质的解题误区
【典例】(2011·山东高考)已知双曲线 (a>0,b>0)
和椭圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆
离心率的两倍，则双曲线的方程为____________.
【解题指南】求椭圆焦点，即双曲线的焦点，由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b，然后写出双曲线的方程.
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幻灯片 44【规范解答】由题意知双曲线的焦点为( 0)、( 0)，
即c= 又因为双曲线的离心率为 所以a=2,故
b2=3，所以双曲线的方程为
答案：
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幻灯片 45【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
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幻灯片 46----
幻灯片 471.(2011·安徽高考)双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )
(A)2 (B)
(C)4 (D)
【解析】选C.将双曲线2x2-y2=8化成标准方程 则
a2=4，所以实轴长2a=4.
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幻灯片 482.(2012·三明模拟)若双曲线 上的一点P到它的右焦
点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是( )
(A)4 (B)12 (C)4或12 (D)6
【解析】选C.∵双曲线方程为
∴a=2，b= c=4.
又∵点P到右焦点的距离为8，
∴由双曲线的定义知点P到左焦点的距离为8-2a=8-4=4
或8+2a=8+4=12.
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幻灯片 493.(2011·湖南高考)设双曲线 (a>0)的渐近线方程
为3x±2y=0，则a的值为( )
(A)4 (B)3
(C)2 (D)1
【解析】选C.由 可得到双曲线的渐近线方程为
y=± x，又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，根据直
线重合的条件可得到a=2.
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幻灯片 504.(2011·江西高考)若双曲线 的离心率e=2，则
m=_________.
【解析】由题意可得a2=16,b2=m,
故c2=a2+b2=16+m,又∵e=
∴ ∴m=48.
答案：48
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幻灯片 515.(2011·辽宁高考)已知点(2，3)在双曲线C：
(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_________.
【解析】由题意可得 解之得
所以所求离心率
答案：2
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