幻灯片 1第七节 抛 物 线
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幻灯片 2三年15考 高考指数:★★★
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
2.理解数形结合的思想.
3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
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幻灯片 31.抛物线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化是高考的热点，有时与其他知识交汇命题；
2.多以选择题和填空题为主，属中、低档题目，有时也会在解答题中出现，属中、高档题目.
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幻灯片 41.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线
(1)在平面内；
(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离_______；
(3)定点_______定直线上.
相等
不在
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：在抛物线的定义中，若定点F在定直线l上，动点的轨迹是什么？
提示：若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F与定直线l垂直的一条直线.
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幻灯片 6(2)若动点P到点F(0,-2)的距离与它到直线y-2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为__________________.
【解析】由抛物线的定义知，点P的轨迹是以点F(0,-2)为焦点， y=2为准线的抛物线，其方程为：x2=－8y.
答案：x2=－8y
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幻灯片 72.抛物线的标准方程和几何性质
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幻灯片 8----
幻灯片 9【即时应用】
(1)思考：抛物线y2=2px(p＞0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系?若抛物线方程为x2=2py(p＞0)，结果如何?
提示：由抛物线的定义得：|MF|= 若抛物线方程为
x2=2py(p＞0)，则|MF|=
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幻灯片 10(2)抛物线4y=－x2的焦点坐标为__________.
【解析】抛物线4y=－x2的标准方程为x2=－4y，所以2p=4，再由抛物线的焦点在y轴的非正半轴上，所以抛物线的焦点坐标为(0,－1) .
答案：(0，-1)
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幻灯片 11(3)顶点在原点，对称轴是x轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是____________.
【解析】因为抛物线顶点与焦点的距离等于6，所以 =6，又
因为顶点在原点，对称轴是x轴，所以抛物线方程为：y2=±24x.
答案: y2=±24x
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幻灯片 12 抛物线的定义及其应用
【方法点睛】利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用.
【提醒】注意一定要验证定点是否在定直线上.
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幻灯片 13【例1】(1)若点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为______________.
(2)设P是抛物线y2=4x上的一动点，
①求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；
②若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|+|PF|的最小值.
【解题指南】(1)本题可化为动点到定点的距离与到定直线的距离相等，即轨迹为抛物线；
(2)注意到直线x=-1为抛物线的准线，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，即可解决.
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幻灯片 14【规范解答】(1)因为点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1，所以点P到直线x=-2的距离与它到点M(2,0)的距离相等，且M(2,0)不在直线x=-2上，故轨迹为抛物线.
答案:抛物线
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幻灯片 15(2)①由于A(-1,1)，F(1,0),P是抛物线上的任意一点，则|AP|+|PF|≥|AF|= 从而知点P到A(-1,1)的距离
与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为 所以点P到A(-1,1)
的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为
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幻灯片 16②如图所示，自点B作BQ垂直于
抛物线的准线于点Q，
交抛物线于点P1，此时｜P1Q|＝|P1F|，
那么｜PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,
即最小值为4.
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幻灯片 17【互动探究】(1)本例(1)中“M(2,0)”改为“M(-2,0)”，结果如何？
(2)本例(2)中“B(3,2)”改为“ B(1,5)”，结果如何？
【解析】(1)本例(1)中“M(2,0)”改为“M(-2,0)”，则说明动点P到定点M(-2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等，且点M在定直线上，所以点P的轨迹为一条直线；
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幻灯片 18(2)因为点B的坐标为(1,5)，且抛物线方程为y2=4x，所以该点在抛物线外，要求使|PB|+|PF|最小的点P，只需BF连线与抛物线相交，其交点即为所求P点，此时，最小值即|BF|的长, |BF|=5.
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幻灯片 19【反思·感悟】⒈本题(1)是利用抛物线的定义来求解，在求轨迹或轨迹方程时一定要注意圆锥曲线的定义，这样能起到事半功倍的效果.
2.与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，将点到准线的距离转化为点到焦点的距离，或将到焦点的距离转化为到准线的距离.
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幻灯片 20【变式备选】若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切，又与直线x+1=0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
【解析】方法一：设动圆半径为r,动圆圆心坐标为O′(x,y),因动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,则O′到(2,0)的距离为r+1,动圆与直线x+1=0相切，O′到直线x+1=0的距离为r.
所以O′到(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等,故O′的轨迹是以(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线，其方程为y2=8x.
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幻灯片 21方法二：设动圆圆心坐标为O′(x,y)，动圆半径为r,
据题意有
⇒
化简得y2=8x,
即动圆圆心的轨迹方程为y2=8x.
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幻灯片 22 抛物线的标准方程与性质
【方法点睛】1.求抛物线的标准方程的方法及注意事项
(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；
(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.
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幻灯片 232.抛物线的标准方程及其性质的应用
由抛物线的方程可求x、y的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p值，确定焦点坐标等.
【提醒】抛物线方程中的参数p＞0，其几何意义是焦点到准线的距离.
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幻灯片 24【例2】(2011·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
(A)(0，2) (B) ［0，2］
(C) (2，+∞) (D)［2，+∞)
【解题指南】本题可先求抛物线的准线，由圆与准线相交知动圆半径的范围，再由抛物线方程求得点M纵坐标的取值范围.
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幻灯片 25【规范解答】选C.设圆的半径为r，因为F(0，2)是圆心，抛物线C的准线方程为y=-2，由圆与准线相交知416，所以8y0+(y0-2)2>16，即有y02+4y0-12>0，解得y0>2或y0<-6，又因为y0≥0，所以y0>2.
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幻灯片 26【反思·感悟】1.解答本题的关键是直线与圆相交，圆的半径大于圆心到直线的距离.
2.当点在曲线上时，点的坐标适合曲线方程，这一条件在求最值、范围、解方程中应用比较广泛，但容易被忽视.
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幻灯片 27【变式训练】将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )
(A)n=0 (B)n=1
(C)n=2 (D)n≥3
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幻灯片 28【解析】选C.根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图，所以正三角形的个数n=2.
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幻灯片 29【变式备选】已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0
相切，则p的值为( )
(A) (B)1 (C)2 (D)4
【解析】选C.由y2=2px，得抛物线准线方程 圆x2+y2-
6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16，由圆心到准线的距离等于半径得：
3+ =4，所以p=2.
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幻灯片 30 直线与抛物线的位置关系
【方法点睛】1.直线与抛物线的位置关系的判定
设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p>0)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0.
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幻灯片 31----
幻灯片 322.直线与抛物线相交的几个结论
已知抛物线y2=2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点，
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有以下结论：
(1)｜AB|=x1+x2+p或|AB|= (α为AB所在直线的倾斜角)；
(2)
(3)y1y2=-p2；
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幻灯片 33(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.
【提醒】直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.
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幻灯片 34【例3】已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l ，使得直线l与抛
物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于 若存在，求直线l
的方程；若不存在，说明理由.
【解题指南】(1)用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；
(2)依题意设直线l的方程为y=-2x+t，联立直线与抛物线的方程，
利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的距离等于
列出方程，求出t的值.
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幻灯片 35【规范解答】(1)将(1，－2)代入y2=2px，得(-2)2=2p×1，∴p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，由
得y2+2y-2t=0，因为直线l与抛物线C有公共点，所
以Δ=4+8t≥0，解得t≥ 另一方面，由直线OA与直线l的距离
等于 可得 ∴t=±1，由于－1［ +∞)，1∈
［ +∞)，所以符合题意的直线l存在，其方程为y=-2x+1.
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幻灯片 36【反思·感悟】1.求抛物线方程，一般是先设出抛物线方程(注意抛物线的开口方向，焦点的位置)，用待定系数法求解；
2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.
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幻灯片 37【变式训练】已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与抛物线C交于A，B两点．则cos∠AFB =( )
(A) (B) (C)- (D)-
【解析】选D.联立 消y得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4.
不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4，4)，(1，-2)，可求｜AB｜= ｜AF｜=5，｜BF｜=2，利用余弦定理
cos∠AFB=
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幻灯片 38【满分指导】直线与抛物线综合问题的规范解答
【典例】(12分)(2011·福建高考)如图，
直线l ：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的
准线相切的圆的方程.
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幻灯片 39【解题指南】(1)直线与抛物线方程联立，然后相切即判别式Δ=0 ，解得b的值；(2)求出A点坐标，找出圆心和半径，写出圆的标准方程即可.
【规范解答】(1)由 得x2-4x-4b=0.(＊)…………3分
因为直线l与抛物线C相切，所以Δ=(－4)2-4×(-4b)=0 ，
解得b=－1. …………………………………………6分
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幻灯片 40(2)由(1)可知b=-1，故方程(＊)即为x2-4x+4=0，
解得x=2.将其代入x2=4y，得y=1.
故点A(2,1) ………………………………………………9分
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即r=|1-(-1)|=2，所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
………………………………………………………………12分
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幻灯片 41【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 42----
幻灯片 431.(2011·新课标全国卷)已知直线l过抛物线C的焦点F，且与
C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则 △ABP的面积为( )
(A)18 (B)24 (C)36 (D)48
【解析】选C.由题知｜AB｜＝2p＝12，得p=6，又点P到直线AB的距离为p=6，
∴
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幻灯片 442.(2011·辽宁高考)已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物
线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为
( )
(A) (B)1 (C) (D)
【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2 ，y2),由抛物线的定义可知，
又因为|AF|+|BF|=3，
得 所以线段AB的中点横坐标 所以
选C．
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幻灯片 453.(2012·福州模拟)已知双曲线 的一个焦点与抛物
线y2=20x的焦点重合，则该双曲线的离心率为( )
【解析】选D.∵抛物线y2=20x的焦点坐标为(5，0)，
而双曲线 中c2=a2+9，
又∵双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，
∴a2+9=25，∴a2=16，
∴双曲线的离心率
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