幻灯片 1第二节 两条直线的位置关系
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幻灯片 2三年2考 高考指数:★
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
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幻灯片 31.两直线平行与垂直的判定、两点间距离公式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式是高考的重点；
2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；
3.多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答题中考查.
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幻灯片 41.两条直线的平行与垂直的关系
(1)
直线l1、l2不重合，
斜率分别为k1、k2
且都存在
l1∥l2⇔
l1⊥l2⇔
k1=k2
k1·k2=-1
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幻灯片 5(2)当直线l1与l2的斜率至少有一个不存在时：
l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在且在x轴上的截距不等；
l1⊥l2⇔一直线斜率不存在，另一直线的斜率为0.
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幻灯片 6【即时应用】
(1)已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和D(0,a),若l1∥l2,则a=________；
(2)直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1=________；若直线l2⊥l,则直线l2的斜率k2=________.
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幻灯片 7【解析】(1)l1与l2的斜率分别为
由l1∥l2可知：a=-2.
(2)由直线斜率的定义知，直线l的斜率k=tan30°= ，
∵l1∥l，∴k1=k= ,
∵l2⊥l,∴k2·k=-1,∴
答案：(1)-2 (2)
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幻灯片 82.两条直线的交点
直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方
程组 的解一一对应.
相交⇔方程组有________，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组_______；
重合⇔方程组有__________.
唯一解
无解
无数组解
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幻灯片 9【即时应用】
(1)思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？
提示：当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两直线平行；有无数个交点时，两直线重合.
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幻灯片 10(2)直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是__________.
【解析】由直线l1与l2所组成的方程组
得：
∴直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是
(2,-2).
答案：(2,-2)
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幻灯片 11(3)直线l1：5x+2y-6=0与l2：5x+2y-16=0的位置关系是_____.
【解析】∵由直线l1与l2所组成的方程组
无解，∴直线l1与l2平行.
答案：平行
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幻灯片 123.距离
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幻灯片 13【即时应用】
(1)原点到直线x+2y-5=0的距离是_________；
(2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=__________；
(3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为_________.
【解析】(1)因为
(2)依题设及两点间的距离公式得：
解得：a=±8.
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幻灯片 14(3)因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.因此，两
平行线间的距离为：
答案：(1) (2)±8 (3)
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幻灯片 15 直线平行、垂直关系的判断及应用
【方法点睛】两直线平行、垂直的判断方法
(1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1；
(2)已知两直线的一般方程
可利用直线方程求出斜率，转化为第一种方法，或利用以下方法求解：
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幻灯片 16
A1A2+B1B2=0
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幻灯片 17【例1】(1)(2012·淮南模拟)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(2)已知过点A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为__________；
(3)已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0),
C(3,2),求第四个顶点D的坐标.
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幻灯片 18【解题指南】(1)本题关键是看由a=1是否能得出两直线垂直，由两直线垂直是否能得出a=1；(2)可根据两直线平行，斜率相等，得出一个等式，解方程即可求值；(3)设所求点的坐标为D(x,y)，利用长方形的性质得出关于x、y的方程组，解方程组即可得出D点的坐标.
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幻灯片 19【规范解答】(1)选C.当a=1时，直线x-ay=0可化为x-y=0,
此时x+y=0和直线x-ay=0相互垂直；
当直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直时，1×1+1×(-a)=0,解得：a=1,
因此，“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的充要条件.
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幻灯片 20(2)因为直线2x+y-1=0的斜率k=-2，
又因为过A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，所以
解得m=-8.
答案：-8
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幻灯片 21(3)设D的坐标为D(x,y)，因为四边形ABCD为长方形，所以，
即
解得
即点D的坐标为(2,3).
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幻灯片 22【互动探究】本例(3)中条件不变，试求该四边形的四条边所在的直线方程.
【解析】因为A(0,1)，B(1,0)，所以AB边所在的直线方程为：
即x+y-1=0;
又因为B(1,0)，C(3,2)，所以BC边所在的直线方程为：
即x-y-1=0；
同理可得：CD边所在的直线方程为：x+y-5=0；
AD边所在的直线方程为：x-y+1=0.
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幻灯片 23【反思·感悟】通过本例的解析过程可知，处理两直线的位置关系，在两直线斜率都存在的前提下，利用两直线的斜率和在y轴上的截距去处理；若直线的斜率不存在，则可考虑数形结合.
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幻灯片 24【变式备选】若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线l的方程为_________________.
【解析】方法一：直线2x-3y+4=0的斜率为:
设所求直线的斜率为k′，
∵所求直线与直线2x-3y+4=0垂直，
∴k·k′=-1,∴k′=
∴所求直线方程为
即:3x+2y-1=0.
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幻灯片 25方法二：由已知,设所求直线l的方程为：3x+2y+C=0.
又l过点(-1,2),∴3×(-1)+2×2+C=0,得:C=-1,
所以所求直线方程为3x+2y-1=0.
答案：3x+2y-1=0
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幻灯片 26 两直线的交点问题
【方法点睛】
1.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点；
2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)
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幻灯片 27【例2】(1)求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点，且也经过点A(8,-4)的直线方程为_____________；
(2)已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交，求实数m、n满足的条件.
【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；(2)两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到m、n满足的条件.
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幻灯片 28【规范解答】(1)方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的
交点坐标为(-2,1)，直线又过A(8,-4)，所以所求直线方程
为： 即x+2y=0；
方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为
x+y+1+λ(x-y+3)=0，
又因为直线过A(8,-4)，所以8-4+1+λ(8+4+3)=0，解得:λ=
- 所以，所求直线方程为x+2y=0.
答案：x+2y=0
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幻灯片 29(2)因为两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0相交，因此，当m=0时，l1的方程为 l2的方程为 两直线相交，此时，实数m、n满足的条件为m=0，n∈R；当m≠0时，∵两直线相交，
解得m≠±4，此时，实数m、n满足的条件为m≠±4且m≠0，n∈R,综上所述,实数m,n满足的条件为m≠±4,n∈R.
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幻灯片 30【互动探究】本例(1)中的“且也经过点A(8,-4)”改为“与直
线2x-y=0垂直”,求该直线方程.
【解析】方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点坐标
为(-2,1)，又所求直线与直线2x-y=0垂直，所以所求直线的斜
率 因此所求直线方程为： 即x+2y=0.
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幻灯片 31方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为
x+y+1+λ(x-y+3)=0，即(1+λ)x+(1-λ)y+1+3λ=0,
又因为所求直线与直线2x-y=0垂直，所以所求直线的斜率
即有
解得: 所以，所求直线方程为x+2y=0.
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幻灯片 32【反思·感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求λ的值;
2.本例(2)考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存在.
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幻灯片 33【变式备选】当m为何值时，三条直线l1：4x+y-3=0与l2：x+y
=0,l3：2x-3my-4=0能围成一个三角形?
【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共
点，所以
解得：
又因为l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0的交点为(1,-1)，所以2+3m-4
≠0，解得
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幻灯片 34当m=0时，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1与l3的交点为
(2,-5)，l1与l2的交点为(1,-1),
l2与l3的交点为(2,-2)，能构成三角形，符合题意.
综上可知：
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幻灯片 35 距离公式的应用
【方法点睛】1.两点间的距离的求法
设点A(xA,yA),B(xB,yB)，
特例：AB⊥x轴时，|AB|=|yA-yB|;
AB⊥y轴时，|AB|=|xA-xB|.
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幻灯片 362.点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.
3.两平行直线间的距离的求法
(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
(2)利用两平行线间的距离公式.
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幻灯片 37【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x、y的系数必须相等.
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幻灯片 38【例3】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a＞0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0，且l1与l2的距离是
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 若能，求P点坐标；若不能，说明理由.
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幻灯片 39【解题指南】(1)由l1与l2的距离及两平行线之间的距离公式，可得关于a的方程，解方程即可得出a的值；
(2)由点P(x0,y0)满足②③条件可得出关于x0、y0的方程组，解方程组，即可求出点P的坐标，注意验证是否适合条件①.
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幻灯片 40【规范解答】(1)l2为
∴l1与l2的距离为
∵a＞0,∴a=3.
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幻灯片 41(2)设存在第一象限的点P(x0,y0)满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′:2x-y+c=0上且
即
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幻灯片 42若P点满足条件③，由点到直线的距离公式有：
即|2x0-y0+3｜=|x0+y0-1|,
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵P在第一象限，
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幻灯片 43∴3x0+2=0不可能.
联立方程
解得
∴存在 同时满足条件①②③.
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幻灯片 44【反思·感悟】在解答本题时，首先要根据题设条件，由点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式得出方程(组)；另外，还要注意每种距离公式所要求的条件，以防漏解、错解.
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幻灯片 45【变式训练】已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0，在坐标平面内求一点P，使｜PA｜=|PB|，且点P到直线l的距离为2.
【解析】设点P的坐标为(a,b).
∵A(4，-3)，B(2,-1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，-2)，
∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,
即x-y-5=0.
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幻灯片 46由题意知点P(a,b)在上述直线上，∴a-b-5=0.①
又点P(a,b)到直线l：4x+3y-2=0的距离为2，
∴ 即4a+3b-2=±10,②
联立①②可得 或
∴所求点P的坐标为(1，-4)或
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幻灯片 47【变式备选】过点P(-1,2)引一直线，两点A(2,3)，B(-4,5)到
该直线的距离相等，求这条直线的方程.
【解析】方法一：当斜率不存在时，过点P(-1,2)的直线方程
为：x=-1，A(2,3)到x=-1的距离等于3，且B(-4,5)到x=-1的距
离也等于3，符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，过点P(-1,2)的直线方程为：
y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0，
依题设知：
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幻灯片 48解上式得：
所以，所求直线方程为：x+3y-5=0；
综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.
方法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点
P(-1,2)与AB平行的直线，另一条是过点P及AB中点的直线.
因为A(2,3)，B(-4,5)，所以
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幻灯片 49因此，过点P与AB平行的直线的方程为：
即x+3y-5=0;
又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)，
所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1；
综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.
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幻灯片 50 对称问题
【方法点睛】
1.对称中心的求法
若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标
公式求得a、b的值，即
2.轴对称的两个公式
若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A≠0)对称，
则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l.
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幻灯片 51故有
3.对称问题的类型
(1)点关于点对称；(2)点关于直线对称；
(3)直线 关于点对称；(4)直线关于直线对称.
以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称.
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幻灯片 524.对称问题的具体应用
(1)在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小问题
①当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点即为所求;
②当两定点在直线的同一侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为①情形来解决.
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幻灯片 53(2)在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大问题
①当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求;
②当两定点分别在直线的异侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为①情形解决.
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幻灯片 54【例4】求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程.
【解题指南】本题实质上是求直线的方程，可设法找到两个点的坐标，再由两点式即可求出方程；本题还可利用求曲线方程的方法求解，设所求曲线上任意一点，由该点关于直线l的对称点在已知曲线上，即可求得.
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幻灯片 55【规范解答】方法一：由
解得直线a与l的交点E(3,-2)，E点也在直线b上.
在直线a：2x+y-4=0上取一点A(2,0)，设A点关于直线l的对称点B的坐标为(x0,y0)，
由
解得
由两点式得直线b的方程为
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幻灯片 56方法二：设直线b上的动点P(x,y)关于l：3x+4y-1=0的对称点为Q(x0,y0).则
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幻灯片 57解上式得：
由于Q(x0,y0)在直线a：2x+y-4=0上，则
化简得2x+11y+16=0是所求的直线b的方程.
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幻灯片 58【反思·感悟】1.此题是求直线关于直线对称的直线方程，通过求解本题，我们可体会到求直(曲)线的对称直(曲)线方程时可以转化为求点的对称点坐标来求解.
2.利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等的情形，此时可直接写出直线方程.
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幻灯片 59【变式训练】(1)在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)在直线l：3x-y-1=0上求一点Q，使得Q到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.
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幻灯片 60【解析】(1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|-|PB|的值最大.
设B′的坐标为(a,b),
则kBB′·kl=-1.
即
∴a+3b-12=0, ①
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幻灯片 61又由于线段BB′的中点坐标为 且在直线l上，
②
①②联立，解得a=3,b=3,∴B′(3,3).
于是AB′的方程为
即2x+y-9=0,
∴所求P点的坐标为(2，5).
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幻灯片 62(2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C′，连接AC′与l交于点Q，此时的Q满足|QA|+|QC|的值最小.
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幻灯片 63∴C′
由两点式得直线AC′的方程为
即19x+17y-93=0.
∴所求Q点的坐标为
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幻灯片 64【创新探究】新定义下的直线方程问题
【典例】(2012·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x,y)，
定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点.
对于以下结论：①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为
2；
②设P为直线 上任意一点，则[OP]的最小值为1；
其中正确的结论有__________(填上你认为正确的所有结论的序
号) .
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幻灯片 65【解题指南】①根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图像，即可求出该图形的面积；②认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1是假命题.
【规范解答】①由[OP]=1，根据新定义得：
|x|+|y|=1,上式可化为：y=-x+1(0≤x≤1)，y=-x-1(-1≤x
≤0)，y=x+1(-1≤x≤0)，y=x-1(0≤x≤1),画出图像如图所示：
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幻灯片 66根据图形得到：四边形ABCD为边长是 的正方形，所以面积
等于2，故①正确；
②当点P为 时，[OP]=|x|+|y|= +0＜1,所以[OP]的最
小值不为1，故②错误；
所以正确的结论有：①.
答案：①
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幻灯片 67【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议：
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幻灯片 68----
幻灯片 691.(2012·西安模拟)已知两条直线l1:(m+3)x+4y+3m-5=0,
l2:2x+(m+5)y-8=0,l1∥l2,则直线l1的一个方向向量是( )
(A)(1，-1) (B)(-1,-1)
(C)(-1,1) (D)(2,1)
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幻灯片 70【解析】选B.显然m≠-5,则
且
解得m=-7或m=-1(舍去)，
∴l1:-4x+4y-26=0，
即l1:
∴直线l1的一个方向向量是(-1,-1).
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幻灯片 712.(2012·九江模拟)如图，已知A(4，0)、
B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线
AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB
反射后又回到P点，则光线所经过的路程
是( )
(A) (B)6
(C) (D)
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幻灯片 72【解析】选A.点P关于y轴的对称点P′的坐标是(-2,0)，设点
P关于直线AB:x+y-4=0的对称点为P′′(a,b),
则 ⇒
∴光线所经过的路程|P′P′′|=
故选A.
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幻灯片 733.(2011·浙江高考)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=________.
【解析】由题意可得1×2-2m=0,解得m=1.
答案：1
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幻灯片 744.(2012·汉中模拟)若点P是曲线y=x2上的任意点，则点P到直线y=x-2的最小距离为_________.
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幻灯片 75【解析】在曲线y=x2上任取一点P(x0,y0)，则P到直线y=x-2的距离为：
因此，当 时其最小值为 .
答案：
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幻灯片 76----
幻灯片 77----
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