幻灯片 1第五节 椭 圆
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幻灯片 2三年26考 高考指数:★★★★★
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；
2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用；
3.理解数形结合的思想.
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幻灯片 31.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点；
2.直线与椭圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题；
3.选择、填空题常考查椭圆的定义、标准方程、几何性质；解答题经常以两问的形式出现，第一问考查椭圆的定义、标准方程以及几何性质，第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题、解决问题的能力.
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幻灯片 41.椭圆的定义
(1)满足条件
①在平面内
②与两个定点F1、F2的距离之____等于常数
③常数大于________
(2)焦点：两定点
(3)焦距：两_______间的距离
和
|F1F2|
焦点
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幻灯片 5【即时应用】
判断下列点的轨迹是否为椭圆.(请在括号内填“是”或“否”)
(1)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于2的点的轨迹
( )
(2)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于4的点的轨迹
( )
(3)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于6的点的轨迹
( )
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幻灯片 6【解析】由椭圆的定义可知:(1)距离之和小于|AB|，所以点的轨迹不存在；(2)距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B为端点的一条线段；(3)符合椭圆定义，点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆.
答案：(1)否 (2)否 (3)是
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幻灯片 72.根据图形写出相对应的椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
图形
性质
范围
对称性
顶点
轴
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幻灯片 8
图形
性质
焦距
离心率
a、b、c
的关系
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幻灯片 9【即时应用】
(1)思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?
提示：因为离心率 所以，离心率越接近
于1，b就越接近于0，即短轴的长接近于0，椭圆就越扁；离心
率越接近于0，a、b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相
等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆.
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幻灯片 10(2)已知椭圆 的焦点在y轴上，若椭圆的离心率为
则m的值为__________.
【解析】 的焦点在y轴上，所以a2=m,
b2=2，离心率为 又离心率为 所以解得
m= .
答案：
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幻灯片 11(3)已知椭圆的短轴长为6，离心率为 ，则椭圆的一个焦点到
长轴端点的距离为__________.
【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 ①
又因为离心率为 ，所以 ②
又因为a2=b2+c2 ③
解①②③组成的方程组得：a=5,c=4.
所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.
答案：9或1
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幻灯片 12 椭圆的定义、标准方程
【方法点睛】
1.椭圆定义的应用
利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条
件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的
“焦点三角形”中的数量关系.
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幻灯片 132.椭圆焦点不确定时的标准方程的设法
当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为
(m>0,n>0,m≠n)，这样可避免讨论和复杂的计算；也
可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)这种形式,在解题时更简便.
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幻灯片 14【例1】(1)(2012·合肥模拟)P为椭圆 上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2=60°，则 =( )
(2)已知F1、F2为椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=____.
(3)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.
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幻灯片 15【解题指南】(1)已知向量 的夹角为60°，选择公式
计算 从而把问题转化为求
的值，然后利用椭圆的定义及余弦定理可解；(2)注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论;(3)可先设椭圆的方程为 或
(a>b>0)，再根据题设条件求出相应的参数值即可.
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幻灯片 16【规范解答】(1)选D.由题意得
在△PF1F2中，由余弦定理得
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幻灯片 17(2)由椭圆的定义及椭圆的标准方程得：
|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,
又已知|F2A|+|F2B|=12，
所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8.
答案：8
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幻灯片 18(3)设椭圆方程为 因为P到两焦点的距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以(2c)2=52-32=16，所以c2=4，因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为：
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幻灯片 19【互动探究】本例(3)将条件“过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点”改为“点P和两焦点构成的三角形为直角三角形”,结果如何？
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幻灯片 20【解析】当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同，
所以，椭圆方程为 ；
当直角顶点为点P时，则有(2c)2=52+32=34，
所以c2= ，又因为a=4，所以b2=a2-c2= ，
所以椭圆方程为： ；
综上可知：所求椭圆方程为： 或 .
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幻灯片 21【反思·感悟】1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解，涉及到椭圆上的点与焦点构成的三角形时，还常用余弦定理求解.
2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；
⒊当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有a>b>0.
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幻灯片 22【变式备选】已知F1、F2是椭圆C： (a＞b＞0)的两个
焦点，P为椭圆C上的一点，且 若△PF1F2的面积为9，
则b=__________.
【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则
∴2r1r2=(r1+r2)2-(r21+r22)=4a2-4c2=4b2,
∴ ∴b=3.
答案：3
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幻灯片 23 椭圆的几何性质及应用
【方法点睛】
1.椭圆几何性质中的不等关系
对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系.
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幻灯片 242.利用椭圆几何性质应注意的问题
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当
涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.
3.求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.
【提醒】椭圆离心率的范围:0b>0)的两个焦点
分别为F1、F2，点P在椭圆上，且 ，tan∠PF1F2=2,则
该椭圆的离心率等于___________.
【解题指南】由 得△F1PF2为直角三角形，再由
tan∠PF1F2=2得出两直角边的比为2，而斜边长为2c，由勾股
定理及椭圆的定义即可求出离心率.
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幻灯片 26【规范解答】因为 ，所以PF1⊥PF2，得△F1PF2为直
角三角形，又因为tan∠PF1F2=2，所以可设|PF1|=m，则
|PF2|=2m，2a=3m，2c= m，
所以离心率
答案：
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幻灯片 27【反思·感悟】1.求椭圆的离心率的值的问题，关键是依据题设条件寻找关于a、b、c的一个等式，或解方程求出离心率，或直接求出离心率；
2.在解方程求椭圆离心率的值时，要注意椭圆离心率自身的范围，有增根要舍去.
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幻灯片 28【变式训练】定义：离心率 的椭圆为“黄金椭圆”，
已知E： (a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0)，则E为
“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的( )
(A)既不充分也不必要条件
(B)充分且必要条件
(C)充分不必要条件
(D)必要不充分条件
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幻灯片 29【解析】选B.若E为黄金椭圆，则
∴
所以a,b,c成等比数列.
若a、b、c成等比数列，则b2=ac
⇒a2-c2=ac⇒e2+e-1=0，又0b>0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为
平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于______.
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幻灯片 31【解析】依题设知：点C的坐标为( )，又因为点C在椭圆
E上，所以有 解得a2=9b2，
因此，a2=9(a2-c2)，即
所以椭圆E的离心率等于
答案：
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幻灯片 32 直线与椭圆的位置关系
【方法点睛】
1.直线与椭圆位置关系判断的步骤
首先：联立直线方程与椭圆方程；
其次：消元得出关于x(或y)的一元二次方程；
得出结论：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离.
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幻灯片 332.直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2，y2),
则
(k为直线斜率).
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幻灯片 343.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
弦 长
根与系数的关系、弦长公式
中点弦或弦的中点
点差法
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幻灯片 35【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
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幻灯片 36【例3】(2011·北京高考)已知椭圆 过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.
【解题指南】(1)根据标准方程可求出焦点坐标和离心率；
(2)先讨论切线l斜率不存在时的两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值.
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幻灯片 37【规范解答】(1)由已知得a=2,b=1，所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为
(2)由题意知，|m|≥1.
当m=1时，切线l的方程为x=1，点A,B的坐标分别为
此时
当m=-1时，同理可得
当|m|>1时，设切线l的方程为y=k(x-m).
得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.
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幻灯片 38设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
又由l与圆x2+y2=1相切，
得
所以
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幻灯片 39由于当m=±1时，|AB|=
当且仅当
所以|AB|的最大值为2.
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幻灯片 40【反思·感悟】1.通过本题的解答可知，已知椭圆的标准方程，可直接求出椭圆的焦点坐标、离心率，也可求出其顶点坐标、长轴长、短轴长等.求直线被椭圆截得的弦长的最值，关键是求出弦长的解析式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值；
2.在求切线方程时，要注意讨论直线的斜率存在与不存在两种情况.
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幻灯片 41【变式训练】若F1、F2分别是椭圆 的左、右焦
点，P是该椭圆上的一个动点，且
(1)求出这个椭圆的方程；
(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，
使 (其中O为坐标原点)？若存在，求出直线l的斜率k；若
不存在，说明理由．
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幻灯片 42【解析】(1)依题意，得2a=4,
所以
∴椭圆的方程为
(2)显然当直线l的斜率不存在，即x=0时，不满足条件．
设l的方程为y=kx+2，
由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
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幻灯片 43 消去y并整理，得
(1+4k2)x2+16kx+12=0,
∴Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12>0，
得 ①
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幻灯片 44由①②可知k=±2，
所以，存在斜率k=±2的直线l符合题意．
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幻灯片 45【满分指导】直线与椭圆综合问题的规范解答
【典例】(12分)(2011·江苏高考)如图，
在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭
圆 的顶点，过坐标原点的直线
交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，
过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
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幻灯片 46(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；
(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB.
【解题指南】(1)利用MN的中点在PA上即可求解；
(2)先求点P的坐标，再求出AB的方程，就能求出距离d;(3)证明斜率之积为-1即可.
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幻灯片 47【规范解答】(1)由题意知，a=2,b= 故M(-2,0),N(0, ).
所以线段MN的中点的坐标为 ，由于直线PA平分线段MN，
故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以
………………………………………………3分
(2)直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得 解得
x=± ，因此P( , ),A(- ,- ),
于是C( ,0),直线AC的斜率为
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幻灯片 48所以直线AB的方程为 ……………………5分
因此 ……………………………7分
(3)方法一：将直线PA的方程y=kx代入 ，
解得x=± 记μ= …………………8分
则P(μ,μk),A(-μ,-μk)，于是C(μ,0)，故直线AB的斜率
为 ，直线AB的方程为y= (x-μ)，代入椭圆方程得
(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0，解得 或x=-μ，
………………………………………………10分
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幻灯片 49因此 于是直线PB的斜率为
因此k1k=-1，所以PA⊥PB. …………………………12分
方法二：设P(x1,y1)，B(x2,y2),则x1>0,x2>0,x1≠x2，
A(-x1,-y1),C(x1,0).…………………………………………8分
设直线PB，AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上，所以
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幻灯片 50 从而
……………………10分
因此k1k=-1，所以PA⊥PB.……………………………12分
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幻灯片 51【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 52----
幻灯片 531.(2011·新课标全国卷)椭圆 的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选D.直接求 故选D.
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幻灯片 542.(2012·榆林模拟)已知椭圆C： (a>b>0)的离心率
为 ,短轴长为2，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆
C相交于A、B两点.若 则k=( )
(A)1 (B) (C) (D)2
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幻灯片 55【解析】选B.方法一：横坐标法
由题意得 b=1,∴a=2,c= ,F( ,0)，
C: ,直线方程为y=k(x- ),令A(x1,y1),B(x2,y2)，
由 得(1+4k2)x2-8 k2x+12k2-4=0，
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幻灯片 56∴ ①, ②
∵ ∴ -x1=3(x2- ),即x1=4 -3x2
代入①得
代入②得
即k2=2,∵k>0,∴k= .
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幻灯片 57方法二：以上同方法一：纵坐标法
由 得
①，
②
∵ ,∴y1=-3y2,
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幻灯片 58代入①得
代入②得
解得,k2=2,∵k>0,∴k= .
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幻灯片 593.(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中
心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C
于A,B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________.
【解析】由△ABF2的周长等于4a=16,得a=4，又知离心率为
即 ，进而c= ，所以a2=16，b2=a2-c2=16-8=8，
∴C的方程为
答案：
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幻灯片 604.(2011·浙江高考)设F1,F2分别为椭圆 的左、右焦
点，点A,B在椭圆上，若 ，则点A的坐标是_________.
【解析】椭圆的焦点分别为F1(- ,0),F2( ,0)，设A点坐标
为(m,n),B点坐标为(p,t)则m+ =5(p- ),即
又 且 由上面两式解得m=0,n=±1,即
点A的坐标是(0,±1).
答案：(0，1)或(0,-1)
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幻灯片 61----
幻灯片 62----
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