幻灯片 1第六节 抛物线
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幻灯片 2三年15考 高考指数:★★★
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
2.理解数形结合的思想.
3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
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幻灯片 31.抛物线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，抛物线的焦点弦是高考的热点，有时与其他知识交汇命题；
2.多以选择题和填空题为主，属中、低档题目，有时也会在解答题中出现，属中、高档题目.
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幻灯片 41.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的集合是抛物线
(1)在平面内；(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离
_______；(3)定点_______定直线上.
相等
不在
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：在抛物线的定义中，若定点F在定直线l上，动点的集合是什么？
提示:若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F与定直线l垂直的一条直线.
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幻灯片 6(2)若动点P到点F(0,-2)的距离与它到直线y-2=0的距离相等，则点P的集合是____________，其方程为_______________.
【解析】由抛物线的定义知，点P的轨迹是以点F(0,-2)为焦点，y=2为准线的抛物线，其方程为：x2=－8y.
答案：抛物线 x2=－8y
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幻灯片 72.抛物线的标准方程和几何性质
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幻灯片 8离心率
顶点
坐标
范围
对称轴
准线
方程
焦点
坐标
性
质
图形
标准方程
y 轴
y≥ 0
O(0,0)
e=1
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
y轴
y ≤ 0
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幻灯片 9【即时应用】
(1)思考:抛物线y2=2px(p＞0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距
离与点M的横坐标x0有何关系?若抛物线方程为x2=2py(p＞0)，
结果如何?
提示:由抛物线的定义得：|MF|=x0+ ；若抛物线方程为
x2=2py(p＞0)，则|MF|=y0+ .
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幻灯片 10(2)抛物线y=-4x2的焦点坐标为_________.
【解析】抛物线y=-4x2的标准方程为 ，所以2p=
再由抛物线的焦点在y轴的非正半轴上，所以抛物线的焦点
坐标为(0,－ ).
答案：(0,- )
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幻灯片 11(3)顶点在原点，对称轴是x轴，且顶点与焦点的距离等于6的
抛物线方程是_______________.
【解析】因为抛物线顶点与焦点的距离等于6，所以 =6，又
因为顶点在原点，对称轴是x轴，所以抛物线方程为：y2=±24x.
答案：y2=±24x
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幻灯片 12 抛物线的定义及其应用
【方法点睛】利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)抛物线的判定：用抛物线的定义可以确定动点到定点与到定直线距离相等的点的集合；
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用抛物线的定义进行两者之间的转化.
【提醒】注意一定要验证定点是否在定直线上.
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幻灯片 13【例1】(1)若点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1，则点P的集合为____________，其方程为____________.
(2)设P是抛物线y2=4x上的一动点，抛物线的焦点为F,
①求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；
②若B(3,2)，求|PB|+|PF|的最小值.
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幻灯片 14【解题指南】(1)本题可化为动点到定点的距离与到定直线的距离相等的点的集合问题，判定形状后确定其方程；
(2)注意到直线x=-1为抛物线的准线，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，即可解决.
【规范解答】(1)因为点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1，所以点P到直线x=-2的距离与它到点M(2,0)的距离相等，且M(2,0)不在直线x=-2上，故点的集合为抛物线，其方程为y2=8x.
答案：抛物线 y2=8x
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幻灯片 15(2)①由于A(-1,1)，F(1,0),P是抛物线上的任意一点，则
|AP|+|PF|≥|AF|= 从而知点P到A(-1,1)的距离与点
P到F(1,0)的距离之和的最小值为 ，所以点P到A(-1,1)的距
离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为 .
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幻灯片 16②如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，
交抛物线于点P1，此时｜P1Q|＝|P1F|，
那么｜PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即最小值为4.
Q
O
P1
F
x
y
B(3,2)
·
·
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幻灯片 17【互动探究】(1)本例(1)中“M(2,0)”改为“M(-2,0)”，如何求点P的集合？
(2)本例(2)②中“B(3,2)”改为“ B(1,5)”，结果如何？
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幻灯片 18【解析】(1)本例(1)中“M(2,0)”改为“M(-2,0)”，则说明动点P到定点M(-2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等，且点M在定直线上，所以点P的集合为一条直线；
(2)因为点B的坐标为(1,5)，且抛物线方程为y2=4x，所以该点在抛物线外，要求使|PB|+|PF|最小的点P，只需BF连线与抛物线相交，其交点即为所求P点，此时，最小值即|BF|的长,
|BF|=5.
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幻灯片 19【反思·感悟】⒈本题(1)是利用抛物线的定义来求解，在求动点的集合或其方程时一定要注意圆锥曲线的定义，这样能起到事半功倍的效果.
2.与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，将点到准线的距离转化为点到焦点的距离，或将到焦点的距离转化为到准线的距离.
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幻灯片 20【变式备选】若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切，又与直线x+1=0相切，求动圆圆心的集合及其方程.
【解析】方法一：设动圆半径为r,动圆圆心坐标为O′(x,y),因动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,则O′到(2,0)的距离为r+1,动圆与直线x+1=0相切，O′到直线x+1=0的距离为r.
所以O′到(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等,
故O′的集合是以(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线，其方程为y2=8x.
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幻灯片 21方法二：设动圆圆心坐标为O′(x,y)，动圆半径为r,
据题意有 ⇒
化简得y2=8x,即动圆圆心的集合为抛物线，其方程为y2=8x.
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幻灯片 22 抛物线的标准方程与几何性质
【方法点睛】
1.求抛物线的标准方程的方法及注意事项
(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；
(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.
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幻灯片 232.抛物线的标准方程及其性质的应用
由抛物线的方程可求x、y的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p值，确定焦点坐标等，常用数形结合法.
【提醒】抛物线方程中的参数p＞0，其几何意义是焦点到准线的距离.
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幻灯片 24【例2】(2012·西安模拟)过抛物线
y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线
交于A、B两点，M、N为准线l上两
点，AM⊥l，BN⊥l，M、N为垂足，
C为线段AB的中点，D为线段MN的
中点，CD交抛物线于点E，下列结论中正确的是________.(把你认为正确的序号都填上)
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幻灯片 25① 为定值
②以AB为直径的圆与l相切
③以MN为直径的圆与AB所在的直线相切
④以AF为直径的圆与y轴相切
⑤E为线段CD的中点
【解题指南】数形结合，充分利用抛物线的定义解答.
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幻灯片 26【规范解答】(1)当AB⊥x轴时，如图所示：
∵F( ，0)，∴A( ，p)，B( ，-p)，
∴ = 为定值.
故①正确；②③④⑤显然都正确.
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幻灯片 27(2)当直线AB的斜率存在时，如图所示：
设AB：y=k(x- ),A(x1,y1),B(x2,y2)
由 得
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幻灯片 28∴①正确；
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幻灯片 29如图，由抛物线的定义，得|AB|=|AM|+|BN|，
|CD|= (|AM|+|BN|)= |AB|，
∴以AB为直径的圆与l切于点D.∴②正确；
连结MF，NF，则MF⊥NF，∴|DF|= |MN|.
∴以MN为直径的圆与AB切于点F，∴③正确；
设AM与y轴交于点G，则|AF|=|OF|+|AG|，
同②的判断，得以AF为直径的圆与y轴相切，
∴④正确；由以上知，C点的纵坐标为
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幻灯片 30设E(x0,y0),则
∴ ∴⑤正确.
答案：①②③④⑤
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幻灯片 31【反思·感悟】1.解答本题，可用特值法，即做完规范解答的第一步就可下结论.
2.研究圆锥曲线的几何性质时，常数形结合，利用平面几何的相关知识求解.
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幻灯片 32【变式训练】(1)(2011·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
(A)(0，2) (B)［0，2］
(C)(2，+∞) (D)［2，+∞)
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幻灯片 33【解析】选C.设圆的半径为r，因为F(0，2)是圆心，抛物线C的准线方程为y=-2，由圆与准线相交知416，所以8y0+(y0-2)2>
16，即有y02+4y0-12>0，解得y0>2或y0<-6，又因为y0≥0，所以y0>2.
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幻灯片 34(2)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )
(A)n=0 (B)n=1 (C)n=2 (D)n≥3
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幻灯片 35【解析】选C. 根据抛物线的对称性，
正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图，所以正三角形的个数n=2.
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幻灯片 36【变式备选】已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0
相切，则p的值为( )
(A) (B)1 (C)2 (D)4
【解析】选C.由y2=2px，得抛物线准线方程x=- ，圆x2+y2-
6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16，由圆心到准线的距离等于半径
得：3+ =4，所以p=2.
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幻灯片 37 直线与抛物线的位置关系
【方法点睛】1.直线与抛物线的位置关系的判定
设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p>0)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0.
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幻灯片 38
直
线
与
抛物线
方程特征
交点个数
位置关系
m=0
m≠0, △>0
m≠0, △=0
m≠0, △<0
1
2
1
0
直线与抛物线的对称轴平行或重合，两者相交
相交
相切
相离
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幻灯片 392.直线与抛物线相交的几个结论
已知抛物线y2=2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两
点，设A(x1，y1)、B(x2，y2) ，则有以下结论：
(1)｜AB|=x1+x2+p或 (α为AB所在直线的倾斜角)；
(2)x1x2= ；
(3)y1y2＝-p2；
(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛
物线的通径长为2p.
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幻灯片 40【提醒】直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.
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幻灯片 41【例3】已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l ，使得直线l与抛
物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于 ？若存在，求直
线l的方程；若不存在，说明理由.
【解题指南】(1)用待定系数法求出抛物线方程及其准线方
程；(2)依题意设直线l的方程为y=-2x+t，联立直线与抛物线
的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的
距离等于 列出方程，求出t的值.
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幻灯片 42【规范解答】(1)将(1，－2)代入y2=2px，得(-2)2=2p×1，
∴p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，由
得y2+2y-2t=0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以
Δ=4+8t≥0，解得t≥ .另一方面，由直线OA与直线l的距离
等于 可得 ∴t=±1，由于－1［ ,+∞)，1∈
［ ，+∞) ，所以符合题意的直线l存在，其方程为y=-2x+1.
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幻灯片 43【反思·感悟】1.求抛物线方程，一般是先设出抛物线方程(注意抛物线的开口方向，焦点的位置)，用待定系数法求解；
2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.
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幻灯片 44【变式训练】(2011·大纲版全国卷)已知抛物线C：y2=4x的焦
点为F，直线y=2x-4与抛物线C交于A，B两点．则cos∠AFB =
( )
(A) (B) (C)- (D)-
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幻灯片 45【解析】选D.联立 消y得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4.
不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4，4)，(1，
-2)，可求｜AB｜=3 ，｜AF｜=5，｜BF｜=2，利用余弦定理
cos∠AFB
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幻灯片 46【满分指导】直线与抛物线综合问题的规范解答
【典例】(12分)(2011·福建高考)已知直线l：y=x+m， m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由.
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幻灯片 47【解题指南】(1)由题意得出点P坐标,根据切线特点求出点P坐标，从而求出圆的半径，然后写出圆的标准方程；求解本题也可根据条件先设出圆的方程,然后根据圆与直线相切的条件列关系式求解.
(2)由l的方程求得l′的方程，将l′的方程与抛物线C的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判别式Δ来判定两者能否相切.
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幻灯片 48【规范解答】方法一：(1)依题意，点P的坐标为(0,m).
因为MP⊥l,所以 ×1＝－1.
解得m=2，即点P坐标为(0,2). ………………………… 2分
从而圆的半径
故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. ……………………… 6分
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幻灯片 49(2)因为直线l的方程为y=x+m，所以直线l′的方程为y=-x-m.
由 得x2+4x+4m=0. ………………………… 8分
Δ＝42－4×4m=16(1-m).
当m=1，即Δ=0时，直线l′与抛物线C相切；
当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切.
………………………………………………………… 11分
综上，当m=1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切. …………………………………… 12分
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幻灯片 50方法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为
(x-2)2+y2=r2 .
依题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P(0,m)，则
解得 ………………………………………… 4分
所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. …………………… 6分
(2)同方法一.
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幻灯片 51【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 52----
幻灯片 531.(2012·南昌模拟)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
(A)y2=±4x (B)y2=±8x
(C)y2=4x (D)y2=8x
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幻灯片 54【解析】选B.由题意得F( ,0)，
则l：y=2(x- )，
令x=0,得y= ，
即A(0, )，
∴S△OAF= |OF|·|OA|= | |·| |=4，
a2=64,∴a=±8.
∴抛物线的方程为y2=±8x.
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幻灯片 552.(2011·新课标全国卷)已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则 △ABP的面积为( )
(A)18 (B)24 (C)36 (D)48
【解析】选C.由题知｜AB｜＝2p＝12，得p=6，又点P到直线AB的距离为p=6，
∴S△ABP= |AB|×6=36.
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幻灯片 563.(2011·辽宁高考)已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛
物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离
为( )
(A) (B)1 (C) (D)
【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2),由抛物线的定义可
知，|AF|=x1+ =x1+ ，|BF|=x2+ =x2+ ，又因为|AF|+
|BF|=3，得x1+x2= ，所以线段AB的中点横坐标
所以选C．
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幻灯片 574.(2011·天津高考)已知双曲线 (a＞0，b＞0)的左
顶点与抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一
条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则双曲线的
焦距为( )
(A)2 (B)2
(C)4 (D)4
【解析】选B.由题意可知a+ =4，又点(-2,-1)是两直线的交
点，所以 =2，即p=4，a=2，将(-2，-1)代入双曲线的一条渐
近线方程，得b=1，因此 故2c=2 .
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幻灯片 58----
幻灯片 59----
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