幻灯片 1第八节 曲线与方程(含轨迹问题)
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幻灯片 2三年4考 高考指数:★★
1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；
2.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
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幻灯片 31.求点的轨迹、轨迹方程是高考的重点;一般用直接法、定义法或相关点法求解,所求轨迹一般为圆锥曲线；
2.经常在解答题的第一问中出现，属中低档题目；有时也在选择、填空题中出现.
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幻灯片 41.曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是_____________；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在________.
那么，这条曲线叫作___________，这个方程叫作___________.
这个方程的解
曲线上
方程的曲线
曲线的方程
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，那么这个方程是该曲线的方程吗？
提示：不一定是. 因为只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非整个方程的曲线.
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幻灯片 6(2)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，那么该曲线是这个方程的曲线吗？
提示：不一定是. 因为只满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程.
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幻灯片 7(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是_________.
【解析】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x=0或x+y-1=0，表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为两条直线.
答案：两条直线
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幻灯片 82.圆锥曲线的共同特征及求曲线方程的步骤
(1)圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到__________的距离与它到____________的距离之比为定值e.
一个定点
一条定直线
01
e=1
椭圆
双曲线
抛物线
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幻灯片 9(2)求曲线方程的步骤
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幻灯片 10【即时应用】
(1)已知动点P到定点F(1,0)的距离与到定直线l：x=4的距离
之比是 ，则点的轨迹是_______，其方程为________.
(2)已知点A(-2,0)、B(-3,0)，动点P(x,y)满足 =x2+1，
则点P的轨迹方程是_________.
(3)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|
=3,则顶点A的轨迹方程为__________.
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幻灯片 11【解析】(1)由圆锥曲线的共同特征知点P的轨迹为椭圆且焦
点在x轴上，c=1,
∴a=2,
∴方程为
(2)由题意得 =(-2-x,-y),
=(-3-x,-y)，
所以 =(-2-x,-y)·(-3-x,-y),
又因为 =x2+1,
所以(-2-x,-y)·(-3-x,-y)=x2+1,
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幻灯片 12化简得：y2+5x+5=0.
(3)设点A(x,y)，因为B(0,0)，
所以AB的中点D( ),
又C(5,0),|CD|=3，
所以
化简得：(x-10)2+y2=36.
又∵△ABC中的三点A、B、C不能共线，
所以去掉点(4,0)和(16,0).
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幻灯片 13答案：(1)椭圆
(2)y2+5x+5=0
(3)(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0))
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幻灯片 143.直线与圆锥曲线的交点
设曲线C1:f(x,y)=0，C2:g(x,y)=0,M(x0,y0)是曲线C1与C2的
一个交点⇔ ，故求曲线交点即求方程组
的实数解.
f(x0,y0)=0
g(x0,y0)=0
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幻灯片 15【即时应用】
(1)曲线 与曲线C2:y=1－(x+1)2的公共点的
个数是___________.
(2)直线y=2x+3与抛物线y=2x2+x相交于A、B两点，则|AB|＝
_________.
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幻灯片 16【解析】(1)由 消去x得4y2－y－3=0,
Δ＝(－1)2－4×4×(－3)=49>0，
当y1=－ 时得
同理可得y2=1时得x=－1,
所以公共点的个数是3.
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幻灯片 17(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)
由 消去y，整理得2x2－x－3=0 ①
∴x1，x2是关于x的方程①的两根，
∴x1+x2＝ ,x1x2=
又|AB|＝
其中k=2，则有
答案：(1)3 (2)
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幻灯片 18 直接法求轨迹方程
【方法点睛】
1.直接法
如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.
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幻灯片 192.应注意的问题
(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.
(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.
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幻灯片 20【例1】(1)已知点M、N为两个定点，|MN|=6,且动点P满足
=6，求点P的轨迹方程.
(2)已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到
圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹
方程.
【解题指南】(1)先建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，
依据 =6得出轨迹方程；(2)可设出动点M的坐标，依据
动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)即可得出
方程.
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幻灯片 21【规范解答】(1)以点M、N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐
标原点，建立平面直角坐标系，则M(-3,0)、N(3,0),设P(x,
y)，则 =(-3-x,-y)， =(3-x,-y), =(-3-x,
-y)·(3-x,-y)，
又因为 =6,
所以(-3-x,-y)·(3-x,-y)=6，
化简整理得：x2+y2=15.
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幻灯片 22(2)设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为：
P={M||MN|=λ|MQ|}，因为圆C的半径|CN|=1,
所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1，
设点M的坐标为M(x,y)，则
化简整理得：
(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ＞0).
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幻灯片 23【互动探究】本例(2)中的条件不变，求动点M的轨迹.
【解析】由例题解析可知：曲线的方程为：
(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0，
因为λ＞0,所以当λ=1时，方程化为4x-5=0,它表示一条直线;
当λ≠1时，方程化为：
它表示圆心为 半径为 的圆.
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幻灯片 24【反思·感悟】1.从两个题目的求解可以看出，求轨迹的方程，其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程；
2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.
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幻灯片 25【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于
原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于- ，求
动点P的轨迹方程.
【解析】因为点B与点A(-1，1)关于原点O对称，所以点B的坐
标为(1，-1)，
设点P的坐标为(x,y)，
由题意得
化简得x2+3y2=4(x≠±1)，
故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).
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幻灯片 26 定义法求轨迹方程
【方法点睛】定义法
求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫作定义法，其关键是理解解析几何中有关曲线的定义.
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幻灯片 27【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.
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幻灯片 28【例2】(1)已知圆C:x2+y2+6x-91=0及圆内一点P(3,0),则过点P且与圆C内切的动圆圆心M的轨迹方程为_________.
(2)(2012·九江模拟)已知动圆P与圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切，则动圆圆心P的轨迹方程为_________.
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幻灯片 29【解题指南】(1)由两圆内切可得出两圆圆心距与两圆半径差之间的关系|CM|=10-r(r为动圆M的半径)，再注意|PM|=r，从而有|CM|+|PM|=10，由椭圆的定义得出所求轨迹为椭圆；(2)由动圆P与圆C1、圆C2均外切得出|C1P|=r+3，|C2P|=r+1，由此得到|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.
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幻灯片 30【规范解答】(1)因为圆C:x2+y2+6x-91=0的方程可化为：(x+3)2+y2=100，所以圆心坐标为C(-3,0)，半径为10；设动圆
圆心M的坐标为M(x,y)，半径为r，因为圆C与动圆M内切，所
以|CM|=10-r，又因为动圆过点P，所以|PM|=r，因此|CM|+
|PM|=10＞6=|CP|，所以动圆圆心M的轨迹为椭圆，其中长轴
长为10，焦距等于6，所以椭圆方程为： 即所求轨
迹方程.
答案：
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幻灯片 31(2)设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r，
因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，
又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，
因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支(右支).
由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：C1(-5,0)、C2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，所以所求轨迹方程为
答案：
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幻灯片 32【互动探究】在本例(2)中：
①若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？
②若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？
③若把圆C1的半径改为1，则动圆圆心P的轨迹是什么？
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幻灯片 33【解析】①因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，又动圆P与圆C2内切，所以|C2P|=r-1；
因此|C1P|-|C2P|=4，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的右支.
②因为动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，又动圆P与圆C1内切，所以|C1P|=r-3，
因此|C1P|-|C2P|=-4，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的左支.
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幻灯片 34③因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+1，又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，
因此|C1P|=|C2P|，所以点P在C1C2的垂直平分线上，即所求轨迹为两定圆圆心连线的垂直平分线.
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幻灯片 35【反思·感悟】1.本例两个题目都是求轨迹方程，它们的共同特点是利用题设条件，找到符合某种曲线的定义，即得出点的轨迹，进而求出轨迹方程；
2.利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论.
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幻灯片 36【变式备选】已知A(- ,0)，B是圆F：(x- )2+y2=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程.
【解析】如图，连接PA.
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幻灯片 37依题意可知|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2,
∴P点轨迹为以A(- ,0),F( ,0)为焦点，长半轴长为1的椭圆.
其方程可设为
又∵c= ,a=1,
∴b2=a2-c2= .
故P点的轨迹方程为
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幻灯片 38 相关点(代入)法求轨迹方程
【方法点睛】相关点(代入)法
动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′、y′表示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程.
【提醒】用代入法求轨迹方程是将x′、y′表示成x、y的式子，同时注意x′、y′的限制条件.
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幻灯片 39【例3】设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且
当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.
【解题指南】设点N，M，P的坐标分别为N(x,y)，M(x′,0)，P(0,y′),可由已知条件得出x′、y′与x、y之间的关系，同时得到x′、y′满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程.
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幻灯片 40【规范解答】设M(x′,0),P(0,y′)，N(x,y),
由 得(x-x′,y)=2(-x′,y′),
所以 解得
又因为 =(x′,-y′)， =(1,-y′),
所以(x′,-y′)·(1,-y′)=0,即x'+y'2=0,
所以-x+( )2=0，即y2=4x.
因此所求的轨迹方程为y2=4x.
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幻灯片 41【反思·感悟】1.解答本题的关键是从已知条件中发现x′、y′之间的关系式及x′、y′与x、y之间的关系；
2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.
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幻灯片 42【变式训练】设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑
动，且|AB|=5， 则点M的轨迹方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
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幻灯片 43【解析】选A.设M(x,y)，A(x0,0),B(0,y0),
由
则 解得
由|AB|=5，得( x)2+( y)2=25,
化简得 ，故选A.
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幻灯片 44【满分指导】求轨迹方程主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP.
(1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
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幻灯片 45(2)已知T(1，-1)，设H是E上的动点,求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；
(3)过点T(1，-1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围.
【解题指南】(1)由已知可得，动点M到直线l与到原点O的距离相等，或点M在x轴负半轴上，从而可求出轨迹方程；
(2)利用抛物线的定义，其上的点到准线的距离等于到焦点的距离，可得答案；
(3)由分类讨论可得结论.
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幻灯片 46【规范解答】(1)如图所示，连接OM，
则|PM|=|OM|,
∵∠MPO=∠AOP,
∴动点M满足MP⊥l,
或M在x轴的负半轴上，设M(x,y)
①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|,|OM|=
|x+2|= ，化简得y2=4x+4(x≥-1)
…………………………………………………………… 2分
l
x=-2
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幻灯片 47②当M在x轴的负半轴上时，y=0(x＜-1).
综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x＜
-1).…………………………………………………… 4分
(2)由(1)知M的轨迹是顶点为
(-1,0)，焦点为原点的抛物线
和y=0(x＜-1).
①若H是抛物线上的动点，
过H作HN⊥l于N，
由于l是抛物线的准线，
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幻灯片 48根据抛物线的定义有
|HO|=|HN|，则
|HO|+|HT|=|HN|+|HT|
当N，H，T三点共线时，
|HN|+|HT|有最小值,
|TN|=3，求得此时H的坐标为(- ,-1). ………………6分
②若H是y=0(x＜-1)上的动点,
显然有|HO|+|HT|＞3,
综上所述，|HO|+|HT|的最小值为3,此时点H的坐标为
(- ,-1) ………………………………………………… 8分
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幻灯片 49(3)如图，设抛物线顶点
B(-1,0)，则直线BT的
斜率kBT=- ,
∵点T(1,-1)在抛物线内部,
∴过点T且不平行于x,y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：
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幻灯片 50①当k≤- 时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,
②当- ＜k＜0时，直线l1与轨迹E有且只有三个不同的交点
…………………………………………………………… 10分
③当k=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点
④当k＞0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点.
综上所述，直线l1的斜率k的取值范围是(-∞,- ］∪
(0,+∞). ……………………………………………… 12分
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幻灯片 51【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 52----
幻灯片 531.(2012·成都模拟)已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点
P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等
于( )
(A)Π (B)4π (C)8π (D)9π
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幻灯片 54【解析】选B.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|，设点P的坐标为(x,y),
则(x+2)2+y2=4［(x-1)2+y2］，即(x-2)2+y2=4.
所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆,
所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π.故选B.
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幻灯片 552.(2012·合肥模拟)已知动点P(x,y)满足
则P点的轨迹是( )
(A)两条相交直线 (B)抛物线
(C)双曲线 (D)椭圆
【解析】选D.式子变形为：
其几何意义是动点P(x,y)到定点A(1,2)的距离与到定直线x+
y-1=0的距离的比为 (小于1).由圆锥曲线的共同特征知，
点P的轨迹是椭圆.
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幻灯片 563.(2012·烟台模拟)已知圆O的方程为：x2+y2=4，过圆O上一
动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量
则动点Q的轨迹方程为_______．
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幻灯片 57【解析】设M点坐标为 (x0，y0)(y0≠0)，Q点坐标为(x，y)，则N点坐标为(0，y0),
∵ ∴(x，y)＝(x0,2y0)，
即
∴
答案：
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幻灯片 584.(2011·北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹.给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于
其中所有正确的结论的序号是_________．
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幻灯片 59【解析】设A(x，y)为曲线C上任意一点，
则由|AF1|·|AF2|＝a2，得
C:
把(0，0)代入方程可得1=a2，与a＞1矛盾，
故①不正确；
当M(x，y)在曲线C上时，点M关于原点的对称点
M′(-x，-y)也满足方程，故曲线C关于原点对称，
故②正确；
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幻灯片 60= 故③正确.
答案：②③
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幻灯片 61----
幻灯片 62----
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