幻灯片 1第九节 直线与圆锥曲线的位置关系
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幻灯片 2 三年7考 高考指数:★★
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.
2.了解圆锥曲线的简单应用.
3.理解数形结合的思想.
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幻灯片 31.直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点，常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题；
2.直线与圆锥曲线相交，求其弦长、中点、定点、定值、最值、面积、对称、存在性问题等是高考的热点；
3.以解答题的形式出现，多属于中、高档题目，重点考查学生分析问题、解决问题的能力.
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幻灯片 41.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线______；
②Δ=0⇔直线与圆锥曲线______；
③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线______.
相交
相切
相离
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幻灯片 5(2)当a=0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆
锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是
______；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是
____________.
平行
平行或重合
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幻灯片 6【即时应用】
(1)思考：直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相切的什么条件？
提示：必要不充分条件.因为当直线与圆锥曲线相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；当直线与圆锥曲线有一个公共点时，直线与圆锥曲线不一定相切，如与抛物线对称轴平行(或重合)的直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线相交；与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相交.
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幻灯片 7(2)直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，则m2=
__________.
【解析】直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1联立，消去y得：(1+4m2)x2+8mx+3=0.
又因为其Δ=(8m)2-12(1+4m2)=16m2-12=0，
解得：m2= .
答案：
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幻灯片 8(3)过点A(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线共有_______条.
【解析】显然点A(0，1)在抛物线外，因此过该点可作抛物线的两条切线，它们与抛物线有一个公共点；过点A(0，1)作与抛物线对称轴平行的直线只有一条，它与抛物线只有一个交点.因此过点A(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线共有3条.
答案：3
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幻灯片 92.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|=_____________
=_______________________.
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幻灯片 10【即时应用】
(1)抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为 ，则k值为___.
(2)过椭圆 的左焦点且倾斜角为 的直线被椭圆所
截得的弦长为_________.
【解析】(1)直线方程与抛物线方程联立，消去y得：
4x2-4(1-k)x+k2=0，
所以x1+x2=1-k，x1x2=
依题意得：
即9=(x1+x2)2-4x1x2=(1-k)2-k2，解得：k=-4.
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幻灯片 11(2)设直线与椭圆 的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
由椭圆方程 得：
a=3，b=1，所以
因此，直线方程为： 与椭圆 联立，
消去y得：
则
所以
答案：(1)-4 (2)2
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幻灯片 12 直线与圆锥曲线的位置关系的确定
及应用
【方法点睛】
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题.
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幻灯片 132.直线与圆锥曲线相交的两个问题及求解方法
(1)与弦的中点有关的问题,常利用“点差法”求解；
(2)与抛物线焦点弦长有关的问题,要注意应用抛物线的定义.
【提醒】在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.
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幻灯片 14【例1】(1)(2012·安庆模拟)已知直线y= x-1与椭圆
相切，则椭圆的离心率为_________.
(2)已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
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幻灯片 15【解题指南】(1)直线与椭圆相切，实际上是直线方程与椭圆方程组成的方程组有唯一解，即判别式等于零，求出a,再求离心率;
(2)直线与抛物线公共点的个数问题，即为直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数问题，可将两方程联立求解.
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幻灯片 16【规范解答】(1)直线y= x-1与椭圆 联立，消去
y得：(a+ )x2-2x+4-4a=0，
其判别式Δ=(-2)2-4(a+ )(4-4a)
=16a(a- )=0,又因为a≠0,
∴a= ,∴椭圆的离心率
答案：
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幻灯片 17(2)由题意，得直线l的方程为y-1=k(x+2)，
由 得ky2-4y+4(2k+1)=0(*)
(ⅰ)当k=0时，由方程(*)得y=1,方程组有一个解,此时，直线与抛物线只有一个公共点.
(ⅱ)当k≠0时，方程(*)的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).
①由Δ=0，即2k2+k-1=0，
解得k=-1或k= ,
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幻灯片 18∴当k=-1或k= 时，方程组有一个解，
此时，直线与抛物线只有一个公共点.
②由Δ＞0,得2k2+k-1＜0，
解得-1＜k＜ ，
∴当-1＜k＜ 且k≠0时，方程组有两个解，
此时，直线与抛物线有两个公共点.
③由Δ＜0，得2k2+k-1＞0,
解得k＜-1或k＞ ,
∴当k＜-1或k＞ 时，方程组无解,
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幻灯片 19此时直线与抛物线没有公共点.
综上，当k=-1或k=0或k= 时，直线与抛物线只有一个公共点；
当-1＜k＜ 且k≠0时，直线与抛物线有两个公共点；当k＜-1
或k＞ 时，直线与抛物线没有公共点.
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幻灯片 20【互动探究】本例(2)的条件不变，求k为何值时直线与抛物线
相交、相切、相离？
【解析】①直线与抛物线相交,即直线与抛物线有两个公共点或
直线与抛物线的对称轴平行(或重合),此时直线与抛物线有一个
公共点,即由直线方程与抛物线方程联立所得方程二次项系数不
为0且Δ＞0或二次项系数为0,由本例解法知-1＜k＜ .
②直线与抛物线相切,即直线与抛物线有一个公共点,且直线与抛
物线的对称轴不平行(或不重合),即由直线方程与抛物线方程联
立所得方程二次项系数不为0且Δ=0,由本例解法知k=-1或k= .
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幻灯片 21③直线与抛物线相离,即直线与抛物线没有公共点,由本例解
法知k＜-1或k＞ .
综上可知:当-1＜k＜ 时,直线与抛物线相交;
当k=-1或k= 时,直线与抛物线相切;
当k＜-1或k＞ 时,直线与抛物线相离.
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幻灯片 22【反思·感悟】1.直线与圆锥曲线公共点有零个、一个、两个和直线与圆锥曲线的相离、相切、相交不是等价关系；
2.在直线与圆锥曲线所组成的方程组消元后，要注意所得方程的二次项系数是否含有参数.若含参数，需按二次项系数是否为零进行讨论，只有二次项的系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数，进而说明直线与圆锥曲线的位置关系.
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幻灯片 23【变式备选】已知中心在原点，一个焦点为F(0, )的椭圆
截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程.
【解析】因为椭圆中心在原点，一个焦点为F(0, )，所以
可设椭圆的标准方程为 其中a＞b＞0，且有a2-b2
=50，把直线方程代入椭圆方程，消去y得：(9b2+a2)x2-12b2x
+4b2-a2b2=0.
设弦的两个端点A(x1,y1)、B(x2,y2)，
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幻灯片 24则由根与系数之间的关系有：
又AB的中点的横坐标为 ，所以
解得a2=3b2，与a2-b2=50联立得：a2=75，b2=25，
所以椭圆方程为
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幻灯片 25 圆锥曲线中的存在性问题
【方法点睛】
1.解决存在性问题的方法及注意事项
(1)方法：存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.
(2)注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论.
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幻灯片 262.存在性问题的解题步骤
(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方程或不等式(组).
(2)解此方程或不等式(组),若有解即存在,若无解则不存在.
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幻灯片 27【例2】(2012·西安模拟)如图，
椭圆C： 的顶点为A1，
A2，B1，B2，焦点为F1，F2，｜A1B1｜
= ,
(1)求椭圆C的方程;
(2)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点,与椭圆相交于
A,B两点的直线, =1.是否存在上述直线l使 =0成
立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
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幻灯片 28【解题指南】解答本题(1)由待定系数法求解.本题(2)为存在性问题,从假设存在入手,通过计算看其是否存在.
【规范解答】(1)由｜A1B1｜= 知a2+b2=7, ①
由 知a=2c, ②
又b2=a2-c2, ③
由①,②,③,解得a2=4,b2=3,
故椭圆C的方程为
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幻灯片 29(2)假设使 =0成立的直线l存在，设A，B两点的坐标分
别为(x1,y1),(x2,y2),
①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,
由l与n垂直相交于P点且 =1得
即m2=k2+1,
由 =0得x1x2+y1y2=0.
将y=kx+m代入椭圆方程，得
(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,
由根与系数的关系可得x1+x2= ④
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幻灯片 30 ⑤
0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2,
将④⑤代入上式并化简得
(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0. ⑥
将m2=1+k2代入⑥并化简得-5(k2+1)=0，矛盾.
即此时直线l不存在.
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幻灯片 31②当l垂直于x轴时,满足 =1的直线l的方程为x=1或x=-1,
则A，B两点的坐标为(1， )，(1，- )或(-1， )，(-1，
- )，
当x=1时， =(1， )·(1，- )=- ≠0;
当x=-1时，
=(-1, )·(-1,- )=- ≠0,
∴此时直线l也不存在.
综上可知,使 =0成立的直线l不存在.
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幻灯片 32【反思·感悟】探索性问题常见的题型有两类：一是给出问题对象的一些特殊关系，要求解题者探索出一般规律，并能论证所得规律的正确性.通常要求对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律.二是只给出条件，要求解题者论证在此条件下，会不会出现某个结论.这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述.
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幻灯片 33【变式训练】(2012·郑州模拟)
设b＞0,椭圆方程为
抛物线方程为x2=8(y-b).如图所
示，过点F(0,b+2)作x轴的平行
线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
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幻灯片 34(2)设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由.(不必具体求出这些点的坐标)
【解析】(1)由x2=8(y-b)得
当y=b+2得x=±4,∴G点的坐标为(4,b+2)，y′= x,y′|x=4=1,过点G的切线方程为y-(b+2)=x-4即y=x+b-2，令y=0得x=2-b,
∴F1点的坐标为(2-b,0),由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0),
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幻灯片 35∴2-b=b即b=1,即椭圆和抛物线的方程分别为
和x2=8(y-1);
(2)∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，
∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，
同理，以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个.
若以∠APB为直角，
设P点坐标为(x, ),A、B两点的坐标分别为(- ，0)
和( ，0)，
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幻灯片 36关于x2的二次方程有一个大于零的解，∴x有两解，
即以∠APB为直角的Rt△ABP有两个，
所以抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形.
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幻灯片 37【变式备选】已知椭圆 (a＞b＞0)的右焦点为
F2(1,0)，点N(1, )在椭圆上.
(1)求椭圆方程；
(2)点M(x0,y0)在圆O：x2+y2=b2上，且在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否
为定值？如果是，求出定值;如果不是，说明理由.
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幻灯片 38【解析】(1)∵右焦点为F2(1,0)，∴c=1.
左焦点为F1(-1,0)，又∵点N(1, )在椭圆上,
∴2a=|NF1|+|NF2|
所以椭圆方程为
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幻灯片 39(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
= (x1-4)2,
∴
连接OM，OP，由相切条件知：
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幻灯片 40∴
同理可求
所以|F2P|+|F2Q|+|PQ|=2+2=4为定值.
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幻灯片 41 圆锥曲线中的最值问题
【方法点睛】
圆锥曲线中常见最值问题及解题方法
(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.
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幻灯片 42(2)求最值常见的解法有两种：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值.
【提醒】求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论.如直线斜率不存在的情况，二次式最高次项的系数的讨论等.
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幻灯片 43【例3】(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已
知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足
，M点的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l的距离的最小值.
【解题指南】(1)可设点M的坐标为(x,y)，依已知等式即可得出曲线C的方程.(2)可先设点P的坐标，求出切线，然后利用点到直线的距离公式求出距离的解析式，求其最值即可.
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幻灯片 44【规范解答】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1),
所以 =(-x,-1-y), =(0,-3-y),
=(x,-2).
再由
可知：
即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.
所以曲线C的方程为y= x2-2.
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幻灯片 45(2)设P(x0,y0)为曲线C： 上一点，因为y′= x,所
以l的斜率为
因此直线l的方程为y-y0= x0(x-x0)，
即x0x-2y+2y0- =0.
则O点到l的距离
又
所以
当且仅当x0=0时取等号，所以O点到l的距离的最小值为2.
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幻灯片 46【反思·感悟】1.本题第(1)问是求轨迹方程，采用的是直接法求轨迹方程，依据题设中的等式求解即可；
2.第(2)问是求点到直线的距离的最值，解决此类问题一般是依据题设条件得出函数解析式，利用函数的单调性或求导数或利用基本不等式求得最值.
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幻灯片 47【变式训练】已知椭圆M： (a＞b＞0)的离心率为
且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为
(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
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幻灯片 48【解析】(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形
周长为 ，所以2a+2c= .
又椭圆的离心率为 ，即 = ,所以c= a，
所以a=3，c= .所以b=1，椭圆M的方程为
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幻灯片 49(2)方法一：不妨设BC的方程为y=n(x-3)(n＞0),则AC的方程
为y=- (x-3).
由 得( +n2)x2-6n2x+9n2-1=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为
所以 同理可得
所以
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幻灯片 50设t=n+ ≥2，则
当且仅当t= 时取等号，
所以△ABC面积的最大值为 .
方法二：由题意，不妨设直线AB的方程为x=ky+m.
由 消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0，
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幻灯片 51设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则有 ①
因为以AB为直径的圆过点C，所以 =0.
由 =(x1-3,y1), =(x2-3,y2)，
得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0.
将x1=ky1+m,x2=ky2+m代入，得
(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0.
将①代入，解得m= 或m=3(舍).
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幻灯片 52所以m= (此时直线AB经过定点D( ，0),与椭圆有两个
交点)，
所以
设
则
所以当t= ∈(0, ］时，S△ABC取得最大值 .
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幻灯片 53【满分指导】直线与圆锥曲线综合问题的规范解答
【典例】(12分)(2011·湖南高考)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2,设l1与轨迹
C相交于点A,B，l2与轨迹C相交于点D,E，求 的最小值．
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幻灯片 54【解题指南】(1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)
先设直线l1的斜率为k，依题设条件可求出 关于k的解
析式，利用基本不等式求最值.
【规范解答】(1)设动点P的坐标为(x,y)，由题意得
-|x|=1. ……………………………… 2分
化简得y2=2x+2|x|,
当x≥0时，y2=4x;当x＜0时，y=0.
所以动点P的轨迹C的方程为
y2=4x(x≥0)和y=0(x＜0). ………………………… 5分
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幻灯片 55(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y=k(x-1)．
由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
………………………………………………………… 7分
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是
x1+x2=2+ ,x1x2=1．
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为- ．
设D(x3,y3),E(x4,y4),
则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1. …………………… 9分
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幻灯片 56=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)
=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1
=1+(2+ )+1+1+(2+4k2)+1
=8+4(k2+ )≥8+4× =16 ………………… 11分
故当且仅当k2= 即k=±1时， 取最小值，即16.
…………………………………………………………… 12分
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幻灯片 57【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 58----
幻灯片 591.(2011·广东高考)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为( )
(A)抛物线 (B)双曲线
(C)椭圆 (D)圆
【解析】选A．依题意得，C的圆心到点(0,3)的距离与它到直线y=-1的距离相等，则C的圆心轨迹为抛物线.
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幻灯片 602．(2011·浙江高考)已知椭圆C1： (a＞b＞0)与双
曲线C2: 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的
长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，
则( )
(A) (B)a2=13
(C) (D)b2=2
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幻灯片 61【解析】选C.方法一：由双曲线 知渐近线方程
为y=±2x，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，
∴椭圆方程可化为b2x2+(b2+5)y2＝(b2+5)b2，
联立直线y=±2x与椭圆方程消y得，
又∵C1将线段AB三等分，
∴
解之得b2= ,a2=b2+5= .
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幻灯片 62方法二：由双曲线 知渐近线方程为y=±2x,设渐
近线y=2x与椭圆C1: (a＞b＞0)的交点分别为C(x1,2x1),D(x2,2x2),则
又由C(x1,2x1)在C1: 上,
所以有 ①
又由椭圆C1: (a＞b＞0)与双曲线C2:x2- =1有
公共的焦点可得a2-b2=5 ②
由①②解得b2= ,a2= ,故选C.
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幻灯片 633.(2012·长沙模拟)已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是( )
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幻灯片 64【解析】选C.通过直线斜率等于m,在y轴上的截距为n，从直线
中可判断m，n的正负，从而确定nx2+my2=mn为椭圆还是双曲线,
选项C中，从直线可以看出m＞0,n＜0，而nx2+my2=mn可化为
即焦点在x轴上的双曲线.
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幻灯片 654.(2012·南昌模拟)已知直线l:y=- +m与曲线C：
仅有三个交点，则m的取值范围是( )
(A) (B)(0, -1)
(C)(0, ) (D)(1, )
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幻灯片 66【解析】选D.曲线C:4y2=|4-x2|,即
如图所示，直线l与双曲线
的渐近线y=- x平行，当l过点B、C，
即m=1时，直线l与曲线C有两个交点，把直线l再向上平移，
满足题意，当直线l与椭圆 相切时，则不满足题
意，即x2+4( x2-mx+m2)=4,∴x2-2mx+2m2-2=0,Δ=4m2-8m2
+8=0,∴m= 或m=- (舍去),故1＜m＜ .
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幻灯片 67----
幻灯片 68----
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