幻灯片 12.3.1向量数量积的物理背景与定义
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幻灯片 2
1.力做功的计算
如图所示，一个力 F 作用于一个物体，使该物体位移 s，如何计算这个力所做的功？
力 F 使该物体位移 s 所做的功
W = |s| |F| cos
|F| cos
|F| cos就是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量．
两个向量的夹角
向量在轴上的正射影
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幻灯片 32.两个向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b，作 = a ， =b ，则∠AOB称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作〈a，b〉．
a
b
并规定 0≤〈a，b〉≤π
特殊情况：
〈a，b〉= 0
〈a，b〉=π
a 与 b方向相同
a 与 b方向相反
〈a，b〉与 〈b， a〉什么关系？
〈a，b〉=〈b， a〉
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幻灯片 4 当〈a，b〉= 时，我们说向量a 和向量 b互相垂直．记作 a⊥b．
2.两个向量的夹角
在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．
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幻灯片 53.向量在轴上的正射影
|a|cos .
该射影在 l上的坐标，
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幻灯片 6例1 已知轴l（如图）：
（1）向量 ，求 在 上的正射影的数量 ；
（2）向量 ，求 在 上的正射影的数量 ；
|b|cos < a，b>
练习二
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幻灯片 74.向量的数量积（内积）定义
定义 |a||b|cos叫做向量a和b的数量积（或内积），记作 a·b，即
a·b= |a||b|cos．
解：a b= |a| |b| cos
=5×4×cos120°
注：记法a·b中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替．
例2 已知|a|＝5， |b|＝4，=120°，求a b．
问题1结果是数量还是向量？定义中涉及哪些量？
数量
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幻灯片 8问题2 两个向量 a 与 b 的内积是一个实数，不是一个向量，其值可以是正数、负数、零．请说出什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？
练习三
a·b= |a||b|cos．
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幻灯片 9（1）如果 e是单位向量,则
e · a=a · e= ．
（4）
（5）| a · b| | a | · | b |.（填≤或≥）
(用于计算向量的夹角)
|a| cos< a , e >
(判断两向量垂直的依据)
a · b=0
a⊥b
|a|2
≤
(用于计算向量的模)
数量积的性质
问题3 两个向量 a，b 的夹角决定了它们的数量积的符号。那么，你还能利用向量数量积的定义推出哪些结论呢？
请根据 a·b= |a||b|cos 填空：
（|a||b|≠0）
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幻灯片 101.判断下列命题是否正确
(×)
(×)
(×)
练习
(1)若向量a=0，则对任意向量b，有a ·b=0.
(2)若向量a≠0，则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
(3)对任意的向量a，有a·a=│a│2.
(4)若a≠0,且a · b=a · c，则b=c.
(5) a·b=|a||b|.
2． 已知a · b=5，|a| |b|=10，则= ．
3． 已知| a | =5， b在 a方向上的正射影的数量为-6，则a · b= ．
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幻灯片 11课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
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幻灯片 121. 教材115页 习题2-3 A组 1,2．
布置作业
2.请同学们探索数量积有哪些运算律。
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幻灯片 13我们学到了什么？
课堂小结
向量的夹角
向量在轴上的正射影
向量的数量积的定义，几何意义，性质．
共起点
向量 a 与b 的数量积等于a 的长度 |a| 与b 在a 的方向上的正射影的数量| b | cosθ的积.
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