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幻灯片 8 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：
它关于什么对称？
而我们所学习的函数图像也有类似的
对称现象，请看下面的函数图像。
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幻灯片 9观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
1
-1
f(x)=x2
（1）
（2）
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幻灯片 10引 例：
1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。
解:
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-x)=(-x)2=x2
2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)
解:
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-x)=(-x)3=-x3
思考 : 通过练习,你发现了什么规律?
f(-2)=f(2)
f(-1)=f(1)
f(-x)=f(x)
f(-2)= - f(2)
f(-1)= - f(1)
f(-x)= - f(x)
-x
x
f(-x)
f(x)
-x
f(-x)
x
f(x)
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幻灯片 111.函数奇偶性的概念:
偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫偶函数.
奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,
那么函数f(x)就叫奇函数.
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幻灯片 12☆对奇函数、偶函数定义的说明:
(1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：
若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
（4） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)
具有奇偶性。
(3)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
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幻灯片 13练习1. 说出下列函数的奇偶性:
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
①f(x)=x4 ________ ④ f(x)= x -1 __________
② f(x)=x ________
奇函数
⑤f(x)=x -2 __________
偶函数
③ f(x)=x5 __________
⑥f(x)=x -3 _______________
说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。
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幻灯片 14练习1:对于定义在R上的函数 f (x)，
下列判断是否正确？
若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
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幻灯片 15例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+(-x)
= -x3-x
= -(x3+x)
即 f(-x)= - f(x)
∴f(x)为奇函数
解: 定义域为R
∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a
=3x4+6x2 +a
即 f(-x)= f(x)
∴f(x)为偶函数
说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.
⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.
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幻灯片 16例2. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2
解:
∵f(-x)=(-x)3+2(-x)
= -x3-2x
= -(x3+2x)
即 f(-x)= - f(x)
∴f(x)为奇函数
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2
∴f(x)为偶函数
定义域为R
解:
定义域为R
即 f(-x)= f(x)
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幻灯片 17练习2. 判断下列函数的奇偶性
(2) f(x)= - x2 +1
∴f(x)为奇函数
∵f(-x)= -(-x)2+1
= - x2+1
∴f(x)为偶函数
解：定义域为﹛x|x≠0﹜
解：定义域为R
即 f(-x)= - f(x)
即 f(-x)= f(x)
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幻灯片 18
(3). f(x)=5 (4) f(x)=0
解: (3) f(x)的定义域为R
∵ f(-x)=f(x)=5
∴f(x)为偶函数
解: (4)定义域为R
∵ f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0
∴f(x)为既奇又偶函数
说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。
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幻灯片 19 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
解: (5) ∵ f(-x)= -x+1
- f(x)= -x-1
∴f(-x)≠f(x)
且f(-x)≠ –f(x)
∴f(x)为非奇非偶函数
解: （6）∵定义域不关于原点
对 称
∴f(x)为非奇非偶函数
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幻灯片 20解: (8) 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数
奇函数
说明：根据奇偶性, 偶函数
函数可划分为四类: 既奇又偶函数
非奇非偶函数
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幻灯片 21奇函数的图象(如y=x3 )
偶函数的图象(如y=x2)
o
a
P/(-a ,f(-a))
p(a ,f(a))
-a
(-a,-f(a))
(-a,f(a))
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幻灯片 222.奇偶函数图象的性质:
⑴ 奇函数的图象关于原点对称.
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
那么这个函数为奇函数.
⑵ 偶函数的图象关于y轴对称.
反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,
那么这个函数为偶函数.
注：奇偶函数图象的性质可用于：
①.简化函数图象的画法。
②.判断函数的奇偶性。
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幻灯片 23
o
y
x
例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。
解：画法略
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幻灯片 24本课小结:
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。
如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。
2.两个性质:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。
一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。
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幻灯片 25练一练：
判断函数的奇偶性:
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幻灯片 26
课外思考题:
1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x)
2.判断函数 的奇偶性:
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幻灯片 273. 已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1+x);当x<0,f(x)等于( ).
–x(1-x) B. x(1-x)
C. -x(1+x) D. x(1+x)
4.已知函数f(x),g(x)均奇函数，F(x) =
a f(x) + b g(x) ,(a,b不为0的常数)则F(X)为( )
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶 D. 既是奇又是偶函数
若F (x) = x (f(x)+g(x) ),则F(x)为________,
F (x) = x2 (f(x)+g(x) ) ,则F(x)为________.
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幻灯片 28作业：课本P64 练习3，4， P657,8
P10611
思考题:
2.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x)
1.已知y=f(x)是偶函数，且在(-∞，0）上是增函数，则
y=f(x)在(0,∞)上是 （ ）
A.增函数 B.减函数 C.非单调函数 D.单调性不确定
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幻灯片 29----
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