幻灯片 13．2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
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幻灯片 2【课标要求】
1．掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义．
2．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
【核心扫描】
1．利用函数模型解决实际问题．(重点)
2．三种函数模型性质的比较．
3．在实际应用中选择哪种函数模型．(难点、易混点)
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幻灯片 3新知导学
1．三种函数模型的性质
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幻灯片 42.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是 ，但 不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会 ．
(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有 .
增函数
增长速度
越来越慢
logax＜xn＜ax
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幻灯片 5温馨提示：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
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幻灯片 6互动探究
探究点1 函数y＝x2与y＝2x在(4，＋∞)上哪一个增长得更快些？
提示 y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度．
探究点2 在区间(0，＋∞)上，当a＞1，n＞0时，是否总有logax＜xn＜ax成立？
提示 不是，但总存在x0，使得当a＞1，n＞0，x＞x0时，logax＜xn＜ax成立．
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幻灯片 7探究点3 当实际问题提供的两个变量的数量关系有怎样的增长规律时，我们选择一次函数模型，对数函数模型，指数函数模型？
提示 均匀增长，增量恒定时，一般选择一次函数模型，缓慢增长，增量逐渐变小时，一般选择对数函数模型；急剧增长，增量快速增大时，选择指数函数模型.
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幻灯片 8类型一 直线型与指数型函数的应用
【例1】 甲、乙两城市现有人口总数为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)对两城市人口增长情况作出分析．
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幻灯片 9参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.
[思路探索] 分别根据增长率和增长量，建立函数模型，进行数据运算，作出分析判断．
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幻灯片 10解 (1)1年后甲城市人口总数为：
y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后甲城市人口总数为：
y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2；
3年后甲城市人口总数为：y甲＝100×(1＋1.2%)3；
……
x年后甲城市人口总数y甲＝100×(1＋1.2%)x，乙城市人口总数y乙＝100＋1.3x.
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幻灯片 11(2)10年、20年、30年后甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如下表：
(3)甲、乙两城市人口都是逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．
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幻灯片 12[规律方法] 1.本题涉及到平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2．在实际中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．
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幻灯片 13【活学活用1】 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少
于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服
药一次治疗疾病的有效时间．
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幻灯片 14----
幻灯片 15----
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幻灯片 17[规律方法] 解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际意义，然后利用对数运算性质或换底公式求解．
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幻灯片 18【活学活用2】 溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
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幻灯片 19解 (1)根据对数的运算性质，
有pH＝－lg[H＋]＝lg[H＋]－1.
在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，[H＋]－1减小，
从而lg [H＋]－1减小，即pH减小．
所以，随着[H＋]的增大，pH减小．
(2)当[H＋]＝10－7时，
pH＝－lg [H＋]＝－lg10－7＝7，
所以纯净水的pH是7，酸碱度为中性．
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幻灯片 20类型三 几种函数模型的比较
【例3】 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
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幻灯片 21如果我们分别将2010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
[思路探索] 把点(1,8)，(2,18)，(3,30)代入两个模型求相应曲线→验证x＝4时，y值与43的误差→得出结论．
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幻灯片 22----
幻灯片 23----
幻灯片 24[规律方法] (1)此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．
(2)理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．
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幻灯片 25【活学活用3】 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图．
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交
点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行
比较)．
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幻灯片 26解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知
曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长．
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幻灯片 27方法技巧 运用图象特征确定增长型函数模型
几种常见的增长型函数增长变化趋势不同，呈直线上升，指数爆炸，“蜗牛式”增长，反映在图象上，通常是观察图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
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幻灯片 28【示例】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图
所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(8)，g(8)，f(2 012)，
g(2 012)的大小．
[思路分析] (1)随着自变量x的增大，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.(2)利用零点存在性定理找出交点所在的区间，然后结合图象比较大小．
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幻灯片 29解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，
曲线C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，
f(9)＝512，g(9)＝729，f(10)＝1 024，g(10)＝1 000.
∴f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)．
因此1＜x1＜2,9＜x2＜10，
从而x1＜8＜x2＜2 012.
由图象知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，则f(8)＜g(8)，
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，故f(2 012)＞g(2 012)＞g(8)＞f(8)．
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幻灯片 30[题后反思] 1.(1)要熟记基本函数图象的特点，并把握好指数函数、对数函数、幂函数图象的增长特点．
(2)结合图象分析图中曲线的特点与区别，联想对应的函数解析式．
2．解答题目要步骤完整，需要下总结性结论的，最后一定要点明，以规范步骤．
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幻灯片 31课堂达标
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是
( )．
A．y＝2x B．y＝log2x
C．y＝x2 D．y＝2x
解析 指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，增长速度最快．
答案 D
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幻灯片 322．(2013·济南高一检测)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是
( )．
解析 设该林区的森林原有蓄积量为a，
由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．
答案 D
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幻灯片 333．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
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幻灯片 34解析 指数型函数的增长呈“爆炸式”增长，由表中数据，呈指数型变化的变量为y2.
答案 y2
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幻灯片 35----
幻灯片 365．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？
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幻灯片 37解 设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为
y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为
y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
y1－y2＝4a－4.98a＜0，
因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)．
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幻灯片 38课堂小结
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．
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