幻灯片 1第2课时 函数单调性和奇偶性的应用
学习目标：
1.从形与数两个方面进行引导，使学生深刻理解函数的奇偶性、单调性的概念.
2.通过抽象函数奇偶性、单调性的应用，培养学生观察、归纳、抽象的能力.
1.1.3
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幻灯片 2重点难点
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幻灯片 3提出问题
1.已知函数𝑦=𝑓(𝑥)在R上是奇函数，而且在(0，+∞)上是增函数，那么𝑦=𝑓(𝑥)在它的对称区间(-∞，0)上的单调性如何？
结论:奇函数的图象关于坐标原点对称，所以在两个对称的区间上单调性相同.即𝑦=𝑓(𝑥)在它的对称区间(-∞，0)上单调递增.
一、奇、偶函数在对称区间上的单调性
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幻灯片 4提出问题
2.如何用函数单调性的定义证明上面的结论？
一、奇、偶函数在对称区间上的单调性
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幻灯片 5提出问题
3.已知函数𝑦=𝑓(𝑥)在R上是偶函数，而且在(0，+∞)上是减函数.判断𝑦=𝑓(𝑥)在它的对称区间(-∞，0)上是增函数还是减函数？
一、奇、偶函数在对称区间上的单调性
结论：偶函数的图象关于𝑦轴对称，所以在两个对称的区间上单调性
相反.即𝑦=𝑓(𝑥)在它的对称区间(-∞，0)上是增函数.
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幻灯片 6一、奇、偶函数在对称区间上的单调性
4.如何用函数单调性的定义证明上面的结论？
提出问题
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幻灯片 7典型例题
一、奇、偶函数在对称区间上的单调性
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幻灯片 8二、利用函数奇偶性求函数解析式
典型例题
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幻灯片 9反馈练习
1 . 已知𝑓（𝑥）是偶函数，且当𝑥＞0时，𝑓（𝑥）=𝑥|𝑥-2|，求𝑥＜0时，𝑓（𝑥）的表达式.
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二、利用函数奇偶性求函数解析式
解：设𝑥＜0，则-𝑥＞0，且满足𝑓（𝑥）=𝑥|𝑥-2|，
∴ 𝑓（-𝑥）=-𝑥|-𝑥-2|=-𝑥|𝑥+2|.
又∵ 𝑓（-𝑥）=𝑓（𝑥），∴ 𝑓（𝑥）=-𝑥|𝑥+2|.
故当𝑥＜0时，𝑓（𝑥）的表达式为𝑓（𝑥）=-𝑥|𝑥+2|.
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幻灯片 10二、利用函数奇偶性求函数解析式
典型例题
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幻灯片 11反馈练习
1 . 已知𝑓（𝑥）是偶函数，且当𝑥＞0时，𝑓（𝑥）=𝑥|𝑥-2|，求𝑥＜0时，𝑓（𝑥）的表达式.
.
二、利用函数奇偶性求函数解析式
解：设𝑥＜0，则-𝑥＞0，且满足𝑓（𝑥）=𝑥|𝑥-2|，
∴ 𝑓（-𝑥）=-𝑥|-𝑥-2|=-𝑥|𝑥+2|.
又∵ 𝑓（-𝑥）=𝑓（𝑥），∴ 𝑓（𝑥）=-𝑥|𝑥+2|.
故当𝑥＜0时，𝑓（𝑥）的表达式为𝑓（𝑥）=-𝑥|𝑥+2|.
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幻灯片 12例3 已知函数𝑓(𝑥),𝑥∈R，若对于任意的实数𝑎,𝑏都有𝑓(𝑎+𝑏)=𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)，求证：函数𝑓(𝑥)为奇函数.
解:由题意可知，函数的定义域为R，关于原点对称.
令𝑎=0，则𝑓(𝑏)=𝑓(0)+𝑓(𝑏)，∴ 𝑓(0)=0.
又令𝑎=-𝑥,𝑏=𝑥，代入，
得𝑓(-𝑥+𝑥)=𝑓(-𝑥)+𝑓(𝑥)，
即0=𝑓(-𝑥)+𝑓(𝑥)，
∴ 𝑓(-𝑥)=-𝑓(𝑥)，∴ 函数𝑓(𝑥)为奇函数.
三、判断抽象函数的奇偶性
典型例题
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幻灯片 13反馈练习
三、判断抽象函数的奇偶性
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幻灯片 14课堂检测
1. 如果奇函数𝑓（𝑥）在区间［-5，-3］上是增函数，且最大值是-4，那么𝑓（𝑥）在𝑥∈［3，5］上是（ ）
A.增函数且最大值是4
B.增函数且最小值是4
C.减函数且最大值是4
D.减函数且最小值是4
B
B
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幻灯片 15课堂检测
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幻灯片 16布置作业
作业一：教材第44页复习参考题A组第10题， 第45页复习参考题B组第6题.
作业二：作业内容见后面的“课时练案”
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