幻灯片 1
湖南师大附中 刘东红
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幻灯片 2----
幻灯片 3若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
知识要点
不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
平面向量基本定理:
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幻灯片 4 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解
知识要点
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幻灯片 5 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj.
知识要点
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幻灯片 6 把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示.
知识要点
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幻灯片 7平面向量的坐标运算
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a±b= .
(2)如果 ,
则AB = .
(3)若a=(x,y)则λa= .
平行与垂直的充要条件
(1)若a =(x1, y1), b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是 .
(2)若a =(x1, y1), b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件是 .
x1x2+y1y2=0
(x1±x2,y1±y2)
A(x1,y1),B(x2,y2)
(x2-x1, y2-y1)
(λx,λy)
x1y2-x2y1=0
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幻灯片 8向量的夹角
两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,
则 叫做向量a与b的夹角，记作 .
如果夹角是 ，我们说a与b垂直， 记作 .
向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作 .
∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)
a·b=|a||b|cosθ
|a||b|cosθ
a⊥b
90°
〈a,b〉=θ
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幻灯片 9规定：零向量与任一向量的数量积为 .
向量的数量积满足的运算律：
(1) ;
(2) ;
(3) .
数量积的性质：
(1)e·a= = (e是与a同方向的单位向量);
(2)a2= ;
0
a·b=|a||b|cosθ
(a+b)·c=a·c+b·c
|a|cosθ
a·e
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
|a|2
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幻灯片 10(3)a·b=0则 ;(4)cosθ= ;
(5)|a·b| |a||b|.
向量数量积的坐标运算
若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，
则a·b= .
向量a在b上的投影为 .
≤
a·b|a|·|b|
a⊥b
x1x2+y1y2
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幻灯片 11拓展延伸
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幻灯片 12拓展延伸
2.由数量积可得如下一些结论:
（1）a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0）；
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幻灯片 13（3）投影公式： ；
（4）|a·b|≤|a||b|；
（5）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2， (a＋b)(a－b)＝a2－b2.
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幻灯片 14 3.数量积不满足结合律，即 (a·b)·c≠a·(b·c).
4.若非零向量a与b的夹角为钝角，则 a·b＜0，反之成立吗？
设非零向量a与b的夹角为θ，
则 当0°≤θ＜90°时，a·b＞0；
当90°＜θ≤180°时，a·b＜0；
当θ＝90°时，a·b＝0.
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幻灯片 15----
幻灯片 16----
幻灯片 17----
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