幻灯片 1考点1 天体的运动——开普勒行星运动规律
学案4 万有引力与航天
1.开普勒第一定律说明了不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的。
2.开普勒第二定律说明行星在近日点的速率大于在远日点的速率，从近日点向远日点运动时速度变小，从远日点向近日点运动时速率变大。
3.开普勒第三定律
(1)表达式a3/T2=k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T为公转周期，k是与太阳质量有关而与行星无关的常量。
(2)由于行星的椭圆轨道都跟圆近似，在近似的计算中，可以认为行星都以太阳为圆心做匀速圆周运动，在这种情况下，若用R代表轨道半径，T代表周期，开普勒第三定律可以写成R3/T2=k。
(3)开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时a3/T2=k′，比值k′是由行星的质量所决定的另一常量，与卫星无关。例如地球绕太阳运转时的常数k1与月亮绕地球运转时的常数k2是不同的。
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幻灯片 2开普勒定律的应用
【例1】理论证明开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，而且也适用于卫
星绕行星的运动，只不过此时a3/T2=k′中的常量k′与行星绕太阳运动中的常
量k不一样。已知月球绕地球运转的半径为地球半径的60倍，运行周期为27
天，应用开普勒第三定律计算，在地球赤道上空多高处的卫星可以随地球一
起转动，就像是留在天空中不动一样。(已知地球半径为6.4×103 km)
本题所述的卫星是地球同步卫星，利用万有引力定律和卫星运动知识，同样可以求出。同学们可以一试。
【解析】设月球和人造地球卫星绕地球公转的周期分别为T1、T2，轨道半径分别为R1、R2，由开普勒第三定律可得：R13/R23=T12/T22，所以R2= (T2/T1 )2/3·R1,R2=(1/27)2/3×60R地≈4.27×104 km，卫星在地球轨道上方的高度h=R2-R地=3.63×104 km。
【答案】3.63×104 km
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幻灯片 3 1
地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动
轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家
哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他
算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球
公转半径的18倍(如图所示)，并预言这
颗彗星将每隔一定时间就会出现，哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你估算，它下次飞近地球是哪一年？
【答案】2062年
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幻灯片 4 1.当物体在赤道上时，F，mg，F向三力同向，此
时F向达到最大值 F向max=mR2，重力加速度达到最小
值gmin=(F-F向)/m=GM/R2-R2。
2.当物体在两极的极点时，F向=0，F=mg，此时重
力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为
gmax=GM/R2
因地球自转角速度很小，GMm/R2 》mR2,所以在一般情况下进行计算时认为mg=GMm/R2。
考点2 万有引力定律
一、重力和万有引力的关系
在地球表面上的物体所受的万有引力F可以分解
成物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向
心力F向，如图所示。
其中F=GMm/R2，而F向=mR2。
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幻灯片 5 二、求星球表面和某高度处的重力加速度
1.求星球表面的重力加速度
在星球表面处万有引力等于或近似等于重力，则：
GMm/R2=mg，所以g=GM/R2(R为星球半径，M为星球质量)。
由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为g1/g2=(R22/R12)·(M1/M2)。
2.求某高度处的重力加速度
若设离星球表面高h处的重力加速度为gh，则：
GMm/(R+h)2=mgh，所以gh=GM/(R+h)2,可见随高度的增加重力加速度逐渐减小。
由以上推得星球表面和某高度处的重力加速度关系为gh/g=R2/(R+h)2。
万有引力的特点
(1)普遍性：任何客观存在的物体间都存在着相互作用的吸引力，即“万有引力”。
(2)相互性：两物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，它们的大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上。
(3)宏观性：在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义，故在分析地球表面的物体受力时，不考虑地面物体间的万有引力，只考虑地球对地面物体的万有引力。
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幻灯片 6万有引力定律的应用
【例2】在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视
为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道
半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质
量海水的引力，以下说法正确的是( )
A.太阳引力远大于月球引力
B.太阳引力与月球引力相差不大
C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
本题考查万有引力定律在实际中的作用，正确理解定律内容并能应用公式计算，了解潮汐成因是解答本题的思路。
【解析】由万有引力定律F=GMm/R2可知，F∝M/R2，太阳与月球对相同质量海水的引力之比F太阳/F月球=1.687 5×102，故A对；月球与不同区域海水的距离不同，故吸引力大小有差异，D对。
AD
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幻灯片 7 2
一探月卫星在地月转移轨道上运行，某一时刻正好处于地心和月心的连线上，卫星在此处所受地球引力与月球引力之比为4:1。已知地球与月球的质量之比约为81:1，则该处到地心与到月心的距离之比约为_______。
9:2
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幻灯片 8F万=F向=GMm/r2
(r=R地+h)
一、人造卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系
GM=gR2称为“黄金代换”，纯粹是四个常数G、M、g、R间的数值关系，因此在任何时候都能进行等量代换，不过一定要注意g和R的对应性，即g是离天体M球心R处的重力加速度值。
应
用
越
高
越
慢
mg=GMm/R2地(近地时)→GM=gR2地(黄金代换)→推广
GM行=g行表R2行
GM=g(h)(R+h)2
考点3 人造地球卫星宇宙速度
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幻灯片 9 二、与卫星相关的几个问题
1.卫星的超重与失重
卫星发射过程中，卫星上的物体处于超重状态，卫星进入轨道后正常运转时，卫星具有的加速度等于轨道处的重力加速度g轨，卫星上的物体完全失重，返回时，卫星减速运动，卫星上的物体处于超重状态。
2.卫星的能量
轨道半径越大，速度越小，动能越小，但重力势能越大，且总机械能也越大，也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大。
3.卫星变轨问题
人造卫星在轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的轨道。
4.同步卫星
同步卫星就是与地球同步运转，相对地球静止的卫星，因此可用来作为通讯卫星，同步卫星有以下几个特点：
(1)周期一定：同步卫星在赤道正上方相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，T=24 h。
(2)角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度。
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幻灯片 10 (3)轨道一定：
①因提供向心力的万有引力指向圆心，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内。
②由于所有同步卫星的周期相同，由 知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即在同一轨道上运动，其确定的高度约为3.6×104 km。
三、应用万有引力定律分析天体问题
1.基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力完全由万有引力提供。
GMm/r2=mv2/r=m2r=m(2/T)2r=m(2f)2r
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析计算。
2.天体质量和密度的估算
方法一：利用万有引力定律计算被围绕天体(中心天体)的质量和密度。
5.几种卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内。同步卫星就是其中的一种。
(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如定位卫星系统中的卫星轨道。
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道。
一切卫星的轨道的圆心，与地心重合。
(4)环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，环绕方向与地球自转相同。
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幻灯片 11 如图所示，某一行星m绕太阳M运转，其向
心力是由太阳对行星的万有引力提供的，
则有
GMm/r2=m(42/T2)r
故M=42r3/(GT2)，而=M/[(4/3)r03]
=3r3/(GT2r30)，其中r0为太阳的半径，r为行星的轨道
半径，两者不可混淆。特别地，当r=r0(即贴近被测天
体表面飞行)时，有=3/(GT2)
这给我们提供了测量未知天体密度的一种简便方法。
值得注意的是，用环绕天体(或卫星)的周期、轨道半径测质量的方法，只适用于测定其中心天体(即处于轨道中心处天体)的质量，不能测定在圆轨道上运行着的天体的质量。
方法二：利用重力与万有引力近似相等，估算天体的质量和密度。
对在天体表面上的物体有
mg=GMm/R2
式中g为天体表面的重力加速度，R为天体的半径，则M=gR2/G
相应地=M/[(4/3)R3]=3g/(4GR)
卡文迪许就是利用这种方法第一次估算出地球的质量和平均密度的。
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幻灯片 12 1.解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但其基本方法是不变的，即把天体的运动看成圆周运动，万有引力提供向心力。选择合适的表达式求解。
2.高考考查该类问题常结合一些自然现象、航天技术、地理知识、数学几何关系、双星模型等，着重考查学生的理解、推理、分析综合能力。
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幻灯片 13【例3】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大，现有一中子星，
观测到它的自转周期为T=1/30 s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该
星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常量
G=6.67×10-11 N·m2/kg2)
天体的质量和密度
求天体的质量或密度的问题有两种情况。
(1)已知天体表面的重力加速度g和半径R，利用g=GM/R2，得出M=gR2/G。
(2)围绕天体做圆周运动的卫星(或行星)，利用GMm/r2=m(42/T2)r，可得中心天体的质量M=42r3/(GT2)。
【解析】设中子星的密度为，质量为M，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小物块质量为m，则有
GMm/R2=m2R，=2/T，M=(4/3)R3
由以上各式得=3/(GT2)，
代入数据解得：=1.27×1014 kg/m3。
【答案】1.27×1014 kg/m3
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幻灯片 14欧洲科学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese 581c。这颗围绕红矮星Gliese 581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为2光年，直径约为地球的1.5倍，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese 581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确的是( )
A.飞船在Gliese 581c表面附近运行的周期约为13天
B.飞船在Gliese 581c表面附近运行时的速度大于7.9 km/s
C.人在Gliese 581c上所受重力比在地球上所受重力大
D.Gliese 581c的平均密度比地球平均密度小
B C
3
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幻灯片 15人造卫星、宇宙速度
【例4】已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为( )
A.6小时 B.12小时
C.24小时 D.36小时
解决卫星运动问题最基本的公式是万有引力充当向心力，即GMm/r2=mv2/r=mr2=mr42/T2=G重，在解题时根据题目中的条件合理选择公式，能使求解简单。
【解析】设地球半径为R，密度为1，自转周期为T1，设行星半径为r，密度为2，自转周期为T2，根据万有引力定律得
G·1(4/3)R3m/(7R)2=m42·7R/T12 ①
G·2(4/3)r3m/(3.5r)2=m42·3.5r/T22 ②
1=22,T1=24小时 ③
由①②③得T2=12小时，故选项B正确。
B
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幻灯片 16 4
土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA=8.0×104 km和rB＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。(结果可用根式表示)
(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比；
(2)求岩石颗粒A和B的周期之比；
(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它在距土星
中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球的半径为
6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
【答案】(1) (2) (3)95
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幻灯片 17【例5】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银
河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系
统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之
间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。(引力常量为G)
根据“双星”有共同角速度的隐含条件，及其圆周运动的半径间的关系，建立方程求解即可。
【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为1、2。根据题意有ω1=ω2 ①
r1+r2=r ②
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
Gm1m2/r2=m112r1 ③
Gm1m2/r2=m222r2 ④
联立以上各式解得
m1+m2=12 (r1+r2)r2/G ⑤
根据角速度与周期的关系知
1=2=2/T ⑥
联立②⑤⑥式解得
m1+m2=42r3/(T2G)。
【答案】42r3/(T2G)
双星问题
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幻灯片 18【答案】(1) m′=m23/(m1+m2)2
(2) m23/(m1+m2)2=v3T/(2G)
(3)暗星B有可能是黑洞
神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图6所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对
它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。若
可见星A的速率v=2.7×105 m/s，运行周期T=4.7×104 s，质量m1=6ms，试通过
估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
(G=6.67×10-11 N·m2/kg2,ms=2.0×1030 kg)
5
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幻灯片 19【例6】天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座
A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆
运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单
位)，人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。
(1)若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座
A*的质量MA是太阳质量MS的多少倍(结果保留一位有效数字)；
(2)黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的
动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量
为m的粒子具有的势能为Ep=-GMm/R (设粒子在离黑洞无限远处的势能为
零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量
G=6.7×10-11 N·m2/kg2，光速c=3.0×108 m/s，太阳质量MS=2.0×1030 kg，
太阳半径RS=7.0×108 m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学
范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径RS之比应小于多少(结果按四舍五入
保留整数)。
万有引力与天体运动的综合应用
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幻灯片 20 【解析】本题考查万有引力定律与航天科技相结合的知识，是现代科技与物理知识相结合的问题，要求学生能够将所学知识应用到解决实际问题中去，从实际中抽象出物理模型，从而加以解决，本题考查学生综合分析能力和应用所学知识解决实际问题的能力，难度较大。
(1)S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2,角 速度为,周期为T，则G=MAmS2/r2=mS22r ①
其中=2/T ②
设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则GMSmE/rE2=mE(2/TE)2rE ③
综合上述三式得MA/MS=(r/rE)3(TE/T)2
式中TE=1年 ④
rE=1天文单位 ⑤
代入数据可得MA/MS=4×106 ⑥
(2)引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的势能为零，“处于黑洞表面的粒子即使以光速 运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零。根据能量守恒定律，粒子在黑洞表面处的能量也小于零，则有
(1/2)mc2-GMm/R<0
依题意可知R=RA,M=MA
可得RA<2GMA/c2
代入数据得RA<1.2×1010 m
RA/RS<17。
本题考查万有引力定律知识的应用，是现代科技与物理知识相结合的问题，要求学生能够将所学知识应用到解决实际问题中去，从实际中抽象出物理模型，从而加以解决。
【答案】(1)4×106 (2)17
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幻灯片 21 6
【答案】
我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)。
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