幻灯片 1考点1 描述圆周运动的几个概念
学案3 圆 周 运 动
1.向心力是根据力的效果来命名的，在分析做圆周运动物体的受力情况时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力。
向心力既可以由一个实际力来承担，也可以由几个力的合力来承担，还可以由一个力的某一个分力来承担，在后面的题目中要灵活处理。
在力学中常见的重力、弹力、摩擦力等都可能是向心力的来源。
2.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力，沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。
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幻灯片 2 1.线速度、角速度、周期和转速都可以描述圆周运动的快慢，但意义不同，线速度描述做圆周运动的物体沿圆周运动的快慢，若比较两物体沿圆周运动的快慢，只看线速度大小即可；而角速度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。由=2/T=2f可知，越大，T越小，f越大，则物体转动得越快，反之越慢。三个物理量知其中一个，另两个也就成为已知量。
2.在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系。
同轴转动的各点角速度和转速n相等，而线速度v=r与半径r成正比。在不考虑皮带打滑的情况下，传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度=v/r与半径r成反比。
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幻灯片 3线速度v、角速度及向心力速度a的大小关系
【例1】图为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，
左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，
到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若
在传动过程中，皮带不打滑，则( )
A.a点与b点的线速度大小相等
B.a点与b点的角速度大小相等
C.a点与c点的线速度大小相等
D.a点与d点的向心加速度大小相等
(1)两个隐含条件：两轮上与皮带接触的各点线速度大小相等；同一转轮上的各点的角速度大小相同，这是解决问题的突破口。
(2)熟练应用关系v=r，a=v2/r=2r=v是解决此类问题的关键。
C D
【解析】a、c两点为同皮带上的两点，速率一样，它们的线速度大小相等，选项C正确；c和b为同一轮轴上两点，它们的角速度相同，由线速度公式v=r可知，c点与b点线速度大小不同，故a点与b点线速度不同，选项A不正确；由va=vc得a=2c，b=c，选项B不正确；由于d=c，d点向心加速度为ad=d2·4r，a点的向心加速度为aa=a2·r=4d2r，选项D正确。
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幻灯片 4 1
如图所示，甲、乙、丙三个轮子依
靠摩擦传动，相互之间不打滑，
其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的
角速度为1，则丙轮的角速度为( )
A.r11/r3 B.r31/r1
C.r31/r2 D.r11/r2
A
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幻灯片 5【例2】如图所示，半径为R的圆板做匀速转动，当半径OB转到某一方向时，
在圆板中心正上方高h处，以平行于OB方向水平抛出一小球。要使小球与圆板
只碰撞一次，且落点为B，求小球水平抛出时的速度v0及圆板转动的角速度
分别是多少？
圆周运动具有周期性，因此与圆周运动有关的部分题目的解可能具有周期性。分析该部分题目时要注意考虑周期性，把要求的解回答全面，避免出现漏解。
【解析】(1)设小球做平抛运动落到B点的时间为t，则 R=v0t ①
h=(1/2)gt2 ②
由①②解得：
恰好落在B点，则平抛运动时间t与周期T的关系是：
t=nT(n=1,2,…) ③
又因为T=2/ ④
由以上各式解得： (n=1,2…)。
【答案】 (n=1,2...)
圆周运动的周期性问题
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幻灯片 6【答案】
如图所示，直径为d的纸筒，以角速度绕O轴转动，一颗子弹沿直径水平穿过圆纸筒，先后留下a、b两个弹孔，且Oa、Ob间的夹角为，则子弹的速度为多少？
2
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幻灯片 7 圆周运动的临界问题，往往发生在物体在竖直平面内的变速圆周运动问题中，中学阶段只分析物体通过最高点和最低点的情况。
(1)如图所示，是没有物体支撑的小球，在竖
直平面内做圆周运动经过最高点的情况。
注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力。
①临界条件：当小球恰好能沿圆周通过最高点时，
绳子或轨道对小球没有力的作用。
mg=mv2/R v临界= 。
注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、 电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v临界≠ 。
②能过最高点的条件：v≥ ，当v> 时，向心力F向=mv2/R≥mg，则绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：v＜v临界= (实际上球还没到最高点时，就脱离了轨道)。
考点2 圆周运动及向心力
1.竖直平面内圆周运动的临界问题
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幻灯片 8 (2)图(a)是有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运
动经过最高点的情况。
注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生
支持力。
①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到
最高点的临界速度v临界=0。
②图(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：
a.当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即
FN=mg。
b.当0＜v＜ 时，向心力F向=mv2/R＜mg，则有：mg-FN=mv2/R，杆对小球
的支持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是：mg＞FN＞0。
c.当v= 时，F向=mv2/R=mg，FN=0。
d.当v＞ 时，向心力F=mv2/R＞mg，杆对小球有指向圆心的拉力，有mg+F=mv2/R，其大小随速度的增大而增大。
③图(b)中小球经过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况：
a.当v=0时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球重力，即FN=mg。
b.当0＜v＜ 时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg＞FN＞0。
c.当v= 时，FN=0。
d.当v＞ 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。
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幻灯片 9 1.解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模型还是杆模型，在最高点绳模型小球的最小速度是 ；而杆模型小球在最高点的最小速度为零，要注意根据速度的大小判断是拉力还是支持力。
2.向心力公式F=mv2/R=m2R，既适用于匀速圆周运动，又适用于变速圆周运动，对于变速圆周运动来说，式中的v和是做圆周运动的物体在那一时刻的瞬时线速度和瞬时角速度。对于任何圆周运动的物体来说，将物体所受到的所有外力沿半径方向和垂直于半径方向分解后，所有在半径方向上的合力就是向心力。
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幻灯片 10 (1)火车转弯问题
在平直轨道上匀速行驶的火车，所受合外力为零，在火车转弯时，什么力提
供向心力呢？在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由
重力和弹力的合力提供。若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压
力提供，而这样对车轨会造成损坏。车速大时，容易出事故。
设车轨间距为L，两轨高度差为h，车转弯半径为R，质量为M的火车运行时
应当有多大的速度？
根据三角形边角关系知sin=h/L，对火车的受力情况分析得tan=F/(Mg)。
因为角很小，所以sin≈tan，故h/L=F/(Mg)，所以向心力F=h/LMg，又因
为F=Mv2/R，所以车速 。
由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：
(2)圆锥摆
圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动，此类模型的特点是：①运动特点：物体做匀速圆周运动，物体做圆周运动的圆心在水平面内；②受力特点：物体所受的重力与弹力(拉力或支持力)的合力充当向心力，合力的方向是水平指向圆心的。
解此类题的关键是准确找出圆心，求出圆周运动的半径，利用合成分解法或正交分解法列牛顿定律方程求解。
2.水平面内的圆周运动
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幻灯片 11【例3】如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0 m，MPQ是一半径为R=1.6 m的
半圆，QOM在同一竖直线上，在恒力F作用下，质量m=1 kg的物
体A由静止开始运动，当达到M时立即停止用力。欲使A刚好能通
过Q点，则力F大小为多少？
(1) 正确理解A物体“刚好能通过Q点”的含义是解决本题的关键。常用来表达临界状态的词语还有“恰好”“恰能”“至少”“至多”等，同学们在审题时必须高度注意。小球沿圆弧M→P→Q通过最高点Q时，应从圆周运动的规律，即应从向心力与线速度的关系求解小球经过Q点的临界速度。
(2)圆周运动常与机械能守恒定律、动能定理、电荷在磁场中的偏转等知识相联系，构成综合性较强的题目。
【解析】物体A经过Q点时，其受力情况如图所示。
由牛顿第二定律得
mg+FN=mv2/R
物体A刚好过Q点时有
FN=0
解得v= =4 m/s
对物体从L到Q的全过程，由动能定理得
FxLM-2mgR=(1/2)mv2
解得F=8 N
【答案】8 N
竖直平面内的圆周运动
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幻灯片 12【答案】(3/5) L
一质量为m的金属小球拴在长为L的细线下端，细线上端固定在O点处，在悬点O的正下方P处钉有一光滑钉子，如图所示。现将小球拉至悬线水平，然后释放。为使悬线碰到钉子后，小球能绕钉子在竖直平面内做完整的圆周运动，则OP的最小距离是多少？
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幻灯片 13【例4】如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′
转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒
内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的
小物块。求：
(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和
支持力的大小；
(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。
水平面内的圆周运动
【答案】(1) mgH/ mgR/ (2) /R
【解析】(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得
摩擦力的大小f=mgsin=mgH/
支持力的大小FN=mgcos=mgR/
(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为，有
mgtan=m2R/2
由几何关系得tan=H/R
联立以上各式解得= /R。
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幻灯片 14【答案】 (1)3.65 rad/s
(2)4 rad/s
(3)A随圆盘一起匀速转动，B离心运动
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置着两个用细线相连的小物体A、B，它们的质量均为m，它们到转轴距离分别为rA=20 cm，rB=30 cm，A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：(g取10 m/s2)
(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度0；
(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度；
(3)当A物体即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？
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