数学
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数学能力训练（51）
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一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A．sinθ<0，cosθ>0 B．sinθ>0，cosθ<0
C．sinθ>0，cosθ>0 D．sinθ<0，cosθ<0
解析：sin(θ＋π)<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.
∵cos(θ－π)>0，∴－cosθ>0.∴cosθ<0.
答案：B
2．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
解析：当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2.
答案：C
3．已知f(α)＝，则f(－π)的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：∵f(α)＝＝－cosα，
∴f(－π)＝－cos(－π)＝－cos(10π＋)
＝－cos＝－.
答案：C
4．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：sin2θ＋sinθ·cosθ－2cos2θ
＝＝，
又tanθ＝2，故原式＝＝.
答案：D
5．已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，
sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝＝.
答案：B
6．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α、β、a、b均为非零实数，若f(2010)＝－1，则f(2011)等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由诱导公式知f(2010)＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2011)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)
＝－(asinα＋bcosβ)＝1.
答案：C
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．若＝2，则sin(θ－5π)sin(－θ)＝________.
解析：由＝2，得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，
两边平方得：1＋2sinθcosθ＝4(1－2sinθcosθ)，
故sinθcosθ＝，
∴sin(θ－5π)sin(－θ)＝sinθcosθ＝.
答案：
8.＝________.
解析：＝
＝＝1.
答案：1
9．已知α∈(，)，tan(α－7π)＝－，则sinα＋cosα的值为________．
解析：tan(α－7π)＝tanα＝－，∴α∈(，π)，sinα＝，cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－.
答案：－
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知sin(π－α)·cos(－8π－α)＝，且α∈(，)，试求sinα和cosα的值．
解：由sin(π－α)·cos(－8π－α)＝
得sinα·cosα＝，
∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝.
(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－＝.
又α∈(，)，∴sinα＋cosα＝，sinα－cosα＝，
∴sinα＝，cosα＝.
11．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，
求.
解：原式＝＝－＝－tan2α.
解方程5x2－7x－6＝0得
sinα＝－或sinα＝2(舍去)，
又tan2α＝＝＝，
∴原式＝－.
12．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域和最小正周期；
(2)若f(x)＝2f′(x)，求的值．
解：(1)∵f′(x)＝cosx－sinx，
∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)
＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx
＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋)，
函数F(x)的值域为[1－，1＋]，
最小正周期为T＝＝π.
(2)∵f(x)＝2f′(x)?sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，
∴cosx＝3sinx?tanx＝，
∴＝
＝＝＝.
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