1.问题：①三种不同的容器中分别装有同一型号的零件400个、200个、150个，现在要从这750个零件中抽取一个容量为50的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．
方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．
其中问题与方法能配对的是( )
A．①Ⅰ，②Ⅱ B．①Ⅲ，②Ⅰ
C．①Ⅱ，②Ⅰ D．①Ⅲ，②Ⅱ
[答案] C
[解析] ①容器与抽取的样本无关，且总体数比较大，故可用系统抽样来抽取样本，②总体与样本都较少，可用随机抽样法．故选C.
2．(2013·安徽省安庆二中第一学期段考)某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
A.24 B．18 C．16 D．12
[答案] C
[解析] 由条件知，二年级女生有2000×0.19＝380名，
∴三年级有学生2000－(373＋377＋380＋370)＝500名，
由分层抽样定义知，在三年级应抽取500×＝16名．
3．(2012·浙江嘉兴基础测试)一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种情况，决定采取分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 本题主要考查分层抽样的特点．据题意管理人员这一层中每个个体被抽到的概率等于从总体中抽取10个样本每个个体被抽取的概率，即其概率为＝.
4．(文)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
[答案] B
[解析] 根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为＝12，故抽取的号码构成以3为首项，公差为12的等差数列．在第Ⅰ营区001～300号恰好有25组，故抽取25人，在第Ⅱ营区301～495号有195人，共有16组多3人，因为抽取的第一个数是3，所以Ⅱ营区共抽取17人，剩余50－25－17＝8人需从Ⅲ营区抽取．
(理)(2012·山东理，4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7 B．9
C．10 D．15
[答案] C
[解析] 采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即l＝30，第k组的号码为(k－1)30＋9，令451≤(k－1)30＋9≤750，而k∈Z，解得16≤k≤25，则满足16≤k≤25的整数k有10个．
5．(文)(2011·安徽名校联考)某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知3个区人口数之比为235，如果最多的一个区抽出的个体数是60，则这个样本的容量＝( )
A．96 B．120
C．180 D．240
[答案] B
[解析] 设样本容量为n，则＝，
∴n＝120.
(理)(2012·大连部分中学联考)某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由分层抽样知，在普通职员中抽30人，中级管理人员抽8人，高级管理人员中抽2人．由古典概型知，所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为，选C.
6．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格．由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是( )
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1300
样本容量(件)
130
A.900件 B．800件
C．90件 D．80件
[答案] B
[解析] 设A、C产品数量分别为x件、y件，则由题意可得：∴∴
故选B.
7．一个总体分为A、B两层，其个体数之比为41，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是________．
[答案] 40
[解析] 设x、y分别表示A、B两层的个体数，由题设易知B层中应抽取的个体数为2，
∴＝，解得y＝8或y＝－7(舍去)，∵xy＝41，∴x＝32，x＋y＝40.
8．(2011·安徽皖南八校联考)某班有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，……，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．
[答案] 37
[解析] 组距为5，(8－3)×5＋12＝37.
9．(2011·蚌埠二中质检)某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是[96,106]，若样本中净重在[96,100)的产品个数是24，则样本中净重在[98,104)的产品个数是________．
[答案] 60
[解析] 设样本容量为x，则x·(0.05＋0.1)×2＝24，∴x＝80，∴样本中净重在[98,104)的产品个数是x·(0.1＋0.15＋0.125)×2＝80×0.375×2＝60.
10．(文)(2011·北京石景山测试)为预防甲型H1N1病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
A组
B组
C组
疫苗有效
673
x
y
疫苗无效
77
90
z
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？
(3)已知y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．
[解析] (1)∵在全体样本中随机抽取1个，抽取B组疫苗有效的概率约为其频率，即＝0.33，
∴x＝660.
(2)C组样本个数为y＋z＝2000－(673＋77＋660＋90)＝500，
现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，则应在C组抽取个数为×500＝90.
(3)设测试不能通过的事件为A，C组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y，z)，由(2)知y＋z＝500，且y，z∈N，所有基本事件有：(465,35)，(466,34)，(467,33)，(468,32)，(469,31)，(470,30)共6个，
若测试不能通过，则77＋90＋z>2000×(1－0.9)，即z>33，
事件A包含的基本事件有：(465,35)，(466,34)共2个，∴P(A)＝＝，故不能通过测试的概率为.
(理)有关部门要了解地震预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A、B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分为5、8、9、9、9；B班5名学生得分为6、7、8、9、10.
(1)请你估计A、B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；
(2)如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．
[解析] (1)∵A班的5名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8，方差s＝[(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2]＝2.4；
B班的5名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8，方差s＝[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2.
∴s>s.
∴B班的预防知识的问卷得分要稳定一些．
(2)从B班5名同学中用简单随机抽样方法抽取容量为2的样本共有不同抽法有10种，∵总体平均数为＝×(6＋7＋8＋9＋10)＝8，∴其中样本6和7,6和8,8和10,9和10的平均数满足条件，故所求的概率为＝.
能力拓展提升
11.(2011·北京东城模拟)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．
①采用简单随机抽样法：抽签取出20个样本；
②采用系统抽样法：将零件编号为00,01，……，99，然后平均分20组抽取20个样本；
③采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中共抽取20个样本．
下列说法正确的是( )
A．无论采用哪种方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等
B．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等；③并非如此
C．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率都相等；②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的
[答案] A
12．(2011·深圳模拟)某学校在校学生2000人，为了迎接“2010年广州亚运会”，学校举行了“迎亚运”跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
其中abc＝253，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参与跑步的学生中应抽取( )
A．15人 B．30人
C．40人 D．45人
[答案] D
[解析] 由题意，全校参与跑步的人数占总人数的，高三年级参与跑步的人数为×2000×＝450，由分层抽样的概念知，高三年级参与跑步的学生中应抽取×450＝45人，故选D.
13．(文)(2011·九江二模)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )
A．800 B．1000
C．1200 D．1500
[答案] C
[解析] 因为a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，
∴＝b，∴第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1200双皮靴．
(理)
某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16、0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为( )
A．480 B．440
C．420 D．400
[答案] D
[解析] 设第一、第二、第三小组的频率构成的等比数列公比为q，第三、第四、第五、第六小组的频率构成的等差数列公差为d，则由题意知
即
消去d得，16q2＋8q－35＝0.
∵q>0，∴q＝.
∴第三组的频率P＝0.16q2＝0.25.
设男生总数为x，则x×25%＝100，∴x＝400.
14．(2012·浙江文，11)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．
[答案] 160
[解析] 本题考查了分层抽样的特点，因抽样比为＝，所以样本中男生数应为560×＝160.
分层抽样是按比例抽取，一定要先找出抽样比．
15．(2011·西安模拟)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
[解析] (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为＝，所以从A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)记从A区抽取的两个工厂为A1、A2，从B区抽取的三个工厂为B1、B2、B3，从C区抽取的两个工厂为C1、C2，从这七个工厂中随机抽取两个，基本事件空间
Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}中共有21个基本事件，其中事件A＝“这两个工厂中至少有一个来自A区”中含有11个基本事件，∴P(A)＝.
16．(2011·安徽淮南一模)某中学的高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项试验，方法是先从小组里选出1名同学做试验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
(3)试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70, 72,74，请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由．
[解析] (1)P＝＝，∴某同学被抽到的概率为.
设有x名男同学，则＝，∴x＝3.
∴男、女同学的人数分别为3,1.
(2)把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，用(x，y)记录第一次抽到学生编码为x，第二次抽到学生编码为y，则选取两名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种，其中有一名女同学的有6种，[]
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
P＝＝.
(3)1＝＝71，
2＝＝71，
s＝＝4，
s＝＝3.2.
第二位同学的试验更稳定．
1．为了检查某超市货架上的奶粉中维生素的含量，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )
A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32
C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47
[答案] D
[解析] 由系统抽样的概念知，抽样间距应为＝10，故选D.
2．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A．13 B．19
C．20 D．51
[答案] C
[解析] 由系统抽样的原理知抽样的间隔为＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，从而可知选C.
3．做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是( )
A．30份 B．35份
C．40份 D．65份
[答案] C
[解析] 由条件可设从A、B、C、D四个单位回收问卷数依次为20－d,20,20＋d,20＋2d，则(20－d)＋20＋(20＋d)＋(20＋2d)＝100，∴d＝10，
∴D单位回收问卷20＋2d＝40份．
4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在(2500,3000)(元)月收入段应抽出的人数为( )
A．25 B．30
C．35 D．40
[答案] A
[解析] 抽出的人数为：0.0005×500×100＝25，选A.
5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，若想在这n个人中抽取50个人，则在[50,60)之间应抽取的人数为( )
A．10 B．15
C．25 D．30
[答案] B
[解析] 根据频率分布直方图得总人数
n＝＝100，依题意知，应采取分层抽样，再根据分层抽样的特点，则在[50,60)之间应抽取的人数为50×＝15.
6．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都是，则总体中的个体数为________．
[答案] 240
[解析] 由分层抽样的定义知，B层中每个个体与总体中每个个体被抽到的机会相等，故总体中的个体数为20÷＝240.
7．(2012·河南郑州市质检)郑州市某学校为了促进教师业务能力的提升，决定组织部分学科教师参加市达标课活动，规定用分层抽样的方法，先从语文、英语、政治、历史、地理学科中抽取部分教师参加，各学科教师人数分布表如下：
学科
语文
英语
政治
历史
地理
人数
24
24
15
12
9
抽取人数
8
8
a
b
c
(1)求a，b，c的值；
(2)若要在历史和地理学科已抽取的教师中，随机选取两名教师参加市教学技能竞赛，求抽取的两位教师全是历史教师的概率．
[解析] (1)因为语文、英语、政治、历史、地理这5个学科的总人数之比为88543，所以按照分层抽样各学科抽取的教师人数分别为8人、8人、5人、4人、3人．
故a＝5，b＝4，c＝3.
(2)设历史教师分别记为x1、x2、x3、x4，地理教师分别记为y1、y2、y3，
则抽取两位教师可以是(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x3，y1)，(x3，y2)，(x3，y3)，(x4，y1)，(x4，y2)，(x4，y3)，(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，x4)，(x2，x3)，(x2，x4)，(x3，x4)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y2，y3)，共21种情况；
抽取的两位教师全是历史教师有(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，x4)，(x2，x3)，(x2，x4)，(x3，x4)，共6种情况．
所以抽取的两位教师全是历史教师的概率为＝.
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