1.(文)(2011·长沙调研)甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么( )
A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
[答案] B
[解析] ∵互斥事件一定是对立事件，∴甲?乙，但对立不一定互斥，∴乙?/ 甲，故选B.
(理)袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个
①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是对立事件的为( )
A．① B．② C．③ D．④
[答案] B
[解析] ∵“至少一个白球”和“全是黑球”不可能同时发生，且必有一个发生．
2．(文)甲、乙两人随意入住两个房间，则甲乙两人恰住在同一间房的概率为( )
A. B. C. D． 1
[答案] B
[解析] 将两个房间编号为(1,2)，则所有可能入住方法有：甲住1号房，乙住2号房，甲住2号房，乙住1号房，甲、乙都住1号房，甲、乙都住2号房，共4种等可能的结果，其中甲、乙恰住在同一房间的情形有2种，
∴所求概率P＝.
(理)从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘，积是偶数的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 所有可能取法有{(1,3)，(1,6)，(1,8)，(3,6)，(3,8)，(6,8)}，只有(1,3)构不成积是偶数，
∴P＝，故选A.
3．(2012·皖南八校第三次联考)某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 记4听合格的饮料分别为A1、A2、A3、A4,2听不合格的饮料分别为B1、B2，则从中随机抽取2听有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9种，故所求概率为P＝＝，选B.
4．(文)(2011·安徽“江南十校”联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间有来自A大学2名和B大学4名的大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 若这2名大学生来自两所大学，则P1＝＝；若这2名大学生均来自A大学，则P2＝.故至少有一名A大学生志愿者的概率是＋＝.
[点评] 由对立事件概率公式知，有另解P＝1－＝.
(理)(2012·山西联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则α∈(0，)的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 依题意得，连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，可得到的向量a＝(m，n)共有6×6＝36个，由向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈(0，)得nn与ma，满足题意的b>a共有15种情况，又易知将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b的基本情况共有36种，因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为P＝＝.
(理)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx－y＝0，若m在集合{1, 2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数，则双曲线的离心率大于3的概率是________．
[答案]
[解析] e>3，即>3，∴>9，
∴>2，即m>2，
∴m可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p＝.
10．(2012·河南六市模拟)某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[50,60)，第二组[60,70)，…，第五组[90,100]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
(2)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“|m－n|>10”的概率．
[解析] (1)由直方图知，成绩在[60,80)内的人数为50×10×(0.018＋0.040)＝29，所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．
(2)由直方图知，成绩在[50,60)的人数为50×10×0.004＝2，设成绩为x、y；成绩在[90,100]的人数为50×10×0.006＝3，设成绩为a、b、c，
若m，n∈[50,60)，则只有xy一种情况．
若m，n∈[90,100]，则有ab，bc，ac三种情况，
若m，n分别在[50,60)和[90,100]内，则有
a b c
x xa xb xc 共6种情况．
y ya yb yc
所以基本事件总数为10种，事件“|m－n|>10”所包含的基本事件有6种，
∴P(|m－n|>10)＝＝.
[点评] (1)在频率分布直方图中，组距是一个固定值，各矩形面积和为1；(2)通过频率分布直方图的识读获取信息是解决这一类问题的关键.
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11.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 甲＝＝90，乙＝.由甲>乙，得x<96，故被污损的数字可能是0,1，…，5，共6个数字，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＝.
12．(文)(2011·滨州月考)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P(m，n)落在直线x＋y＝5下方的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 试验是连续掷两次骰子．故共包含6×6＝36个基本事件．事件“点P(m，n)落在直线x＋y＝5下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件，故P＝＝.
(理)(2012·河南质量调研)在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由已知a、b在区间[0,1]上，所以f ′(x)＝x2＋a≥0，函数f(x)在[－1,1]内是增函数，
∵f(x)在[－1,1]上有且仅有一个零点，
∴即
在坐标平面aOb中，画出不等式组与不等式组表示的平面区域，易知，这两个不等式组表示的平面区域的公共区域的面积等于12－×(1－)×＝，而不等式组表示的平面区域的面积为1，因此所求的概率等于，选A.
13．(2012·龙岩质检)若在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则1∈{x|2x2＋ax－a2>0}的概率为________．
[答案]
[解析] ∵1∈{x|2x2＋ax－a2>0}，∴a2－a－2<0，
∴－12a.
∵a，b∈{1,2,3,4,5,6}，
∴基本事件总数共有36种．
满足b>2a的有(1,3)，(1,4)，(1,5)， (1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，∴P＝＝，
即直线l1与l2交点在第一象限的概率为.
16．(文)已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．
(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；
(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．
[解析] 由于实数对(a，b)的所有取值为：
(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)共16种．
(1)设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为事件A
若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足a≥0，b≥0，则事件A包含4个基本事件，
∴P(A)＝＝，
∴直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为.
(2)设“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为事件B，则需满足≤1，即b2≤a2＋1，
∴事件B包含12个基本事件，∴P(B)＝＝，
∴直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为.
(理)(2011·山东聊城模拟)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．
(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
(2)分别统计这10名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(3)在(2)的条件下，从这10名职工的体重不轻于73kg(≥73kg)的职工中随机抽取2名，求体重为76kg的职工被抽取到的概率．
[解析] (1)由题意，第5组抽出的号码为22.
因为2＋5×(5－1)＝22，
所以第1组抽出的号码为2，抽出的10名职工的号码分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.
(2)因为10名职工的平均体重为
＝(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)
＝71
所以样本方差为：
s2＝(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)
＝52.
(3)解法1：从10名职工中的体重不轻于73kg的职工中随机抽取2名，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
设A表示“抽到体重为76kg的职工”，则A包含的基本事件有4个：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，
故所求概率为P(A)＝＝.
解法2：10名职工中，体重不轻于73kg的职工有5名，从中任取2名有C＝10种不同取法，其中体重76kg的职工被抽到的有4种取法，∴所求概率P＝＝.
1．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为，那么参加这次联欢会的教师共有( )
A．360人 B．240人
C．144人 D．120人
[答案] D
[解析] 设到会男教师x人，则女教师为x＋12人，由条件知，＝，∴x＝54，∴2x＋12＝120，故选D.
2．(2011·温州八校期末)已知α、β、γ是不重合平面，a、b是不重合的直线，下列说法正确的是( )
A．“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件
B．“若a∥b，a?α，则b∥α”是必然事件
C． “若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件
D．“若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件
[答案] D
[解析] ?b⊥α，故A错；?b∥α或b?α，故B错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D为真命题．
3．(2011·奉贤区检测)在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 因为文艺书只有2本，所以选取的3本书中必有科技书，这样问题就等价于求选取的3本书中有文艺书的概率．设4本不同的科技书为a，b，c，d,2本不同的文艺书为e，f，则从这6本书中任选3本的可能情况有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种，记“选取的3本书中有文艺书”为事件A，则事件包含的可能情况有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，共4种，
故P(A)＝1－P()＝1－＝.
4．已知a、b、c为集合A＝{1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，如下框图给出的一个算法运行后输出一个整数a，则输出的数a＝5的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为5，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为5的概率，∴P＝＝.
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