1.(2011·北京模拟)(x2－)n的展开式中，常数项为15，则n＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
[答案] D
[解析] Tr＋1＝C(x2)n－r·(－)r
＝(－1)r·Cx2n－3r，令2n－3r＝0得，r＝，
∴n能被3整除，结合选项，当n＝3时，r＝2，此时常数项为(－1)2·C＝3，不合题意，当n＝6时，r＝4，常数项为(－1)4C＝15，∴选D.
2．(2012·东北三校二模)在(＋)30的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )
A．4项 B．5项
C．6项 D．7项
[答案] C
[解析] 展开式的通项Tr＋1＝C()30－r·()r＝Cx，∵是整数，0≤r≤30，且90能被 6整除，
∴r能被6整除，∴r＝0,6,12,18,24,30时，x的幂指数是整数，故选C.
3．(2012·湖北，5)设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1
C．11 D．12
[答案] A
[解析] 本题考查二项展开式的应用．
512012＝(52－1)2012＝C522012－C522011＋C522010＋…＋C×52×(－1)2011＋C×(－1) 2012，若想被13整除需加12，∴a＝12.
4．(2012·天津理，5)在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10 C．40 D．－40
[答案] D
[解析] 本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力．
(2x2－)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x2)5－r(－)r＝C25－r(－1)rx10－3 r，令10-3r＝1得， r＝3，
∴T4＝C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.
[点评] 把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误．
5．(2012·陕西礼泉一中期末)在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )
A．第11项 B．第13项
C．第18项 D．第20项
[答案] D
[解析] (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数为C＋C＋C＝C＋C＋C＝5＋＋＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，n＝20，故选D.
6．(2011·河北石家庄一模)多项式x10＝a0＋a1(x－1)＋a2·(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为( )
A．10 B．45 C．－9 D．－45
[答案] B
[解析] x10＝[1＋(x－1)]10＝1＋C(x－1)＋C(x－1)2＋…＋C(x－1)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10对任意实数x都成立，∴a8＝C＝C＝45.
7．(2012·河南商丘市模拟)二项式(1＋sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为 ，则x在[0,2π]内的值为________．
[答案] 或
[解析] 由题意得T4＝C·sin3x＝20sin3x＝，
∴sinx＝，∵x∈ [0,2π]，∴x＝或.
8．(2011·广东六校联考)若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________.
[答案] 256
[解析] (x－a)8的展开式的通项公式为
Tr＋1＝C·x8－r·(－a)r＝(－1)rC·ar·x8－r，
令8－r＝5，则r＝3，
于是a5＝(－1)3C·a3＝56，解得a＝－1，
即(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28＝256.
9．若6的二项展开式中，x3的系数为，则二项式系数最大的项为________．
[答案] x3
[解析] ∵Tr＋1＝C(x2)6－rr＝Ca－rx12－3r，
令12－3r＝3，得r＝3，∴Ca－3＝，解得a＝2.
故二项式系数最大的项为T4＝C(x2)3()3＝x3.
10．(2011·上海十三校第二次联考)在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________.
[答案] 3
[解析] 由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.
能力拓展提升
11.(2012·河南豫东、豫北十所名校联考)已知n＝∫e61dx，那么(x－)n展开式中含x2项的系数为( )
A．125 B．135 C．－135 D．－125
[答案] B
[解析]
12．(2012·山西六校模拟)若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是( )
A．(－∞，) B．[，＋∞)
C．(－∞，－] D．(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.依题意有，由此得，由此解得x>1，即x的取值范围是(1，＋∞)，选D.
13．(2011·安徽宣城模拟)在 (x－2)5(＋y)4的展开式中x3y2的系数为________．
[答案] 480
[解析] (x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－r(－2)r，
令5－r＝3得r＝2，得x3的系数C(－2)2＝40；
(＋y)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()4－ryr，
令r＝2得y2的系数C()2＝12，
于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480.
14．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________．
[答案] －15
[解析] 从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x4项，即－5x4－4x4－3x4－2x4－x4，所以x4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15.
15．(2011·安徽理，12)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
[答案] 0
[解析] a10＝C(－1)11＝－C，a11＝C(－1)10＝C，所以a10＋a11＝C－C＝C－C＝0.
16．已知数列{an}满足an＝n·2n－1(n∈N*)，是否存在等差数列{bn}，使an＝b1C＋b2C＋b3C＋…＋bnC对一切正整数n成立？并证明你的结论．
[解析] 假设等差数列{bn}使等式n·2n－1＝b1C＋b2C＋b3C＋…＋bnC对一切正整数n成立，
当n＝1时，得1＝b1C，∴b1＝1，当n＝2时，得4＝b1C＋b2C，∴b2＝2，当n＝3时，得12＝b1C＋b2C＋b3C，∴b3＝3，可猜想bn＝n时，n·2n－1＝C＋2C＋3C＋…＋nC.
∵kC＝k·
＝n·＝nC.
∴C＋2C＋3C＋…＋nC＝n(C＋C＋…＋C)＝n·2n－1.故存在等差数列{bn}(bn＝n)，使已知等式对一切n∈N*成立．
1．(2011·辽宁沈阳质检)若(3x－)n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为( )
A．－5 B．5
C．－405 D．405
[答案] C
[解析] 令x＝1得2n＝32，所以n＝5，
于是(3x－)5展开式的通项为
Tr＋1＝(－1)rC(3x)5－r()r＝(－1)rC35－rx5－2r，
令5－2r＝3，得r＝1，
于是展开式中含x3的项的系数为
(－1)1C34＝－405，故选C.
2．设(x2＋1)( 2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] A
[解析] 依题意，令x＋2＝1，等式右边为a0＋a1＋a2＋…＋a11.把x＝－1代入等式左边，得[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝2×(－1)9＝－2，即a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
3．已知6展开式中x6项的系数为60，其中a是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是________．
[答案] 1
[解析] 6展开式中的第r＋1项
Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝arCx12－3r，
令12－3r＝6得，r＝2，∴a2C＝60，∴a2＝4.
∵a<0，∴a＝－2，
令x＝1得展开式各项系数之和为6＝1.
4．将n(n∈N*)的展开式中x－4的系数记为an，则＋＋…＋＝________.
[答案]
[解析] 第r＋1项Tr＋1＝C·r
＝(－1)rCx－2r，令－2r＝－4，∴r＝2，
∴an＝(－1)2C＝，
∴＋＋…＋＝＋＋…＋
＝2×
＝2×＝.
5．(2012·沈阳市二模)若(－)n展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a的值是________．
[答案] ±1
[解析] 由条件知，2n＝1024，∴n＝10，二项展开式的通项Tr＋1＝C()10－r·(－)r＝(－a)r·C·x，令＝0得r＝2，∴常数项为T3＝(－a)2·C＝45a2＝45，∴a＝±1.
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