1.(2011·北京模拟)(x2-)n的展开式中,常数项为15,则n=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[答案] D
[解析] Tr+1=C(x2)n-r·(-)r
=(-1)r·Cx2n-3r,令2n-3r=0得,r=,
∴n能被3整除,结合选项,当n=3时,r=2,此时常数项为(-1)2·C=3,不合题意,当n=6时,r=4,常数项为(-1)4C=15,∴选D.
2.(2012·东北三校二模)在(+)30的展开式中,x的幂指数是整数的项共有( )
A.4项 B.5项
C.6项 D.7项
[答案] C
[解析] 展开式的通项Tr+1=C()30-r·()r=Cx,∵是整数,0≤r≤30,且90能被 6整除,
∴r能被6整除,∴r=0,6,12,18,24,30时,x的幂指数是整数,故选C.
3.(2012·湖北,5)设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a=( )
A.0 B.1
C.11 D.12
[答案] A
[解析] 本题考查二项展开式的应用.
512012=(52-1)2012=C522012-C522011+C522010+…+C×52×(-1)2011+C×(-1) 2012,若想被13整除需加12,∴a=12.
4.(2012·天津理,5)在(2x2-)5的二项展开式中,x的系数为( )
A.10 B.-10 C.40 D.-40
[答案] D
[解析] 本小题考查二项式展开式的系数求法,考查运算能力.
(2x2-)5的展开式的通项为Tr+1=C(2x2)5-r(-)r=C25-r(-1)rx10-3 r,令10-3r=1得, r=3,
∴T4=C22(-1)3x=-40x.∴x的系数是-40.
[点评] 把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误.
5.(2012·陕西礼泉一中期末)在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是首项为-2,公差为3的等差数列的( )
A.第11项 B.第13项
C.第18项 D.第20项
[答案] D
[解析] (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数为C+C+C=C+C+C=5++=55,以-2为首项,3为公差的等差数列的通项公式an=-2+3(n-1)=3n-5,令an=55,即3n-5=55,n=20,故选D.
6.(2011·河北石家庄一模)多项式x10=a0+a1(x-1)+a2·(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a8的值为( )
A.10 B.45 C.-9 D.-45
[答案] B
[解析] x10=[1+(x-1)]10=1+C(x-1)+C(x-1)2+…+C(x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10对任意实数x都成立,∴a8=C=C=45.
7.(2012·河南商丘市模拟)二项式(1+sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为 ,则x在[0,2π]内的值为________.
[答案] 或
[解析] 由题意得T4=C·sin3x=20sin3x=,
∴sinx=,∵x∈ [0,2π],∴x=或.
8.(2011·广东六校联考)若(x-a)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,且a5=56,则a0+a1+a2+…+a8=________.
[答案] 256
[解析] (x-a)8的展开式的通项公式为
Tr+1=C·x8-r·(-a)r=(-1)rC·ar·x8-r,
令8-r=5,则r=3,
于是a5=(-1)3C·a3=56,解得a=-1,
即(x+1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
令x=1得a0+a1+a2+…+a8=28=256.
9.若6的二项展开式中,x3的系数为,则二项式系数最大的项为________.
[答案] x3
[解析] ∵Tr+1=C(x2)6-rr=Ca-rx12-3r,
令12-3r=3,得r=3,∴Ca-3=,解得a=2.
故二项式系数最大的项为T4=C(x2)3()3=x3.
10.(2011·上海十三校第二次联考)在二项式(+)n的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则n=________.
[答案] 3
[解析] 由题意可知,B=2n,A=4n,由A+B=72,得4n+2n=72,∴2n=8,∴n=3.
能力拓展提升
11.(2012·河南豫东、豫北十所名校联考)已知n=∫e61dx,那么(x-)n展开式中含x2项的系数为( )
A.125 B.135 C.-135 D.-125
[答案] B
[解析]
12.(2012·山西六校模拟)若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是( )
A.(-∞,) B.[,+∞)
C.(-∞,-] D.(1,+∞)
[答案] D
[解析] 二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=C·x9-r·yr.依题意有,由此得,由此解得x>1,即x的取值范围是(1,+∞),选D.
13.(2011·安徽宣城模拟)在 (x-2)5(+y)4的展开式中x3y2的系数为________.
[答案] 480
[解析] (x-2)5的展开式的通项为Tr+1=Cx5-r(-2)r,
令5-r=3得r=2,得x3的系数C(-2)2=40;
(+y)4的展开式的通项公式为Tr+1=C()4-ryr,
令r=2得y2的系数C()2=12,
于是展开式中x3y2的系数为40×12=480.
14.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是________.
[答案] -15
[解析] 从4个因式中选取x,从余下的一个因式中选取常数,即构成x4项,即-5x4-4x4-3x4-2x4-x4,所以x4项的系数应是-1-2-3-4-5=-15.
15.(2011·安徽理,12)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则a10+a11=________.
[答案] 0
[解析] a10=C(-1)11=-C,a11=C(-1)10=C,所以a10+a11=C-C=C-C=0.
16.已知数列{an}满足an=n·2n-1(n∈N*),是否存在等差数列{bn},使an=b1C+b2C+b3C+…+bnC对一切正整数n成立?并证明你的结论.
[解析] 假设等差数列{bn}使等式n·2n-1=b1C+b2C+b3C+…+bnC对一切正整数n成立,
当n=1时,得1=b1C,∴b1=1,当n=2时,得4=b1C+b2C,∴b2=2,当n=3时,得12=b1C+b2C+b3C,∴b3=3,可猜想bn=n时,n·2n-1=C+2C+3C+…+nC.
∵kC=k·
=n·=nC.
∴C+2C+3C+…+nC=n(C+C+…+C)=n·2n-1.故存在等差数列{bn}(bn=n),使已知等式对一切n∈N*成立.
1.(2011·辽宁沈阳质检)若(3x-)n展开式中各项系数之和为32,则该展开式中含x3的项的系数为( )
A.-5 B.5
C.-405 D.405
[答案] C
[解析] 令x=1得2n=32,所以n=5,
于是(3x-)5展开式的通项为
Tr+1=(-1)rC(3x)5-r()r=(-1)rC35-rx5-2r,
令5-2r=3,得r=1,
于是展开式中含x3的项的系数为
(-1)1C34=-405,故选C.
2.设(x2+1)( 2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
[答案] A
[解析] 依题意,令x+2=1,等式右边为a0+a1+a2+…+a11.把x=-1代入等式左边,得[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=2×(-1)9=-2,即a0+a1+a2+…+a11=-2.
3.已知6展开式中x6项的系数为60,其中a是小于零的常数,则展开式中各项的系数之和是________.
[答案] 1
[解析] 6展开式中的第r+1项
Tr+1=C(x2)6-r·r=arCx12-3r,
令12-3r=6得,r=2,∴a2C=60,∴a2=4.
∵a<0,∴a=-2,
令x=1得展开式各项系数之和为6=1.
4.将n(n∈N*)的展开式中x-4的系数记为an,则++…+=________.
[答案]
[解析] 第r+1项Tr+1=C·r
=(-1)rCx-2r,令-2r=-4,∴r=2,
∴an=(-1)2C=,
∴++…+=++…+
=2×
=2×=.
5.(2012·沈阳市二模)若(-)n展开式中二项式系数之和是1024,常数项为45,则实数a的值是________.
[答案] ±1
[解析] 由条件知,2n=1024,∴n=10,二项展开式的通项Tr+1=C()10-r·(-)r=(-a)r·C·x,令=0得r=2,∴常数项为T3=(-a)2·C=45a2=45,∴a=±1.
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