1.(2011·安徽皖南八校联考)复数z满足z＝，则等于( )
A．1＋3i B．3－i
C.－i D.＋i
[答案] C
[解析] ∵z＝＝＝，
∴＝－i，故选C.
2．(2012·哈三中二模)已知复数z＝，则复平面内表示复数z的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] z＝＝＝，对应点为(－，)．
3．(文)(2013·武汉市部分学校12月联考)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] ∵(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni为纯虚数，
∴m2－n2＝0，∴m＝n，
(m，n)的所有可能取法有6×6＝36种，其中满足m＝n的取法有6种，
∴所求概率P＝＝.
(理)(2012·陕西理，3)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由ab＝0知a＝0或b＝0，当a＝0时，若b≠0，则复数a＋为纯虚数，否则a＋为实数，反之若a＋为纯虚数，则b≠0且a＝0，则ab＝0，故“ab＝0”是“a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
4．(2012·东北三校模拟)已知z＝1－i(i是虚数单位)，则＋z2＝( )
A．2 B．2i C．2＋4i D．2－4i
[答案] A
[解析] ∵z＝1－i，
∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝2.
5．(2012·洛阳市示范高中联考)已知＝2－i(是z的共轭复数)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵＝(1＋2i)(2－i)＝2＋4i－i＋2＝4＋3i，∴z＝4－3i在复平面内对应点(4，－3)位于第四象限．
6．(2011·温州八校期末)若i为虚数单位，已知a＋bi＝(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的关系为( )
A．在圆外 B．在圆上
C．在圆内 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵a＋bi＝＝
＝＋i(a，b∈R)，
∴，
∵2＋2＝>2，
∴点P在圆x2＋y2＝2外，故选A.
7．(2011·无为中学月考)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A、B、C.若＝x＋y，则x＋y的值是________．
[答案] 5
[解析] ∵＝x＋y，
∴(3－2i)＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴，解得，故x＋y＝5.
8．设i为虚数单位，复数z＝(3＋4i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，θ≠kπ＋，则tanθ的值为________．
[答案] －
[解析] ∵z＝(3＋4i)(cosθ＋isinθ)＝(3cosθ－4sinθ)＋(4cosθ＋3sinθ)i∈R，∴4cosθ＋3sinθ＝0，
∵θ≠kπ＋，∴cosθ≠0，∴tanθ＝－.
9．一个正四面体玩具，它的四个面上标有数字－1,0,1,2，连续抛掷两次，记第一次向下的面上数字为a，第二次向下的面上数字为b，设复数z＝a＋bi，则z的对应点在第二象限的概率为________．
[答案]
[解析] 若z＝a＋bi的对应点在第二象限，则a<0，b>0，这样的点有2个，即(－1,1)，(－1,2)，∴所求概率为P＝＝.
10．已知复数z＝＋(a2－5a＋6)i(a∈R)．试求实数a分别为什么值时，z分别为：
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
[解析] (1)当z为实数时，∴a＝3，
∴当a＝3时，z为实数．
(2)当z为虚数时，∴a≠2且a≠3，
故当a∈R，a≠2且a≠3时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，
∴a＝5，故a＝5时，z为纯虚数.
能力拓展提升
11. (文)(2011·东北四市统考)已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为( )
A.＋i B.＋i
C.－i D.－i
[答案] A
[解析] z1·z2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin37°cos23°＋cos37°sin23°)i＝cos60°＋i·sin60°＝＋i，故选A.
(理)若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴.
∴2θ＝2kπ＋π (k∈Z)，
∴θ＝kπ＋.令k＝0知，D正确．
12．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( )
A．1 B．－1
C. D．－
[答案] B
[解析] ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，
∴由a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b＝0，
得m3＋1＝0，即m＝－1.
13．(2011·南通调研)若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________.
[答案]
[解析] ∵z＝－i＝－3i＋1－i＝1－4i，
∴|z|＝.
14．在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第______象限．
[答案] 三
[解析] ∵3π<10<，∴cos10<0，sin10<0，
∴z的对应点在第三象限．
15．(文)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当实数m取何值时．
(1)z是纯虚数．
(2)z是实数．
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
[解析] (1)由题意知
解得m＝3.所以当m＝3时，z是纯虚数．
(2)由m2＋3m＋2＝0，得m＝－1或m＝－2，
又m＝－1或m＝－2时，m2－2m－2>0，
所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．
(3)由
解得：－10(m，n，p∈R)的解集为区间(－，2)，则复数m＋ni所对应的点位于复平面内的第________象限．
[答案] 三
[解析] ∵mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－，2)，
∴∵m<0，∴p>0，n<0.
故复数m＋ni所对应的点位于复平面内的第三象限．
8．(2011·上海文，19)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
[解析] 设z1＝(a＋2)＋bi，a，b∈R，
∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴a－b＋(b＋a)i＝1－i.
∴∴∴z1＝2－i.
又设z2＝c＋2i，c∈R，则z1z2＝(2－i)(c＋2i)＝(2c＋2)＋(4－c)i，
∵z1z2∈R，∴4－c＝0，c＝4，∴z2＝4＋2i.
【点此下载】