1.如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是6cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3 cm，则BC的长为( )
A．12cm B．21cm
C．18cm D．15cm
[答案] B
[解析] ∵四边形DEFG是正方形，∴∠GDB＝∠FEC＝90°，GD＝DE＝EF＝6 cm，又∵∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴∠C＝∠BGD，∴△BGD△FCE，
∴＝，即BD＝＝12cm，
∴BC＝BD＋DE＋EC＝21cm.
2．(文)如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] ∵DE∥BC，∴△ADE△ABC，
∴＝2，
∵＝2，∴＝，∴S△ADE＝S△ABC，
∴S四边形DEBC＝S△ABC，
∴＝，故选C.
(理)如图所示，在?ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM－DN＝( )
A．6 B．3 C．2 D．4
[答案] A
[解析] ∵E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，
∴M为BC的中点，连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，
∴BM－DN＝12－6＝6，故选A.
3．(2012·天津十二校联考)如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD＝2，BD＝4，则EA＝( )
A．4 B.
C．3 D.
[答案] B
[解析] 根据题意可得BC2＝CD2＋BD2＝22＋42＝20，即BC＝2.由射影定理得BC2＝AB·BD，即20＝4AB，解得AB＝5，所以AC＝＝，设EA＝x，EC＝y，根据切割线定理可得x2＝y(y＋2)，即x2＝y2＋2y，在Rt△ACE中，x2＝y2＋()2，故2y＝5，解得y＝，故x2＝＋5＝，得x＝，即EA＝.
4.如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处，则折痕FG的长为( )
A．13 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 过点A作AH∥FG交DG于H，则四边形AFGH为平行四边形．∴AH＝FG.
∵折叠后B点与E点重合，折痕为FG，
∴B与E关于FG对称．∴BE⊥FG，∴BE⊥AH.
∴∠ABE＝∠DAH，∴Rt△ABERt△DAH.
∴＝.∵AB＝12，AD＝10，AE＝AD＝5，
∴BE＝＝13，∴FG＝AH＝＝.
5．(文)如图，⊙O与⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N，MN＝3，NQ＝15，则PN＝( )
A．3 B.
C．3 D．3
[答案] D
[解析] 由切割线定理知：
PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，∴PN＝3.
(理)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q，若∠BTC＝120°，AB＝4，则PQ·PB＝( )
A．2 B．3
C. D．2
[答案] B
[解析] 连接OC、AC，则OC⊥PC，
则O、C、T、B四点共圆，
∵∠BTC＝120°，∴∠COB＝60°，
故∠AOC＝120°.
由AO＝OC＝2知AC＝2，
在Rt△APC中，
∠ACP＝∠AOC＝60°，
因此PC＝.根据切割线定理得PQ·PB＝PC2＝3.
6．两个相似三角形，面积分别为16cm2和49cm2，它们的周长相差6cm，则较大三角形的周长为( )
A．21cm B．2cm
C．14cm D.cm
[答案] C
[解析] 由相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比知，周长之比为：＝，设周长分别为7x和4x，则7x－4x＝6，∴x＝2，
∴较大三角形的周长为14cm.
7．(文)(2011·西安质检)如图是某高速公路一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10m，净高CD＝7m，则此圆的半径OA＝________m.
[答案]
[解析] 设⊙O的半径为R，则在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即R2＝()2＋(7－R)2，解得R＝m.
(理)(2011·深圳调研)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，已知AD＝2，CB＝4，则CD＝________.
[答案] 2
[解析] 根据射影定理得CB2＝BD×BA，即(4)2＝BD(BD＋2)，得BD＝6，又CD2＝AD×BD＝12，
所以CD＝＝2.
8．(文)(2012·湖南理，11)如下图，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．
[答案]
[解析] 设圆半径为r，
由割线定理：PA·PB＝(3－r)·(3＋r)，
即1×3＝9－r2，r2＝6，∴r＝.
(理)(2011·北京西城区模拟)如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝2，PC＝4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为________．
[答案] 2
[解析] 设圆O的半径为R.依题意得PA2＝PB·PC，
∴PB＝＝2，BC＝PC－PB＝2，
∴R＝＝2，即圆O的半径为2.
9．(2012·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，则BC＝________.
[答案]
[解析] 连接AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD＝30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝.
10．(2011·杭州市高三联考)如图，圆O的直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，AH＝2.
(1)求DE的长；
(2)延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC＝2，求PD的长．
[解析] (1)连接AD，DB，由于AB为圆O的直径，
∴AD⊥DB.
又AB⊥DE，DH＝HE，
∴DH2＝AH×BH＝2×(10－2)＝16，
DH＝4，DE＝8.
(2)PC切圆O于点C，PC2＝PD×PE，
∴(2)2＝PD(PD＋8)，∴PD＝2.
能力拓展提升
11.(文)(2011·佛山质检)如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝a，∠OAP＝30°，则CP＝________.
[答案]
[解析] 因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB.在Rt△OPA中，BP＝AP＝acos30°＝a.由相交弦定理知，BP·AP＝CP·DP，即a·a＝CP·a，所以CP＝a.
(理)(2012·广东理，15)如右图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
[答案]
[解析] 本题考查圆的相关知识，连结OA，则∠AOC＝60°，∵OA＝1，OA⊥PA，∴AP＝.
12．(文)(2012·天津，13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．
[答案]
[解析] 如图，由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC，
∴FC＝＝2，
∵FC∥BD，∴＝，BD＝＝.
又由切割线定理知BD2＝DC·DA，
又由DA＝4CD知4DC2＝BD2＝，∴DC＝.
明确相交弦定理、切割线定理等是解题的关键．
(理)(2011·惠州市模拟)如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O，已知PA＝6，AB＝，PO＝12，则⊙O的半径是________．
[答案] 8
[解析] 设⊙O的半径是R，∵PA·PB＝PC·PD＝(PO－R)(PO＋R)＝PO2－R2，
∴PA(PA＋AB)＝PO2－R2，
将PA＝6，AB＝，PO＝12代入得R＝8.
13．(文)(2012·湖北理，15)如下图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．
[答案] 2
[解析] 本题考查圆的性质及勾股定理，∵CD⊥OD，∴OC2＝OD2＋CD2，当OD最小时，CD最大，而OE最小(E为AB的中点)，∴CDmax＝EB＝2.
(理)(2012·广州测试)如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使BC＝2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD、BD，则的值为________．
[答案]
[解析] 连接OD，则OD⊥CD.设圆O的半径为r，则OA＝OB＝OD＝r，BC＝2r.所以OC＝3r，CD＝＝2r.由弦切角定理得，∠CDB＝∠CAD，又∠DCB＝∠ACD，所以△CDB△CAD.所以＝＝＝.
14．(文)如图以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边的中点．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)连结OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值．
[解析] (1)在△OBE与△ODE中，OB＝OD，OE＝OE.
∵E、O分别为BC、AB中点．
∴EO∥AC，∴∠EOB＝∠DAO，∠DOE＝∠ADO，
又∠OAD＝∠ADO，∴∠EOB＝∠DOE，
∴△OBE△ODE，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴ED是⊙O的切线．
(2)∠CAB＝45°，sin∠CAE＝.
(理)如图，已知过△ABC顶点A的直线交BC的延长线于D，交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC，且FB＝FC.
(1)求证：AD平分∠EAC；
(2)若AB是△ABC的外接圆的直径，AD＝4，∠EAC＝120°，求BC的长．
[解析] (1)因为FB＝FC，所以∠FBC＝∠FCB，因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC，又因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB.
所以∠EAD＝∠CAD，所以AD平分∠EAC.
(2)因为AB是△ABC的外接圆的直径，所以∠ACD＝90°，因为∠EAC＝120°，所以∠DAC＝∠EAC＝60°，∠D＝30°，所以AC＝2，
在Rt△ACB中，因为∠BAC＝60°，
所以BC＝2tan60°＝6.
15．(文)(2011·山西太原模拟)如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.
[证明] 证法一：连结BE.
因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD.
又因为AD⊥l，所以BE∥l.
所以∠DCE＝∠CEB.
因为直线l是圆O的切线，
所以∠DCE＝∠CBE，
所以∠CBE＝∠CEB，所以CE＝CB.
证法二：连结AC，BE，在DC延长线上取一点F.
因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点．
所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.
又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°，
所以∠BCF＝∠DAC.
又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF.
又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB.
所以CE＝CB.
(理)如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是AB延长线上一点，且BD＝OB，直线MD与圆O相交于点M，T(不与A、B重合)，DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT.
(1)求证：DT·DM＝DO·DC；
(2)若∠DOT＝60°，试求∠BMC的大小．
[解析] (1)证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理得，DN2＝DT·DM，DN2＝DB·DA，
所以DT·DM＝DB·DA，设半径OB＝r(r>0)，
因BD＝OB，且BC＝OC＝，
则DB·DA＝r·3r＝3r2，DO·DC＝2r·＝3r2.
所以DT·DM＝DO·DC.
(2)由 (1)可知，DT·DM＝DO·DC，且∠TDO＝∠CDM，
故△DTO△DCM，所以∠DOT＝∠DMC.
根据圆周角定理得，∠DOT＝2∠DMB，则∠BMC＝30°.
16．(文)(2011·新课标全国文， 22)如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．
(1)证明：C，B，D，E四点共圆；
(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．
[解析] (1)连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，
即＝.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE△ACB.
因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．
(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5.
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.
(理)(2012·乌鲁木齐地区诊断)如图，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，D为⊙O上一点，AD、BC相交于点E.
(1)若AD＝AC，求证：AP∥CD；
(2)若F为CE上一点使得∠EDF＝∠P，已知EF＝1，EB＝2，PB＝4，求PA的长．
[解析] (1)∵PA是⊙O的切线，AD是弦，
∴∠PAD＝∠ACD.
∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠PAD＝∠ADC，
∴AP∥CD.
(2)∵∠EDF＝∠P，又∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF△PEA，有＝，
即EF·EP＝EA·ED.而AD、BC是⊙O的相交弦，
∴EC·EB＝EA·ED，
故EC·EB＝EF·EP，
∴EC＝＝＝3.
由切割线定理有PA2＝PB·PC＝4×(3＋2＋4)＝36，
∴PA＝6.
1．(2011·广东湛江高考调研)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，AC＝2，则AB＝________.
[答案] 10
[解析] 由射影定理知，AC2＝AD·AB，
所以AB＝＝10.
2．如图所示，已知AB为半⊙O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，BE交半圆于点F，AD＝3cm，BE＝7cm.(1)则⊙O的半径为________；(2)则线段DE的长为________．
[答案] 5cm 2cm
[解析] (1)连接OC.∵MN切半圆于点C，∴OC⊥MN.
∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴AD∥OC∥BE.
∵OA＝OB，∴CD＝CE.
∴OC＝(AD＋BE)＝5cm.
∴⊙O的半径为5cm.
(2)连接AF.∵AB为半⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°.∴∠AFE＝90°.
又∵∠ADE＝∠DEF＝90°，∴四边形ADEF为矩形．
∴DE＝AF，AD＝EF＝3cm.
在Rt△ABF中，BF＝BE－EF＝4cm，AB＝2OC＝10cm.
∴AF＝＝＝2，
∴DE＝2cm.
3．如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E.若PA＝2，∠APB＝30°，则AE＝________.
[答案]
[解析] ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，
在直角三角形PAO中，tan30°＝＝.∵PA＝2，
∴AO＝PA·＝2，即圆O的半径为r＝2，
同理sin30°＝＝，∴PO＝4.
∵D是OC的中点，∴OD＝DC＝1，从而BD＝BO＋OD＝2＋1＝3，PD＝PO＋OD＝4＋1＝5，
在三角形PAD中，由余弦定理得：AD2＝PA2＋PD2－2PA·PD·cos30°＝(2)2＋52－2×2×5×＝7，∴AD＝，再由相交弦定理得：AD·DE＝BD·DC，即·DE＝3×1＝3，DE＝，∴AE＝AD＋DE＝＋＝.
4．(2012·保定市调研)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使得CD＝AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE.
求证：(1)BE＝DE；
(2)∠D＝∠ACE.
[证明] (1)∵CD＝AC，∴∠D＝∠DAC，
又∠DAC＝∠EBC，∴∠D＝∠EBC，
∴BE＝DE.
(2)∵∠D＝∠DAC，∴∠ACB＝2∠DAC＝2∠D，
又∠DAC＝∠EBC，∴∠ACB＝2∠EBC，
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC.
∴∠ABE＝∠EBC，∠D＝∠ABE，
又∠ABE＝∠ACE，∴∠D＝∠ACE.
5．(2012·河北郑口中学模拟)如图，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B两点，直线AF交⊙O于F(不与B重合)，直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC.
求证：(1)∠BAC＝∠CAG；
(2)AC2＝AE·AF.
[证明] (1)连结BC，∵GC是⊙O的切线，
∴∠CBA＝∠ACG，
故在Rt△ACG和Rt△ABC中，∠GAC＝∠BAC.
(2)由(1)可知∠EAC＝∠CAF，连结CF，
又因为GE与⊙O相切于C，
所以∠GCF＝∠CAG＝∠EAC＝∠ECB，
所以∠AFC＝90°＋∠GCF＝90°＋∠ECB＝∠ACE.
所以△AFC△ACE，
所以＝.所以AC2＝AE·AF.
6．如图AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
[解析] 连结OD、BD.
因为AB是圆O的直径，
所以∠ADB＝90°，AB＝2OB，
因为DC是圆O的切线，
所以∠CDO＝90°.
又因为DA＝DC，所以∠A＝∠C，
于是△ADB△CDO，从而AB＝CO，即2OB＝OB＋BC，得OB＝BC.
故AB＝2BC.
7．如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE×CD.
[解析] (1)因为＝.所以∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC△ECB，故＝，
即BC2＝BE×CD.
8． (2012·山西联考)已知点C在⊙O的直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，CD是∠ACB的角平分线且交AE于点F，交AB于点D.
(1)求∠ADF的度数；
(2)若AB＝AC，求的值．
[解析] (1)∵AC是⊙O的切线，∴∠B＝∠EAC.
CD是∠ACB的角平分线，∴∠ACD＝∠DCB，
∴∠ACD＋∠EAC＝∠B＋∠DCB，得∠ADF＝∠AFD.
又∵∠BAE＝90°，∴∠ADF＝∠BAE＝45°.
(2)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB.
∴△ACB△ECA，∴AE＝EC，＝＝，
又∵∠ACE＋∠ABC＋∠CAE＋∠BAE＝180°，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∴在Rt△ABE中，＝＝tan30°＝.
9.(2012·郑州市质检)如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD、BE相交于点P，求证：
(1)四点P、D、C、E共圆；
(2)AP⊥CP.
[证明] (1)在△ABC中，由BD＝BC，CE＝AC，知：△ABD△BCE，
∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝π.
所以四点P、D、C、E共圆；
(2)如图，连结DE.
在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，
由正弦定理知∠CED＝90°.
由四点P、D、C、E共圆，知∠DPC＝∠DEC，
所以AP⊥CP.
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