2-1函数及其表示
1.(2011·浙江嘉兴一中模拟)设集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是( )
[答案] B
[解析] 函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A中x∈(0,2]时没有函数值，C中函数值不唯一，D中的值域不是N，所以选B.
2．(文)(2011·广州市综合测试)函数y＝的定义域为集合A，函数y＝ln(2x＋1)的定义域为集合B，则A∩B等于( )
A．(－，] B．(－，)
C．(－∞，－) D．[，＋∞)
[答案] A
[解析] 由得∴－0＝log0.51，∴0<4x－3<1，
∴0时 2a＝－2不成立．当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.
5．(文)(2010·广东六校)设函数f(x)＝则满足f(x)＝4的x的值是( )
A．2 B．16
C．2或16 D．－2或16
[答案] C
[解析] 当f(x)＝2x时.2x＝4，解得x＝2.
当f(x)＝log2x时，log2x＝4，解得x＝16.
∴x＝2或16.故选C.
(理)设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(10，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－1,10)
D．(0,10)
[答案] A
[解析] 由或?x0<0或x0>10.
6．(2012·山东聊城市质检)具有性质f()＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．只有①
[答案] B
[解析] ①f()＝－x＝－f(x)满足．
②f()＝＋x＝f(x)不满足．
③01时，f()＝＝－f(x)满足．故选B.
7．(文)(2011·济南模拟)已知函数f(x)＝，则f(x)＋f()＝________.
[答案] 0
[解析] ∵f()＝＝，
∴f(x)＋f()＝＋＝0.
(理)若f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝1，则＋＋＋…＋＝________.
[答案] 2011
[解析] 令b＝1，则＝f(1)＝1，
∴＋＋＋…＋＝2011.
8．(文)(2011·武汉模拟)已知f(＋1)＝lgx，则f(x)＝________.
[答案] lg (x>1)
[解析] 令＋1＝t，∵x>0，∴t>1，则x＝，
∴f(t)＝lg，f(x)＝lg (x>1)．
(理)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__________．
[答案] 1
[解析] 结合f(x)与g(x)的图象，h(x)＝易知h(x)的最大值为h(2)＝1.
9．(文)(2011·广东文，12)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
[答案] －9
[解析] 令g(x)＝x3cosx，则f(x)＝g(x)＋1，g(x)为奇函数．
f(a)＝g(a)＋1＝11，所以g(a)＝10，f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
(理)(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2011)＝________.
[答案]
[解析] ∵f(x＋4)＝＝＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为4，
所以f(2011)＝f(4×502＋3)＝f(3)＝＝.
10．已知函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，求a的值．
[解析] ∵f(1)＝e1－1＝1，又f(1)＋f(a)＝2，
∴f(a)＝1.
若－11)．当K＝时，函数fK(x)在下列区间上单调递减的是( )
A．(－∞，0) B．(－a，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 当K＝时，fK(x)＝
＝
∵a>1，∴0<<1，如图，作出函数fK(x)的图象可得其单调减区间为(1，＋∞)．
13．(文)(2011·上海交大附中月考)函数f(x)＝，则f()＋f()＋f()＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.
[答案]
[解析] f(1)＝，f(x)＋f()＝＋＝＋＝1，则f()＋f()＋f()＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3＋＝.
(理)(2011·襄樊检测)设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] C
[解析] 法一：若x≤0，则f(x)＝x2＋bx＋c.
∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴解得
∴f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
解得x＝－2，或x＝－1；
当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.
∴方程f(x)＝x有3个解．
法二：由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示)．方程f(x)＝x的解的个数就是函数y＝f(x)的图象与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解．
14．(2011·洛阳模拟)已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．
[答案] 5
[解析] 由0≤－1≤1，即1≤≤2得
0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．
[点评] 数对(a，b)的取值必须能够使得|x|的取值最小值为0，最大值为2，才能满足f(x)的值域为[0,1]的要求．
15．(文)已知函数f(x)＝(ab≠0)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的解析式．
[解析] 由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；
由f(x)＝x得＝x，
变形得x(－1)＝0，
解此方程得x＝0或x＝，
又因方程有唯一解，∴＝0，
解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，
∴f(x)＝.
(理)(2011·广东普宁模拟)已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
[解析] (1)由x＋－2>0，得>0，
a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)．
a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，
01＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－＝>0恒成立，
∴g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg(x＋－2)在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg(x＋－2)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2，而h(x)＝3x－x2＝－(x－)2＋在x∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2，∴a>2.
16．某自来水厂的蓄水池存有400t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，th内供水总量为120 t，(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80t时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24h内，有几小时出现供水紧张现象．
[解析] (1)设th后蓄水池中的水量为yt，
则y＝400＋60t－120(0≤t≤24)
令＝x，则x2＝6t且0≤x≤12，
∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)；
∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，
即从供水开始到第6h时，蓄水池水量最少，只有40t.
(2)依题意400＋10x2－120x<80，
得x2－12x＋32<0，
解得4f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案] C
[解析] 解法1：由图象变换知函数f(x)图象如图，且f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，∴f(a)>f(－a)化为f(a)>0，∴当x∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f(a)>f(－a)，故选C.
解法2：当a>0时，由f(a)>f(－a)得，log2a>loga，
∴a>1；
当a<0时，由f(a)>f(－a)得，log(－a)>log2(－a)，∴－10时，－x<0，∴g(－x)＝－x＝2x，
∵g(x)为偶函数，∴g(x)＝2x，
故g(x)＝，即g(x)＝2|x|.
8．(2011·合肥模拟)已知函数f(x)＝则f(2011)等于( )
A．2008 B．2009
C．2010 D．2011
[答案] D
[解析] 当x>0时，f(x)－f(x－1)＝1，∴f(2011)
＝[f(2011)－f(2010)]＋[f(2010)－f(2009)]＋…＋[f(1)－f(0)]＋f(0)
＝1＋1＋…＋＋f(0)＝2011＋log21＝2011.
9.
如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
[答案] C
[解析] 函数在[0，π]上的解析式为
d＝＝
＝＝2sin.
在[π，2π]上的解析式为d＝＝2sin，故函数的解析式为d＝2sin，l∈[0,2π]．
[点评] 这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；或求函数解析式．
10．某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x万元，可获得纯利润P＝－(x－40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获纯利润Q＝－(60－x)2＋·(60－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
[解析] 在实施规划前，由题设P＝－(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元)．
实施规划后的前5年中，由题设P＝－(x－40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润Pmax＝(万元)，
前5年的利润和为×5＝(万元)．
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，
则其总利润为
W2＝[－(x－40)2＋100]×5＋(－x2＋x)×5＝－5(x－30)2＋4950.
当x＝30时，W2＝4950(万元)为最大值，
从而10年的总利润为＋4950(万元)．
∵＋4950>1000，
∴该规划方案有极大实施价值．
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