2-1函数及其表示
1.(2011·浙江嘉兴一中模拟)设集合M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系的是( )
[答案] B
[解析] 函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应,A中x∈(0,2]时没有函数值,C中函数值不唯一,D中的值域不是N,所以选B.
2.(文)(2011·广州市综合测试)函数y=的定义域为集合A,函数y=ln(2x+1)的定义域为集合B,则A∩B等于( )
A.(-,] B.(-,)
C.(-∞,-) D.[,+∞)
[答案] A
[解析] 由得∴-0=log0.51,∴0<4x-3<1,
∴0时 2a=-2不成立.当a<0时a+1=-2,a=-3.
5.(文)(2010·广东六校)设函数f(x)=则满足f(x)=4的x的值是( )
A.2 B.16
C.2或16 D.-2或16
[答案] C
[解析] 当f(x)=2x时.2x=4,解得x=2.
当f(x)=log2x时,log2x=4,解得x=16.
∴x=2或16.故选C.
(理)设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪(10,+∞)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-1,10)
D.(0,10)
[答案] A
[解析] 由或?x0<0或x0>10.
6.(2012·山东聊城市质检)具有性质f()=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:
①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.只有①
[答案] B
[解析] ①f()=-x=-f(x)满足.
②f()=+x=f(x)不满足.
③01时,f()==-f(x)满足.故选B.
7.(文)(2011·济南模拟)已知函数f(x)=,则f(x)+f()=________.
[答案] 0
[解析] ∵f()==,
∴f(x)+f()=+=0.
(理)若f(a+b)=f(a)·f(b)且f(1)=1,则+++…+=________.
[答案] 2011
[解析] 令b=1,则=f(1)=1,
∴+++…+=2011.
8.(文)(2011·武汉模拟)已知f(+1)=lgx,则f(x)=________.
[答案] lg (x>1)
[解析] 令+1=t,∵x>0,∴t>1,则x=,
∴f(t)=lg,f(x)=lg (x>1).
(理)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是__________.
[答案] 1
[解析] 结合f(x)与g(x)的图象,h(x)=易知h(x)的最大值为h(2)=1.
9.(文)(2011·广东文,12)设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=________.
[答案] -9
[解析] 令g(x)=x3cosx,则f(x)=g(x)+1,g(x)为奇函数.
f(a)=g(a)+1=11,所以g(a)=10,f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-9.
(理)(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)·f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(2011)=________.
[答案]
[解析] ∵f(x+4)===f(x),
∴函数f(x)的周期为4,
所以f(2011)=f(4×502+3)=f(3)==.
10.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,求a的值.
[解析] ∵f(1)=e1-1=1,又f(1)+f(a)=2,
∴f(a)=1.
若-11).当K=时,函数fK(x)在下列区间上单调递减的是( )
A.(-∞,0) B.(-a,+∞)
C.(-∞,-1) D.(1,+∞)
[答案] D
[解析] 当K=时,fK(x)=
=
∵a>1,∴0<<1,如图,作出函数fK(x)的图象可得其单调减区间为(1,+∞).
13.(文)(2011·上海交大附中月考)函数f(x)=,则f()+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=________.
[答案]
[解析] f(1)=,f(x)+f()=+=+=1,则f()+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=3+=.
(理)(2011·襄樊检测)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[答案] C
[解析] 法一:若x≤0,则f(x)=x2+bx+c.
∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
∴解得
∴f(x)=
当x≤0时,由f(x)=x,得x2+4x+2=x,
解得x=-2,或x=-1;
当x>0时,由f(x)=x,得x=2.
∴方程f(x)=x有3个解.
法二:由f(-4)=f(0)且f(-2)=-2,可得f(x)=x2+bx+c的对称轴是x=-2,且顶点为(-2,-2),于是可得到f(x)的简图(如图所示).方程f(x)=x的解的个数就是函数y=f(x)的图象与y=x的图象的交点的个数,所以有3个解.
14.(2011·洛阳模拟)已知函数f(x)=-1的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有________个.
[答案] 5
[解析] 由0≤-1≤1,即1≤≤2得
0≤|x|≤2,满足条件的整数数对有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2)共5个.
[点评] 数对(a,b)的取值必须能够使得|x|的取值最小值为0,最大值为2,才能满足f(x)的值域为[0,1]的要求.
15.(文)已知函数f(x)=(ab≠0),f(2)=1,又方程f(x)=x有唯一解,求f(x)的解析式.
[解析] 由f(2)=1得=1,即2a+b=2;
由f(x)=x得=x,
变形得x(-1)=0,
解此方程得x=0或x=,
又因方程有唯一解,∴=0,
解得b=1,代入2a+b=2得a=,
∴f(x)=.
(理)(2011·广东普宁模拟)已知函数f(x)=lg(x+-2),其中a是大于0的常数.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值;
(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
[解析] (1)由x+-2>0,得>0,
a>1时,x2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞).
a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1},
01+}.
(2)设g(x)=x+-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g′(x)=1-=>0恒成立,
∴g(x)=x+-2在[2,+∞)上是增函数.
∴f(x)=lg(x+-2)在[2,+∞)上是增函数.
∴f(x)=lg(x+-2)在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg.
(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立.
∴a>3x-x2,而h(x)=3x-x2=-(x-)2+在x∈[2,+∞)上是减函数,∴h(x)max=h(2)=2,∴a>2.
16.某自来水厂的蓄水池存有400t水,水厂每小时可向蓄水池中注水60t,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,th内供水总量为120 t,(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?
(2)若蓄水池中水量少于80t时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的24h内,有几小时出现供水紧张现象.
[解析] (1)设th后蓄水池中的水量为yt,
则y=400+60t-120(0≤t≤24)
令=x,则x2=6t且0≤x≤12,
∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12);
∴当x=6,即t=6时,ymin=40,
即从供水开始到第6h时,蓄水池水量最少,只有40t.
(2)依题意400+10x2-120x<80,
得x2-12x+32<0,
解得4f(-a),则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
[答案] C
[解析] 解法1:由图象变换知函数f(x)图象如图,且f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数,∴f(a)>f(-a)化为f(a)>0,∴当x∈(-1,0)∪(1,+∞),f(a)>f(-a),故选C.
解法2:当a>0时,由f(a)>f(-a)得,log2a>loga,
∴a>1;
当a<0时,由f(a)>f(-a)得,log(-a)>log2(-a),∴-10时,-x<0,∴g(-x)=-x=2x,
∵g(x)为偶函数,∴g(x)=2x,
故g(x)=,即g(x)=2|x|.
8.(2011·合肥模拟)已知函数f(x)=则f(2011)等于( )
A.2008 B.2009
C.2010 D.2011
[答案] D
[解析] 当x>0时,f(x)-f(x-1)=1,∴f(2011)
=[f(2011)-f(2010)]+[f(2010)-f(2009)]+…+[f(1)-f(0)]+f(0)
=1+1+…++f(0)=2011+log21=2011.
9.
如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( )
[答案] C
[解析] 函数在[0,π]上的解析式为
d==
==2sin.
在[π,2π]上的解析式为d==2sin,故函数的解析式为d=2sin,l∈[0,2π].
[点评] 这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点,采用排除法;或求函数解析式.
10.某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持,已知每投入x万元,可获得纯利润P=-(x-40)2+100万元(已扣除投资,下同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资,其中在前5年中,每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,公路5年建成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每投入x万元,可获纯利润Q=-(60-x)2+·(60-x)万元,问仅从这10年的累积利润看,该规划方案是否可行?
[解析] 在实施规划前,由题设P=-(x-40)2+100(万元),知每年只需投入40万,即可获得最大利润100万元,则10年的总利润为W1=100×10=1000(万元).
实施规划后的前5年中,由题设P=-(x-40)2+100知,每年投入30万元时,有最大利润Pmax=(万元),
前5年的利润和为×5=(万元).
设在公路通车的后5年中,每年用x万元投资于本地的销售,而剩下的(60-x)万元用于外地区的销售投资,
则其总利润为
W2=[-(x-40)2+100]×5+(-x2+x)×5=-5(x-30)2+4950.
当x=30时,W2=4950(万元)为最大值,
从而10年的总利润为+4950(万元).
∵+4950>1000,
∴该规划方案有极大实施价值.
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