2-3函数的奇偶性与周期性
1.(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
[答案] B
[解析] y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故选B.
2．(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)的值等于( )
A．－1 B.
C．1 D．－
[答案] A
[解析] f(2)＝22－3＝1，又f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝－1，故选A.
(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D． 3
[答案] A
[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1.
∴当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝21＋2×1－1＝3，
f(－1)＝－f(1)＝－3.
3．(文)函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(2014)的值为( )
A．a B．－a
C．0 D．2a
[答案] B
[解析] ∵f(x)周期为3，
∴f(2014)＝f(671×3＋1)＝f(1)，
∵f(x)为奇函数，f(－1)＝a，
∴f(1)＝－a，故选B.
(理)(2012·河南商丘模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－)的值为( )
A．－ B．0
C. D．T
[答案] B
[解析] ∵f(－)＝－f()，且f(－)＝f(－＋T)＝f()，∴f()＝0，∴f(－)＝0.
4．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为( )
[答案] C
[解析] 函数f(x)＝ln(x＋1)的图象由f(x)＝lnx的图象向左平移1个单位得到，选取x>0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得．
(理)
(2011·北京西城模拟)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1
C．y＝ D．y＝
[答案] C
[解析] ∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数．
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝2－，且对任意的x都有f(x＋3)＝，则f(2013)的值为( )
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．－3－
[答案] A
[解析] 由题意得f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝＝＝f(x)．∴函数f(x)的周期为6.
f(2013)＝f(335×6＋3)＝f(3)，而f(3)＝f(0＋3)＝－＝－＝－2－.
6．(文)(2011·合肥模拟)设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f()的所有x之和为( )
A．－ B．－
C．－8 D．8
[答案] C
[解析] ∵f(x)是偶函数，f(2x)＝f()，
∴f(|2x|)＝f(||)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，
∴|2x|＝||，即2x＝或2x＝－，
整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，
设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.
则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋(－)＝－8.
(理)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是( )
A．c1，|log3|＝log23>log2， 0<0.20.6<1，
∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.
又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且f(x)为偶函数，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
∴b或x<－，
∴由f(logx)<0得logx>或logx<－，
∴02.
10．(文)已知函数f(x)＝1－(a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)当x∈ (0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0.
即1－＝0，解得a＝2.
(2)∵y＝，∴2x＝，
由2x>0知>0，
∴－1x2，
f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－
＝a(x1－x2)＋＝(x1－x2)(a－)．
∵x1－x2>0，f(x)在[3，＋∞)上为增函数，
∴a>，即a>＋在[3，＋∞)上恒成立．
∵＋<，∴a≥.
能力拓展提升
11.(文)(2011·泰安模拟) f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )
A．1 B．4 C．3 D．2
[答案] B
[解析] 由f(2)＝0，得f(5)＝0，
∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.
∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0，
f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0，
故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．
(理)(2012·东北三校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(2＋x)＝－f(x)，且当x∈[0,1]时有f(x)＝－x2＋1，当x∈(1,2]时，f(x)＝x－2，f(x)＝0在[－1,5]上有5个根xi(i＝1,2,3,4,5)，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
[答案] D
[解析] ∵f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f [2＋(2＋x)]＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，
∵x∈[0,1]时，f (x)＝－x2＋1，
∴x∈[－1,0]时，f(x)＝－x2＋1，
即x∈[－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，
又x∈(1,2]时，f(x)＝x－2，
∴x∈[－2，－1)时，f(x)＝－x－2，
∴x∈[2,3)时，f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－2＝2－x.
从而可知在[－1,5]上有f(－1)＝0， f(1)＝0，f(2)＝0，f(3)＝0，f(5)＝0，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝10，故选D.
12．(2012·河南洛阳统考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－lg(－x)，且f(0)＝0，∴f(x)>0?或解得x>1或－10且a≠1)是奇函数．
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；
(3)当a>1，x∈(1，)时，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a的值．
[解析] (1)∵f(x)是奇函数，x＝1不在f(x)的定义域内，∴x＝－1也不在函数定义域内，
令1－m·(－1)＝0得m＝－1.
(也可以由f(－x)＝－f(x)恒成立求m)
(2)由(1)得f(x)＝loga(a>0且a≠1)，
任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x11，x2>1，x10，x2－1>0，x2－x1>0.
∴t(x1)>t(x2)，即>，
∴当a>1时，loga>loga，
即f(x1)>f(x2)；
当01时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数，当01，∴f(x)在(1，)上是减函数，
∴当x∈(1，)时，f(x)>f()＝loga(2＋)，
由条件知，loga(2＋)＝1，∴a＝2＋.
1．已知g(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f(x)的零点共有( )
A．1005个 B．1006个
C．2009个 D．2011个
[答案] D
[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g(x)在(0，＋∞)上与x轴有1005个交点，故在(－∞，0)上也有1005个交点，又f(0)＝0，∴共有零点2011个．
2．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝－|x＋1|
C．f(x)＝(ax＋a－x) D．f(x)＝ln
[答案] D
[解析] y＝sinx与y＝ln为奇函数，而y＝(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选D.
3．(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数y＝f(x)的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)
[答案] D
[解析] 由图乙可知，该函数为偶函数，且x<0时，其函数图象与f(x)的函数图象相同，即该函数图象的解析式为y＝即y＝f(－|x|)，故应选D.
4．定义两种运算：a?b＝，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝( )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
[答案] B
[解析] f(x)＝，
∵x2≤4，∴－2≤x≤2，
又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．
则f(x)＝，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.
5．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2012)的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
[答案] A
[解析] 由已知：g(－x)＝f(－x－1)，
又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，
∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，
∴f(2012)＝f(0)＝g(1)＝2，故选A.
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