2-4指数与指数函数
1.函数f(x)＝(a2－1)x在R上是减函数，则a的取值范围是( )
A．|a|>1 B．|a|<2
C．|a|< D．1<|a|<
[答案] D
[解析] 由题意知，01，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(2，＋∞)
C．(0,1)∪(2，＋∞) D．(1，＋∞)
[答案] C
[解析] 由得02，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．
(理)函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－1,1) D．(0,2)
[答案] C
[解析] 由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－1<08，∴h(3)＝9.
8．若函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥的解集为________．
[答案] [－3,1]
[解析]
f(x)的图象如图．
|f(x)|≥?f(x)≥
或f(x)≤－.
∴x≥或≤－
∴0≤x≤1或－3≤x<0，∴解集为{x|－3≤x≤1}．
9．定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为______，最小值为______．
[答案] 4 2
[解析] 由3|x|＝1得x＝0，由3|x|＝9得x＝±2，故f(x)＝3|x|的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m]，0≤m≤2或[n,2]，－2≤n≤0都可以，故区间[a，b]的最大长度为4，最小长度为2.
10．(文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；
(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．
[解析] (1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
又当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，
∴f(－x)＝＝，
∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－，
∴f(x)在(－1,1)上的解析式为
f(x)＝
(2)当x∈(0,1)时，f(x)＝.
设00,2x1＋x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在(0,1)上是减函数．
(理)已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f (x)的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．
[分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f(－x)，看是否等于f(x)(或－f(x))；
(2)可用单调性定义，也可用导数判断f(x)的单调性；
(3)b≤f(x)恒成立，只要b≤f(x)min，由f(x)的单调性可求f(x)min.
[解析] (1)函数定义域为R，关于原点对称．
又因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a2－1>0，
y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．
当00，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，
∴f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝·＝－1.
∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1].
能力拓展提升
11.(文)(2012·四川文)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
[答案] C
[解析] 根据函数y＝ax－a过定点(1,0)，排除A、B、D选项，得C项正确．
(理)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系内的图象大致是( )
[分析] 函数f(x)＝1＋log2x的图象可由函数y＝log2x的图象变换得到；函数y＝2－x＋1可由函数y＝()x的图象变换得到．
[答案] C
[解析] f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度得到的；g(x)＝2－x＋1＝()x－1的图象可由y＝()x的图象向右平移一个单位长度得到．
[点评] 幂、指、对函数的图象与性质是高考又一主要命题点，解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数，含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律，相关性质，掌握平移伸缩变换和常见的对称特征，掌握识、画图的主要注意事项，学会识图、用图．
12．(文)(2011·广州市综合测试)函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上( )
A．有极大值 B．有极小值
C．是增函数 D．是减函数
[答案] C
[解析] 设00，所以函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上是增函数．
(理)(2011·大连模拟)已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．[，3) B．(，3)
C．(2,3) D．(1,3)
[答案] C
[解析] ∵{an}是递增数列，
∴f(n)为单调增函数，
∴∴2f(n)，则m、n的大小关系为________．
[答案] man?m0,2x2＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，∴>0，∴－10，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·x＋x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝1＋x＋x.
因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，
即f(x)在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立．
所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．
∴－3≤f(x)≤3，即－4－x≤a·x≤2－x，
∴－4·2x－x≤a≤2·2x－x在[0，＋∞)上恒成立，
设2x＝t，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，
由x∈[0，＋∞)得t≥1，
设1≤t10
p(t1)－p(t2)＝<0
所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，
h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p (t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，
所以实数a的取值范围为[－5,1]．
1．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(0，)
[答案] D
[解析] 若a>1，如图(1)为y＝|ax－1|的图象，与y＝2a显然没有两个交点；当0a)，则a＋b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] A
[解析] 因为f(x)＝|2x－1|的值域为[a，b]，所以b>a≥0，而函数f(x)＝|2x－1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，
因此应有解得
所以有a＋b＝1，选A.
[点评] 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b>a≥0，从而避免了对a、b的各种可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性，建立关于a、b的方程组求解．
3．(2011·石家庄一中模拟)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝( )
A．log2x B．logx
C. D．x2
[答案] B
[解析] 函数y＝ax的反函数是f(x)＝logax，
∵其图象经过点(，a)，
∴a＝loga，∴a＝，∴f(x)＝logx.
4．已知所有的点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象上，则a3＋a7与2a5的大小关系是( )
A．a3＋a7>2a5
B．a3＋a7<2a5
C．a3＋a7＝2a5
D．a3＋a7与2a5的大小关系与a的值有关
[答案] A
[解析] 因为所有的点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象上，所以有an＝an，故a3＋a7＝a3＋a7，由基本不等式得：a3＋a7>2＝2＝2a5，∴a3＋a7>2a5(因为a>0，a≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.
5．(2011·山东济南一模)若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是( )
A．00，a≠1)，若f(－1)＝3，则f(0)＋f(2)的值为________．
[答案] 9
[解析] 由f(－1)＝3得a＋＝3，
于是f(2)＝a2＋＝(a＋)2－2＝32－2＝7.
又∵f(0)＝1＋1＝2，∴f(0)＋f(2)＝9.
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