2-5对数与对数函数
1.(2011·广东高州市大井中学模拟)函数y＝的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
[答案] C
[解析] 要使函数有意义，须
∴∴－10时，y＝log2x为增函数，排除D，选C.
3．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2012x＋log2012x，则方程f(x)＝0的实根的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．5
[答案] C
[解析] 当x>0时，f(x)＝0即2012x＝－log2012x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2012x，f2(x)＝－log2012x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.
4．(文)(2011·山东实验中学模拟)已知函数f(x)＝则f(2＋log32)的值为( )
A．－ B.
C. D．－54
[答案] B
[解析] ∵0＜log32<1，∴2<2＋log32<3，
∴f(2＋log32)＝f(3＋log32)＝f(log354)＝()log354＝.
(理)(2012·内蒙古包头模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数，对?x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，2)
[答案] D
[解析] ∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，当x∈[0,2]时，－x∈[－2,0]，∴f(－x)＝2x－1，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，依据其周期性和对称性，画出f(x)在(－2,6]上的图象，当y＝loga(x＋2)的图象与f(x)在(－2,6]上的图象恰有3个交点时，应有∴b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
[答案] B
[解析] ∵a＝log23.6>1，c＝log43.6<1.∴a>c.
又∵c＝log43.6>log43.2＝b.∴a>c>b.
(理)(2011·重庆文，6)设a＝log，b＝log，c＝log3，则a、b、c的大小关系是( )
A．ab且a>0，b>0，又c<0.故c0得x>3或x<2，由s＝x2－5x＋6＝(x－)2－知s＝x2－5x＋6在区间(3，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，2)上是减函数，因此函数y＝log (x2－5x＋6)的单调增区间是(－∞，2)，选D.
7．(2011·北京东城一模)设f(x)＝且f(2)＝1，则f[f(2)]＝________.
[答案] 6
[解析] ∵f(2)＝loga[(2)2－1]＝loga7＝1，
∴a＝7.
又f(2)＝log73<1，∴f(f(2))＝2×7log73＝2×3＝6.
8．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2011)＋f(2012)的值为________．
[答案] －1
[解析] ∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)．即f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2011)＋f(2012)＝f(3)＋f(0)＝f(－1)＋f(0)＝20－1－(21－1)＝－1.
[点评] (1)一般地，若f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称，且可变形为f(x＋2a)＝f(－x)．如果同时知道f(x)为奇函数(或偶函数)，则利用奇偶性可得出f(－x)＝±f(x)，从而可知f(x)为周期函数且可得出其周期．
(2)本题将指数函数求值与函数的周期性、奇偶性融为一体，这是高考命题的常见模式．
9．(文)已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________．
[答案] {x|x≤0或x≥3}
[解析] f(x)≥1化为或
∴x≥3或x≤0.
(理)(2011·浙江省宁波市“十校联考”)设a>0，a≠1，函数f (x)＝ax2＋x＋1有最大值，则不等式loga(x－1)>0的解集为________．
[答案] {x|10化为00，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．
[解析] (1)由得－30，则01时，y≤loga4，值域为{y|y≤loga4}，
当00且a≠1)．
(1)证明函数f(x)的图象在y轴的一侧；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，得ax>1.
当a>1时，解得x>0，此时f(x)的图象在y轴右侧；
当00且a≠1的任意实数a，f(x)的图象总在y轴一侧．
(2)①当a>1时，x>0，由01.
∴f(x2)－f(x1)＝loga(ax2－1)－loga(ax1－1)
＝loga>0.
直线AB的斜率kAB＝>0.
②当0ax2>1，f(x2)－f(x1)>0.
同上可得kAB>0.
能力拓展提升
11.(2011·安徽省淮南市模拟)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝()lnx，c＝elnx，则( )
A．c>b>a B．b>a>c
C． a>b>c D．b>c>a
[答案] D
[解析] ∵x∈(e－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)；
c＝elnx＝x∈(，1)；
b＝()lnx∈(1,2)．
∴a0时，log2a＝，所以a＝，当a≤0时，2a＝，所以a＝－1.
13．(2011·丹阳一模)已知函数f(x)＝则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．
[答案] {x|－12}
[解析] 由y>1得，或
∴－12.
14．(文)(2012·江南十校联考)已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数，则f(1)的值________(把所有可能的序号都填上)．
①恒为正数； ②恒为负数；
③恒为0; ④可正可负．
[答案] ①
[解析] ∵f(x)在R上为奇函数，∴f(0)＝0，
又∵f(x)在R上为增函数，
∴f(1)>f(0)＝0.
∴f(1)的值恒为正数．
(理)(2011·绍兴一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(lgx)＝f(1)，则x的值等于________．
[答案] 10或
[解析] ∵f(x)在[0，＋∞)上是单调函数，且为偶函数，又f(lgx)＝f(1)，∴lgx＝±1，∴x＝10或.
15．(文)已知函数 f(x)＝log4 (4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．
[解析] (1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，
∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，
即log4＝－4kx，
∴log44x＝－4kx，
∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，
对一切x∈R恒成立，∴k＝－.
(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x
＝log4＝log4(2x＋)，
∵2x>0，∴2x＋≥2，∴m≥log42＝.
故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为[，＋∞)．
(理)(2011·金华模拟)设集合A＝{x|2(logx)2－7log2x＋3≤0}，若当x∈A时，函数f(x)＝log2·log2的最大值为2，求实数a的值．
[解析] ∵A＝{x|2(log2x)2－7log2x＋3≤0}
＝{x|≤log2x≤3}＝{x|≤x≤8}，
而f(x)＝(log2x－a)(log2x－2)＝(log2x)2－(a＋2)log2x＋2a，
令log2x＝t，∵≤x≤8，∴≤t≤3.
∴f(x)可转化为g(t)＝t2－(a＋2)t＋2a，其对称轴为直线t＝，
①当t＝≤，即a≤时，
[g(t)]max＝g(3)＝2?a＝1，符合题意；
②当t＝>，即a>时，
[g(t)]max＝g()＝2?a＝，符合题意．
综上，a＝1，或a＝.
16．(文)(2011·南昌模拟)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f()＝f(x)－f(y)，当 x>1时，有f(x)>0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
[解析] (1)∵对任意x>0，y>0，都有f()＝f(x)－f(y)成立，
∴令x＝y＝1得，f(1)＝f(1)－f (1)＝0.
(2)设x1>x2>0，则>1，
∴f(x1)－f(x2)＝f()>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
(3)∵f(6)＝1，∴f(6)＝f()＝f(36)－f(6)，
∴f(36)＝2.
∴不等式f(x＋3)－f()<2化为
∴
∴01时，g′(x)>0，当－1b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
[答案] B
[解析] ∵10.∴c>b，故选B.
2．(2011·四川文，4)函数y＝()x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是( )
[答案] A
[解析] 解法1：作y＝()x的图象，然后向上平移1个单位，得y＝()x＋1的图象，再把图象关于y＝x对称即可．
解法2：令x＝0得y＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C、D；又令x＝－1得y＝3，∴对称图象过点(3，－1)，排除B，故选A.
3．函数f(x)＝|logx|的图象是( )
[答案] A
[解析] f(x)＝|logx|＝|log2x|
＝，故选A.
[点评] 可用筛选取求解，f(x)的定义域为{x|x>0}，排除B、D，f(x)≥0，排除C，故选A.
4．(2012·内蒙古包头模拟)已知函数f(x)＝则f[f(－4)]＝( )
A．－4 B．－
C．4 D．6
[答案] C
[解析] f(－4)＝()－4＝16，f[f(－4)]＝f(16)＝16＝4.
5．(2012·北京市东城区综合练习)函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝＋f(x)为( )
A．奇函数非偶函数
B．偶函数非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
[答案] B
[解析] ∵g(x)－1≠0?g(x)≠1?x≠0，∴y＝F(x)的定义域关于坐标原点对称．F(x)＝f(x)[＋1]＝f(x)·，F(－x)＝f(－x)·＝－f(x)·＝－f(x)·＝f(x)·＝F(x)，∴y＝F(x)是偶函数．又由于y＝f(x)和y＝g(x)都不是常数函数，∴f(x)不恒为0，g(x)不恒为－1，即F(x)不恒为0，所以F(x)不是奇函数，故选B.
6．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是________．
[答案] x＝5
[解析] 原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于y＝log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5.
7．(2011·上海交大附中月考)函数f(x)＝lg(x＋－6)( a∈R)的值域为R，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，9]
[解析] ①a≤0时，x＋－6能取遍一切正数，
∴f(x)的值域为R；
②a>0时，要使f(x)的值域为R，应使x＋－6可以取到所有正数，故x>0时，x＋－6的最小值2－6≤0，∴0
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