2-6幂函数与函数的图象变换
1.(2011·烟台模拟)幂函数y＝f(x)的图象经过点(27，)，则f()的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 设f(x)＝xα，由条件知f(27)＝，
∴27α＝，∴α＝－，∴f(x)＝x，
∴f()＝()＝2.
2．(文)(2011·聊城模拟)若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则函数y＝f(x)的图象可以是( )
[答案] D
[解析] 由题意知函数y＝f(x)的图象与直线y＝2在(－∞，0)内有交点，观察所给图象可知，只有D图存在交点．
(理)(2011·福州三中模拟)已知函数f(x)的图象如图，则函数y＝logf(x)的图象大致是( )
[答案] A
[解析] 由f(x)的图象知f(x)≥1，
∴y＝logf(x)≤0，故选A.
3．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x ，④y＝x－1
D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
[答案] B
[解析] y＝x2为偶函数，对应②；y＝x 定义域x≥0，对应③；y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝x均为奇函数，但y＝x3比y＝x增长率大，故①对应y＝x3.
(理)给出以下几个幂函数fi(x)(i＝1,2,3,4)，其中f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝.若gi(x)＝fi(x)＋3x(i＝1,2,3,4)．则能使函数gi(x)有两个零点的幂函数有( )
A．0个 B． 1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 函数gi(x)的零点就是方程gi(x)＝0的根，亦即方程fi(x)＋3x＝0的根，也就是函数fi(x)与y＝－3x的图象的交点，作出函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，可知只有f2(x)的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x)，选B.
4．(文)(2012·宁波期末)函数y＝lncosx(－b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
[答案] A
[解析] 记f(x)＝lnx－x，则
f ′(x)＝－1＝，
当00，
所以函数f(x)在(0,1)上是增函数．
∵1>>>>0，
∴a>b>c，选A.
5．(文)
幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x的图象经过的“区域”是( )
A．⑧，③ B．⑦，③
C．⑥，② D．⑤，①
[答案] C
[解析] y＝x是增函数，∵>1，∴其图象向下凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域②，⑥.
(理)
幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝ ( )
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
[答案] A
[解析] 由条件知，M、N，
∴＝α，＝β，∴αβ＝α＝α＝，∴αβ＝1.故选A.
6．(文)(2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点为a和b且a>b，由图象知00，∴a>－1.
10．如图所示，函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
[解析] 如图，设左侧射线对应的解析式为：y＝kx＋b(x≤1)，将点(1,1)，(0,2)代入得解得所以左侧射线对应的函数解析式是y＝－x＋2(x≤1)；同理，x≥3时，函数解析式为：y＝x－2(x≥3)；再设抛物线段的解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)，将(1,1)代入得，a＋2＝1，∴a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
综上知，函数解析式为y＝
能力拓展提升
11.(文)(2011·山东济宁一模)函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是( )
[答案] C
[解析] f(x)＝2|log2x|＝，
∴f(x)＝
(理)(2011·威海模拟)设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(2,3) C．(1,2) D．(3,4)
[答案] C
[解析] 设f(x)＝x3－x－2，则f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以x0在区间(1,2)内．
12．(文)(2011·成都一诊)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则( )
A．a0，a>b，a－c＝lnx(1－ln2x)<0，a时，u′(x)>0，u(x)单调递增．
所以，当x＝时，u(x)取到最小值，
此极小值即为u(x)在(0，＋∞)上的最小值．
∴|MN|＝|－ln|＝(1＋ln3)．
14．(2012·浙江余姚中学模拟)已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a0，＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．
(理)(2011·山东烟台调研)设函数f(x)＝p－2lnx， g(x)＝.(p是实数，e是自然对数的底数)
(1)当p＝2e时，求f(x)＋g(x)的单调区间；
(2)若直线l与函数f(x)，g(x)图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点(1,0)，求p的值．
[解析] (1)当p＝2e时，
f(x)＋g(x)＝2e－2lnx＋＝2ex－2lnx，
则(f(x)＋g(x))′＝2e－.
故当x>时，f(x)＋g(x)是增函数；
当00得，
10－0，g(x)>0，所以f(x)g(x)>0，故选C.
2．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是( )
[答案] B
[解析] 由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.
3．(2011·天津文，8)对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2]
C．(－∞，－2]∪(1,2] D．[－2，－1]
[答案] B
[解析] 由题意得，f(x)＝
由y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，
即方程f(x)＝c有两个不等的根，
即函数y＝f(x)与y＝c的图象有两个交点．
由图象知：
∴－21，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]，满足方程logax＋logay＝c，这时a的取值的集合为________．
[答案] {2}
[解析] 依题意得y＝，当x∈[a,2a]时，y＝∈
[ac－1，ac－1]?[a，a2]，因此有，
即2a≤ac－1≤a2，又常数c是唯一的，因此a2＝2a，
又a>1，所以a＝2.
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