一次函数二次函数及复合函数
闯关密练
1.若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于2，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－) B．(，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 设f(x)＝x2－2mx＋4，则题设条件等价于f(2)<0，即4－4m＋4<0?m>2，故选D.
2．函数f(x)＝ax2＋bx＋c与其导函数f ′(x)在同一坐标系内的图象可能是( )
[答案] C
[解析] 若二次函数f(x)的图象开口向上，则导函数f ′(x)为增函数，排除A；同理由f(x)图象开口向下，导函数f ′(x)为减函数，排除D；又f(x)单调增时，f ′(x)在相应区间内恒有f ′(x)≥0，排除B，故选C.
3．(文)(2011·济南模拟)已知二次函数f(x)图象的对称轴是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( )
A．x0≥b B．x0≤a
C．x0∈(a，b) D．x0?(a，b)
[答案] D
[解析] ∵f(x)在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，且f(x)为二次函数，
∴f(x)在[a，b]上单调递减，
又f(x)对称轴为x＝x0，开口方向未知，
∴x0≤a或x0≥b，即x0?(a，b)．
(理)若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为( )
A．a<－1 B．a>1
C．－10得a>1，又当f(1)＝0，即a＝1时，2x2－x－1＝0两根x1＝1，x2＝－不合题意，故选B.
4．函数f(x)对任意x∈R，满足f(x)＝f(2－x)．如果方程f(x)＝0恰有2013个实根，则所有这些实根之和为( )
A．0 B．2013
C．4026 D．8052
[答案] B
[解析] ∵x∈R时，f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，实根之和为1×2013＝2013.
5．已知方程|x|－ax－1＝0仅有一个负根，则a的取值范围是( )
A．a<1 B．a≤1
C．a>1 D．a≥1
[答案] D
[解析] 数形结合判断．
6．(2011·广东肇庆二模)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
[答案] A
[解析] 依题意得
或?－1≤x≤0或0f(x2)，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，)
[解析] 由题意得>0，得a<.
能力拓展提升
11.已知命题p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q：函数y＝(2a－1)x为减函数，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，] B．(0，)
C．(，] D．(，1)
[答案] C
[解析] 命题p等价于≤1，即a≤.命题q：由函数y＝(2a－1)x为减函数得：0<2a－1<1，即1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是( )
A．1 B．2 C．4 D．5
[答案] D
[解析] 该函数图象与直线y＝2有三个交点(x1,2)，(x2,2)，(x3,2)，x1＝－1，x2＋x3＝6(其中(x2,2)，(x3,2)关于直线x＝3对称)，则横坐标之和为5.
13．(2011·福建质检)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
[答案] D
[解析] 二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f ′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，
所以a>0，即函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝1.
所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
14．(文)已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于________．
[答案] 2
[解析] ∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数，f(x)max＝f(b)，∴f(b)＝b，
∴b2－2b＋2＝b，∴b2－3b＋2＝0，∴b＝2或1(舍)．
(理)(2011·江南十校联考)已知函数f(x)的自变量的取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．函数f(x)＝x2的形如[n，＋∞)(n∈(0，＋∞))的保值区间是________．
[答案] [1，＋∞)
[解析] 因为f(x)＝x2在[n，＋∞)(n∈(0，＋∞))上单调递增，所以f(x)在[n，＋∞)上的值域为[f(n)，＋∞)，若[n，＋∞)是f(x)的保值区间，则f(n)＝n2＝n，解得n＝1.
15．(文)若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
[解析] 要使函数y＝lg(3－4x＋x2)有意义，应有3－4x＋x2>0，
解得x<1或x>3，∴M＝{x<1或x>3}．
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2，
令2x＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或08或08时，f(x)∈(－∞，－160)；
当2x＝t＝，即x＝log2时，y＝.
综上可知，当x＝log2时，f(x)取到最大值为，无最小值．
(理)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，有f(x)≤2.
(1)求f(1)的值；
(2)证明a>0，c>0；
(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.
[解析] (1)对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，
当x＝1时，f(1)≥1，
又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤2＝1，
∴1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1.
(2)证明：∵f(1)＝1，f(－1)＝0，∴a＋b＋c＝1，
a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.
∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，
∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立，
∴∴∴c>0，故a>0，c>0.
(3)证明：∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．
∴f(x)＝x2＋x＋.
∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋＝[x2＋(2－4m)x＋1]．
∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，
∴2m－1≤－1或2m－1≥1，∴m≤0或m≥1.
*16.(文)(2011·西安检测)设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为实数)．
(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(2)设a>2，求函数f(x)的最小值．
[分析] (1)f(x)为偶函数?f(－x)＝f(x)?a＝0.
(2)含绝对值的函数的实质是分段函数，可以通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，得到分段函数．
[解析] (1)由f(x)为偶函数知，f(－x)＝f(x)，
即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.
(2)f(x)＝
当x≥a时，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，
由a>2，x≥a，得x>1，故f(x)在x≥a时单调递增，f(x)的最小值为f＝；
当x<a时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1)，
故当1≤x<时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，
则f(x)的最小值为f(1)＝a－1.
由－(a－1)＝>0，知f(x)的最小值为a－1.
(理)(2011·山东实验中学三诊)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
∵x≥1时，f ′(x)＝1－>0，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)解法1：在区间[1，＋∞)上，
f(x)＝>0恒成立?x2＋2x＋a>0恒成立?a>－x2－2x恒成立?a>(－x2－2x)max，x≥1.
∵－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，
∴当x＝1时，(－x2－2x)max＝－3，
∴a>－3.
解法2：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立?x2＋2x＋a>0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
∴y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，
∴当x＝1时，ymin＝3＋a，
当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，
∴a>－3.
1．(2011·平顶山模拟)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．[1,2] D．(－∞，2]
[答案] C
[解析] 如图所示．
∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
∵f(0)＝3，f(1)＝2，且f(2)＝3，可知只有当m∈[1,2]时，才能满足题目的要求．
2．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 若a<0，则只能是A或B选项，A中－<0，∴b<0，从而c>0，与A图不符；B中－>0，∴b>0，∴c<0，与B图不符．若a>0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，当b>0时，有c>0与C、D图不符，当b<0时，有c<0，此时－>0，f(0)＝c<0，故选D.
3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a()a>(0.2)a
B．(0.2)a>()a>2a
C．()a>(0.2)a>2a
D．2a>(0.2)a>()a
[答案] B
[解析] 若a<0，则幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，
所以(0.2)a>()a>0.所以(0.2)a>()a>2a.
5．(2012·江苏，5)函数f(x)＝的定义域为________．
[答案] (0，]
[解析] 要使函数有意义，应有被开方数大于或等于零．
由题意知1－2log6x≥0，∴log6x≤，
∴log6x≤log6，∴00，b>0)，若f(0)＝4，则f(1)的最大值为________．
[答案] 7
[解析] ∵f(0)＝4，∴a＋2b＝4，
∴f(1)＝ab＋a＋2b＋1＝ab＋5，
∵a>0，b>0，∴4＝a＋2b≥2，
∴ab≤2，等号在a＝2b＝2，即a＝2， b＝1时成立．
∴f(1)＝ab＋5≤7.
8．(2011·福建武夷山模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
[解析] (1)由题意得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点且a≠0，则
解得，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(1)如图，由图象知，函数f(x)在[0,1]内单调递减，
∴当x＝0时，y＝18，当x＝1时，y＝12，
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)解法1：令g(x)＝－3x2＋5x＋c.
∵g(x)在上单调递减，要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，则需要g(x)max＝g(1)≤0，
即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.
∴当c≤－2时，不等于ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
解法2：不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，
即c≤3x2－5x，在[1,4]上恒成立．
令g(x)＝3x2－5x，∵x∈[1,4]，
∴g(x)在[1,4]上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.
【点此下载】