函数与方程、函数模型及其应用
1.(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝()x－x，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是( )
A．(0，) B．(， )
C．(，1) D．(1,2)
[答案] B
[解析] f(0)＝1>0，f()＝()－()>0，f()＝()－()<0，
∵f()·f()<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，
∴函数f(x)在(，)内有零点．
[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．
2．(文)(2011·杭州模拟)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内零点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] 在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|与y＝lnx的图象，∵lne＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f(x)有两个零点．
(理)(2011·陕西)函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内( )
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
[答案] B
[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数y＝和y＝cosx的图象，如图，由于x>1时，y＝>1，y＝cosx≤1，所以两图象只有一个交点，即方程－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.
3．(文)函数f(x)＝x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝x与y＝sinx的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．
(理)(2011·深圳一检)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x11，即x3>1，从而可知x11)的图象有3个交点，∴共有8个交点．
5．(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f(x)＝x3－4x2－x＋4不存在零点的区间是( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[2,3] D．[3,4]
[答案] C
[解析] ∵f(0)＝4，f(1)＝0，f(3)＝－8<0，f(4)＝0，f(2)＝－6，由于在区间[0,1]，[1,2]，[3,4]内都存在零点，故选C.
[点评] 注意，不能由f(2)＝－6<0，f(3)＝－8<0，做出判断f(x)在区间[2,3]内无零点．
6.
如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6234，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )
A．P点 B．Q点 C．R点 D．S点
[答案] B
[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a>0)，设si(i＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时si(i＝1,2,3,4)的大小．如果选在P点，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果选在Q点，s2＝6a×2＋2a＋3a×2＋4a×3＝32a，如果选在R处，s3＝6a×3＋2a×2＋3a＋4a×2＝33a，如果选在S处，s4＝6a×4＋2a×3＋3a×2＋4a＝40a，显然，中转站选在Q点时，中转费用最少．
7．(2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)0且－－40t，即W>P，
所以使用液化气比使用汽油省钱．
(2)①设37.5t＋5000＝，解得t≈545.5，
又t≥0，t∈N，∴t＝546.
②设40t＋5000＝，解得t＝750.
所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.
能力拓展提升
11.(文)(2012·天津理)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．
∵f(x)＝2x＋x3－2,00在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．
又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，
又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．
[点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数．
(理)(2011·舟山月考)函数f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B． 1 C．2 D．3
[答案] D
[解析] 令－x(x＋1)＝0得x＝0或－1，满足x≤0；
当x>0时，∵lnx与2x－6都是增函数，
∴f(x)＝lnx＋2x－6(x>0)为增函数，
∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，
故f(x)共有3个零点．
12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
[答案] C
[解析] 观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.
[点评] 也可以将x＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．
13．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝＋
C．f(x)＝ D．f(x)＝lgsinx
[答案] C
[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f(x)＝不存在零点；f(x)＝＋不存在零点；f(x)＝的定义域为全体实数，且f(－x)＝＝－f(x)，故此函数为奇函数，且令f(x)＝＝0，得x＝0，函数f(x)存在零点；f(x)＝lgsinx不具有奇偶性．
14．(文)(2011·山东济宁一模)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若00 D．f(x0)的符号不确定
[答案] B
[解析]
分别作出y＝2x与y＝logx的图象如图，
当00；
当s>20时，v′<0.
所以当s＝20时，v取得最大值．
因此李明向张林要求赔付价格s为20元/吨时，获得最大净收入．
*16.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；
(2)若对x1、x2∈R，且x10，函数f(x)有两个零点．
(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝，
因为g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2<0(f(x1)≠f(x2))，所以g(x)＝0在(x1，x2)内必有一个实根．
即方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]必有一个实数根属于(x1，x2)．
(3)假设a、b、c存在，由①得－＝－1，＝0，即b＝2a，b2＝4ac，所以4a2＝4ac，故a＝c.
由②知对任意实数x，都有0≤f(x)－x≤(x－1)2.令x＝1，得0≤f(1)－1≤0，所以f(1)－1＝0，即a＋b＋c＝1.
由解得a＝c＝，b＝.
当a＝c＝，b＝时，f(x)＝x2＋x＋＝(x＋1)2，其顶点为(－1,0)满足条件①，又f(x)－x＝(x－1)2，所以对任意x∈R，都有0≤f(x)－x≤(x－1)2，满足条件②.所以存在a、b、c∈R，使f(x)同时满足条件①②.
1．(2012·昆明一中检测)已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
[答案] B
[解析] 解法1：不妨设a2，∴f(a)＝－lg(a－1)，f(b)＝lg(b－1)，∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，
∴(a－1)(b－1)＝1，
∴a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2>2＋2＝4.
解法2：结合f(x)的图象得－lg(b－1)＝lg(a－1)，得lg(a－1)＋lg(b－1)＝0，所以(a－1)(b－1)＝1，化简得，a＋b＝ab，即＋＝1，所以a＋b＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当a＝b时取“＝”，而由已知a≠b，故选B.
2．(2011·温州十校模拟)已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0,8)
C．(2,8) D．(－∞，0)
[答案] B
[解析] 当m≤0时，显然不合题意；当m>0时，f(0)＝1>0，①若对称轴≥0即04，只要Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)<0即可，即40，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．至少1个
[答案] D
[解析] 在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，a>1时，如图(1)，00，所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则
解得a＋1≤b≤8＋2a.因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a＝1,2≤b≤10，故b＝2，b＝4，b＝8.a＝2,3≤b≤12，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝3,4≤b≤14，故b＝4，b＝8，b＝12.a＝4,5≤b≤16，故b＝8，b＝12.根据古典概型可得有零点的概率为.
7．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f(x)＝若方程f(x)－m＝0有且仅有两个实数根，则实数m的取值范围是( )
A．－10时，f(x)＝x3－3x＋1，∴f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴00，f(x)单调递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－1，∴当m＝1时，直线y＝m与函数f(x)的图象有两个交点，当－18时，在x＝a时，矩形面积取最大值u＝a(16－a)，在[a,12]上为减函数，故选C.
9．(2012·湖南文)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，00.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为( )
A．2 B．4 C．5 D．8
[答案] B
[解析] 本题考查函数奇偶性，利用导数研究函数单调性，图象交点个数等．
由x∈(0，π)，x≠时，(x－)f ′(x)> 0知，
当x∈(0，)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．
当x∈(，π)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．
当x∈(－π，0)时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，则画出函数y＝f(x)示意图如下：
而y＝f(x)－sinx的零点个数，即f(x)＝sinx的根，即y＝sinx与y＝f(x)图象交点个数．由图象知有4个交点．
10．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0.
①有三个实根
②当x<－1时，恰有一实根
③当－11时，恰有一实根
正确的有________．
[答案] ①②
[解析] ∵f(－2)＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0，
即f(－2)·f(－1)<0，
∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1)上恰有一个实根．所以②正确．
又∵f(0)＝0.01>0，结合图象知f(x)＝0在(－1,0)上没有实数根，所以③不正确．
又∵f(0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f(1)>0.所以f(x)＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根．∴f(x)＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．
由f(1)>0结合图象知，f(x)＝0在(1，＋∞)上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．
11．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为107，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能最快完成全部任务？
[分析] 弄清题意，建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系，转化为求函数的最值问题．
[解析] 设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为P(x)＝，
制作200把椅子所需时间为
Q(x)＝＝，
完成全部任务所需的时间为
P(x)与Q(x)的最大值F(x)．
为求得F(x)的最小值，需满足
P(x)＝Q(x)，即＝，解得x＝12.5，
考虑到x表示人数，所以x∈N*.
∵P(12)>P(13)，Q(12)F(13)．
所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．
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