1.(文)(2011·青岛质检)设f(x)＝xlnx，若f ′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e C. D．ln2
[答案] B
[解析] f ′(x)＝1＋lnx，∴f ′(x0)＝1＋lnx0＝2，
∴lnx0＝1，∴x0＝e，故选B.
(理)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f ′(1)的值是( )
A. B．1 C. D．2
[答案] D
[解析] 由条件知，y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率f ′(1)＝，又点(1，f(1))在切线x－2y＋1＝0上，
∴f(1)＝1，∴f(1)＋2f ′(1)＝1＋2×＝2.
2．(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y＝x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．4 B．3 C．2 D.
[答案] C
[解析] 由条件知，k＝y′＝x＝，∴x＝2.
(理)(2012·乌鲁木齐地区二诊)直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋lnx相切，则b的值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．1
[答案] B
[解析] 设切点(a，－a＋lna)，y′＝－＋，
∴－＋＝，a＝1，故切点(1，－)在直线y＝x＋b上，有－＝＋b，∴b＝－1.
3．(文)(2011·皖南八校联考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为 ( )
A．－3 B．9
C．－15 D．－7
[答案] C
[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.
又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，
∴b＝3－2k＝3－18＝－15.
(理)(2011·广东华南师大附中测试)曲线y＝2x2在点P(1，2)处的切线方程是( )
A．4x－y－2＝0 B．4x＋y－2＝0
C．4x＋y＋2＝0 D．4x－y＋2＝0
[答案] A
[解析] ∵k＝y′|x＝1＝4x|x＝1＝4，∴切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
4．已知y＝tanx，x∈，当y′＝2时，x等于( )
A. B.π
C. D.
[答案] C
[解析] y′＝(tanx)′＝′＝＝＝2，∴cos2x＝，∴cosx＝±，
∵x∈，∴x＝.
5．(文)(2011·山东淄博一中期末)曲线y＝x3＋x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A．1 B.
C. D.
[答案] B
[解析] ∵y′＝x2＋1，∴k＝2，切线方程y－＝2(x－1)，即6x－3y－2＝0，令x＝0得y＝－，令y＝0得x＝，∴S＝××＝.
(理)(2012·烟台调研)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B．－2
C．－ D.
[答案] B
[解析] ∵f ′(x)＝＝－，
∴f ′(3)＝－，由条件知，－×(－a)＝－1，
∴a＝－2.
6．(文)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f ′(0)＝( )
A．26 B．29 C．212 D．215
[答案] C
[解析] f ′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，
所以f ′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.
(理)(2013·辽宁大连二十四中上学期期中考试)设函数f(x)＝sin－1(ω>0)的导函数f ′(x)的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
[答案] A
[解析] f ′(x)＝ωcos的最大值为3，
即ω＝3，
∴f(x)＝sin－1.
由3x＋＝＋kπ得，x＝＋ (k∈Z)．
故A正确．
7．设θ为曲线y＝x3＋3x2＋ax＋2的切线的倾斜角，且所有θ组成的集合为[，)，则实数a的值为________．
[答案] 4
[解析] 设切线的斜率为k，
则k＝y′＝3x2＋6x＋a，
又∵k＝tanθ，θ∈[，)，
∴k∈[1，＋∞)．
又k＝3(x＋1)2＋a－3，
∴当x＝－1时，k取最小值为a－3＝1.
∴a＝4.
8．(文)(2011·北京模拟)已知函数f(x)＝3x3＋2x2－1在区间(m,0)上总有f ′(x)≤0成立，则m的取值范围为________．
[答案] [－，0)
[解析] ∵f ′(x)＝9x2＋4x≤0在(m,0)上恒成立，且f ′(x)＝0的两根为x1＝0，x2＝－，∴－≤m<0.
(理)设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f ′(x)，若f ′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．
[答案] y＝－3x
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又∵f ′(x)为偶函数，∴f ′(－x)＝f ′(x)，
即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)
对任意x∈R都成立，∴a＝0，
∴f ′(x)＝3x2－3，f ′(0)＝－3，
∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.
9．(2011·济南模拟)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
[答案] －2
[解析] 点(1,1)在曲线y＝xn＋1(n∈N*)上，点(1,1)为切点，y′＝(n＋1)xn，故切线的斜率为k＝n＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得切点的横坐标为xn＝，故a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1x2…x99)＝lg(××…×)＝lg＝－2.
10．(文)设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0. 若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.
[解析] ∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P(0，d)，
又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4；
又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，从而c＝12；
又函数在x＝2处取得极值0，所以
即
解得a＝2，b＝－9，
所以所求函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.
(理)已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.
(1)求a、b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．
[解析] (1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，
所以f ′(x)＝2ax＋.
又函数f(x)在x＝1处有极值，
所以即
可得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，
且f ′(x)＝x－＝.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．
能力拓展提升
11.(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数y＝－x2＋1(01} D．{x|x>1}
[答案] D
[解析] 令φ(x)＝f(x)－－，
则φ′(x)＝f ′(x)－<0，∴φ(x)在R上是减函数，
∵φ(1)＝f(1)－－＝1－1＝0，
∴φ(x)＝f(x)－－<0的解集为{x|x>1}，选D.
13．(文)二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f ′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f ′(x)＝2ax＋b，由于f ′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x＋)2－，顶点(－，－)在第三象限，故选C.
(理)函数f(x)＝xcosx的导函数f ′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为( )
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝xcosx，∴f ′(x)＝cosx－xsinx，
∴f ′(－x)＝f ′(x)，∴f ′(x)为偶函数，排除C；
∵f ′(0)＝1，排除D；
由f ′＝－<0，f ′(2π)＝1>0，排除B，故选A.
14．(2011·朝阳区统考)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，0)
[解析] 由题意，可知f ′(x)＝3ax2＋，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0?a＝－(x>0)?a∈(－∞，0)．
15．(文)已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[解析] y＝x3＋，则y′＝x2.
(1)由题意可知点P(2,4)为切点，
y′|x＝2＝22＝4，
所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)由题意可知点P(2,4)不一定为切点，故设切点为(x0，x＋)，
y′|x＝x0＝x，
曲线过点P(2,4)的切线方程为y－(x＋)＝x(x－x0)，
所以4－(x＋)＝x(2－x0)，
x－3x＋4＝0?(x＋1)－3(x－1)＝0?(x0＋1)(x－4x0＋4)＝0.解得x0＝－1或x0＝2，
即切点为(－1,1)或(2,4)．
所以曲线过点P(2,4)的切线方程为x－y＋2＝0和4x－y－4＝0.
(理)设函数f(x)＝ax＋的图象在点M(，f())处的切线方程为2x－3y＋2＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[解析] (1)因为切点在切线上，
所以将点M坐标代入切线方程解得f()＝.
∵f(x)＝ax＋，∴f ′(x)＝a－，
根据题意，得关于a，b的方程组
解得
所以f(x)的解析式为f(x)＝x＋.
(2)由f ′(x)＝1－(x≠0)，
令f ′(x)<0，解得－10，f ′(a)＝a2－ab＝a(a－b)<0，
f ′(b)＝b2－ab＝b(b－a)>0，
∴f ′(x)＝0在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个根．
∵s0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：f(x)≥g(x) (x>0)．
[解析] (1)设y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)的公共点为(x0，y0)，∴x0>0.
∵f ′(x)＝x＋2a，g ′(x)＝，
由题意f(x0)＝g(x0)，且f ′(x0)＝g ′(x0)．
∴
由x0＋2a＝得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
则有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.
令h(a)＝a2－3a2lna (a>0)，
则h′(a)＝2a(1－3lna)．
由h′(a)>0得，0e.
故h(a)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，
∴h(a)在a＝e时取最大值h(e)＝e.
即b的最大值为e.
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，
则F ′(x)＝x＋2a－＝ (x>0)．
故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，＋∞)为增函数，
于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.
故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，
即当x>0时，f(x)≥g(x)．
1．(2011·安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋x2，则f ′(1)＝( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
[答案] B
[解析] f ′(x)＝2f ′(1)＋2x，令x＝1得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，故选B.
2．(2011·茂名一模)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．4 B．－
C．2 D．－
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f ′(x)＝g′(x)＋2x，
∴f ′(1)＝g′(1)＋2，由条件知，g′(1)＝2，∴f ′(1)＝4，故选A.
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4．(2011·湖南湘西联考)下列图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f ′(x)的图象，则f(－1)＝( )
A. B．－
C. D．－
[答案] B
[解析] f ′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∵a≠0，
∴其图象为最右侧的一个．
由f ′(0)＝a2－1＝0，得a＝±1.
由导函数f ′(x)的图象可知，a<0，
故a＝－1，f(－1)＝－－1＋1＝－.
5．(2011·广东省佛山市测试)设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f ′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当af(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
[答案] C
[解析] 因为f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′，所以[f(x)g(x)]′<0，所以函数y＝f(x)g(x)在给定区间上是减函数，故选C.
6．定义方程f(x)＝f ′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )
A．α>β>γ B．β>α>γ
C．γ>α>β D．β>γ>α
[答案] C
[解析] 由g(x)＝g′(x)得，x＝1，∴α＝1，由h(x)＝h′(x)得，ln(x＋1)＝，故知13，故γ>3，∴γ>α>β.
[点评] 对于ln(x＋1)＝，假如01矛盾；假如x＋1≥2，则≤，即ln(x＋1)≤，∴x＋1≤，∴x≤－1与x≥1矛盾．
7．(2012·衡水质量检测)已知函数f(x)＝x3－ax2＋(b－1)x＋c(a>0)，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.
(1)求b、c的值；
(2)若过点(0,3)可作曲线g(x)＝f(x)－x的三条不同切线，求实数a的取值范围．
[解析] (1)∵f ′(x)＝x2－ax＋(b－1)，
又f(0)＝1，f ′(0)＝1.
∴b＝2，c＝1.
(2)设过(0,3)与曲线g(x)＝f(x)－x相切的直线为l，切点的坐标为(t，g(t))，
又g(x)＝x3－ax2＋1，g ′(x)＝x2－ax，
则切线l的方程为y－(t3－at2＋1)＝(t2－at)(x－t)．
又直线l过点(0,3)，
∴3－t3＋at2－1＝－t3＋at2，即t3－t2＋2＝0，
又过点(0,3)可作曲线g(x)＝f(x)－x的三条不同切线．
等价于方程t3－t2＋2＝0有三个相异实根．
令h(t)＝t3－t2＋2，h′(t)＝2t2－at＝t·(2t－a)．
∵a>0，∴t，h′(t)，h(t)的变化情况如下表：
t
(－∞，0)
0
(0，)
(，＋∞)
h′(t)
＋
0
－
0
＋
h(t)
单调递增
极大值2
单调递减
极小值2－
单调递增
由h(t)的单调性知：要使h(t)＝0有三个相异实根，
当且仅当2－<0，即a>2.
∴a的取值范围是(2，＋∞)．
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