1.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f ′(x)存在，且导函数f ′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f ″(x)＝(f ′(x))′，若f ″(x)>0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凹函数，以下四个函数在(0，)上是凹函数的是( )
A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x
C．f(x)＝－x3＋2x＋1 D．f(x)＝－xe－x
[答案] D
[解析] (1)若f(x)＝sinx＋cosx，则f ′(x)＝cosx－sinx，f ″(x)＝－sinx－cosx，∴f ″(x)>0在(0，)上不成立；
(2)若f(x)＝lnx－2x，则f ′(x)＝－2，f ″(x)＝－，f ″(x)>0在(0，)上不成立；
(3)若f(x)＝－x3＋2x＋1，则f ′(x)＝－3x2＋2，f ″(x)＝－6x，f ″(x)>0在(0，)上不成立；
(4)若f(x)＝－xe－x，则f ′(x)＝(x－1)e－x，f ″(x)＝(2－x)e－x，当x∈(0，)时，f ″(x)>0恒成立，故选D.
2．(2013·济南外国语学校第一学期质检)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．9
[答案] D
[解析] 函数的导数为f ′(x)＝12x2－2ax－2b，函数在x＝1处有极值，则有f ′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，所以6＝a＋b≥2，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取等号，选D.
3．(文)(2011·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f ′(x)>1，则f(x)>x的解集是( )
A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] 令F(x)＝f(x)－x，则F ′(x)＝f ′(x)－1>0，所以F(x)是增函数，∵f(x)>x，∴F(x)>0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)>F(1)，∵F(x)是增函数，∴x>1，即f(x)>x的解集是(1，＋∞)．
(理)(2011·辽宁文)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
[答案] B
[解析] 由题意，令φ (x)＝f(x)－2x－4，则
φ′(x)＝f ′(x)－2>0.
∴φ(x)在R上是增函数．
又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0，
∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B.
4．(文)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a、b、c的值为( )
A．a＝－，b＝0，c＝－
B．a＝，b＝0，c＝－
C．a＝－，b＝0，c＝
D．a＝，b＝0，c＝
[答案] C
[解析] f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以由题意得
即
解得a＝－，b＝0，c＝.
(理)(2012·潍坊模拟)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋2a·bx＋1在R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是( )
A．[0，] B．(0，]
C．(，] D．(，π]
[答案] D
[解析] 据题意知，f ′(x)＝x2＋2|a|x＋2a·b，若函数存在极值，必有(2|a|)2－4×2a·b>0，整理可得|a|2>2a·b，故cos〈a，b〉＝<＝，解得<〈a，b〉≤π.
5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′(x)的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x)≤0，在(－∞，0)上f ′(x)≥0，故选D.
6．(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2010的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵f ′(x)＝2ax，∴f(x)在点A处的切线斜率为f ′(1)＝2a，由条件知2a＝8，∴a＝4，
∴f(x)＝4x2－1，
∴＝＝·
＝
∴数列的前n项和Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋
＝＝，∴S2010＝.
7．(2011·惠州三模)已知函数f(x)＝＋lnx，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围为________．
[答案] [1，＋∞)
[解析] ∵f(x)＝＋lnx，
∴f ′(x)＝(a>0)，
∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，
∴f ′(x)＝≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，
∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，
即a≥对x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≥1.
8．(文)函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f ′(x)在(a，b)上的图象如图，则y＝f(x)在区间(a，b)上极大值的个数为________．
[答案] 2
[解析] 由f ′(x)在(a，b)上的图象可知f ′(x)的值在(a，b)上，依次为＋－＋－＋，∴f(x)在(a，b)上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f(x)在(a，b)上的极大值点有两个．
[点评] 应注意题设中给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，在f ′(x)的图象上，位于x轴上方部分使f ′(x)>0，f(x)单调增，位于x轴下方部分，使f ′(x)<0，f(x)单调减，f(x)的极值点是f ′(x)的图象与x轴的交点，千万要注意，不要把f ′(x)的单调性误以为是f(x)的单调性．请再练习下题：
(2011·绵阳模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断．
①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x＝2是f(x)的极小值点．
其中，所有正确判断的序号是________．
[答案] ②③
[解析] 由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：
(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；
(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．
故②③正确．
(理)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则实数a的值为________．
[答案] 1
[解析] ∵f ′(x)＝－a，
∴f ′(1)＝－a.
由题知－a＝－，
解得a＝1.
[点评] 函数f(x)在点(x0，y0)处切线l的斜率为f ′(x0)，若l与l1平行(或垂直)，则f ′(x0)＝kl1(或f ′(x0)·kl1＝－1)．请再练习下题：
已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．
[答案] 0或－
[解析] 由条件知，2x0＝－3x，
∴x0＝0或－.
9．(2012·湖南长郡中学一模)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)＝5＋cosx，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________．
[答案] (1，)
[解析] ∵导函数是偶函数，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1,1)，又由导数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有( )
A．0个零点 B．1个零点
C．2个零点 D．3个零点
[答案] B
[解析] f ′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)＝0?x1＝0，x2＝2a>4.易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，由零点判定定理知，函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有一个零点．
12．(2011·南开区质检)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
[答案] A
[解析] ∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，
又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，
∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，
∴或∴ad＝2.
13．(文)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f ′(x)是f(x)的导函数，则函数F(x)＝f(x)·f ′(x)＋f 2(x)的最大值是( )
A．1＋ B．1－
C. D．－
[答案] A
[解析] 依题意，得f ′(x)＝cosx－sinx，
所以F(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＋(sinx＋cosx)2＝sin(2x＋)＋1，
所以F(x)的最大值是1＋.
(理)(2013·陕西西工大附中第三次适应性训练)已知可导函数f(x)(x∈R)满足f ′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)和eaf(0)的大小关系为( )
A．f(a)eaf(0)
C．f(a)＝eaf(0) D．f(a)≤eaf(0)
[答案] B
[解析] 令F(x)＝，
则F′(x)＝>0，
∴F(x)为增函数，
∵a>0，∴F(a)>F(0)，
即>f(0)，
∴f(a)>eaf(0)，故选B.
14．(2011·浙江五校联考)已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝________.
[答案] 4
[解析] 由题可设f(x)＝x2－9x＋c(c∈R)，又f(0)的值为整数即c为整数，∴f(n)＝n2－9n＋c为整数，f(n＋1)＝(n＋1)2－9(n＋1)＋c＝n2－7n＋c－8为整数，又x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，∴n2－7n＋c－8＝n2－9n＋c，即n＝4.
15．(文)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.
(1)求a、b、c的值；
(2)求函数的递减区间．
[解析] (1)函数的图象经过(0,0)点，∴c＝0.
又图象与x轴相切于(0,0)点，y′＝3x2＋2ax＋b，
∴b＝0，∴y＝x3＋ax2，y′＝3x2＋2ax.
∵当x＝－a时，函数有极小值－4.
∴3＋a2＝－4，得a＝－3.
(2)y′＝3x2－6x<0，解得00，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．
当a>0时，由f ′(x)＝0得x＝±.
当x∈(－∞，－)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增．
故x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
16．(文)设函数g(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，在其图象上一点P(x，y)处的切线的斜率记为f(x)．
(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为－2和4，求f(x)的表达式；
(2)若g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，求a2＋b2的最小值．
[解析] (1)根据导数的几何意义知f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b，由已知－2,4是方程x2＋ax－b＝0的两个实根，由韦达定理
∴∴f(x)＝x2－2x－8.
(2)g(x)在区间[－1,3]上是单调递减函数，所以在[－1，3]区间上恒有f(x)＝g′(x)＝x2＋ax－b≤0，
即f(x)＝x2＋ax－b≤0在[－1,3]上恒成立
这只需满足即可，也即而a2＋b2可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点(－2,3)距离原点最近．所以当时，a2＋b2有最小值13.
(理)(2011·天津文)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.
(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当t≠0，求f(x)的单调区间；
(3)证明：对任意t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点．
[解析] (1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f ′ (x)＝12x2＋6x－6，f ′(0)＝－6，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.
(2)f ′(x)＝12x2＋6tx－6t2，令f ′(x)＝0，解得x＝－t或x＝，因为t≠0，以下分两种情况讨论：
①若t<0，则<－t，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－t，＋∞)
f ′(x)
＋
－
＋
f(x)
↗
↘
↗
所以，f(x)的单调递增区间是，(－t，＋∞)；f(x)的单调递减区间是.
②若t>0，则－t<，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－t)
f ′(x)
＋
－
＋
f(x)
↗
↘
↗
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，：f(x)的单调递减区间是，
(3)证明：由(2)可知，当t>0时，f(x)在内单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
①当≥1，即t≥2时，f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
f(0)＝t－1>0，f(1)＝－6t2＋4t＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t∈[2，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点．
②当0<<1，即00，
所以f(x)在内存在零点．
若t∈(1,2)，f＝－t3＋(t－1)<－t3＋1<0，
f(0)＝t－1>0，
所以f(x)在内存在零点．
所以，对任意t∈(0,2)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点，
综上，对任意t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内均存在零点．
1．(2012·河南省洛阳市高三年级统一考试)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f ′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为( )
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.
2．设曲线y＝x2＋1上任一点(x，y)处的切线的斜率为g(x)，则函数y＝g(x)cosx的部分图象可以为( )
[答案] A
[解析] g(x)＝(x2＋1)′＝2x，∴y＝g(x)·cosx＝2xcosx，显然y＝2xcosx为奇函数，排除B、D，且在原点右侧附近，函数值大于零．排除C.
3．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为图中的( )
[答案] D
[解析] 当y＝f(x)为增函数时，y＝f ′(x)>0，当y＝f(x)为减函数时，y＝f ′(x)<0，可判断D成立．
4．(2012·深圳第一次调研)已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 当x<0时，由导函数f ′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x>0时，由导函数f ′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项符合题意．
5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a、b，若a0，∴a·f(b)≤b·f(a)．
[点评] 观察条件式xf ′(x)＋f(x)≤0的特点，可见不等式左边是函数y＝xf(x)的导函数，故可构造函数y＝xf(x)或y＝通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：
已知a，b是实数，且eba
B．abe时，f ′(x)<0，∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减．
∵ef(b)，即>，
∴blna>alnb，∴lnab>lnba，∴ab>ba.
6．(2011·安徽池州一中期末)已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．
[答案] b<－1或b>3
[解析] y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，
∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是
b<－1或b>3.
7．已知f(x)＝lnx＋x2－bx.
(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
(2)当b＝－1时，设g(x)＝f(x)－2x2，求证函数g(x)只有一个零点．
[解析] (1)∵f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，
即b≤＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴只需b≤min，
∵x>0，∴＋2x≥2，当且仅当x＝时取“＝”，
∴b≤2，∴b的取值范围为(－∞，2]．
(2)当b＝－1时，g(x)＝f(x)－2x2＝lnx－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，
∴g′(x)＝－2x＋1
＝－＝－，
令g′(x)＝0，即－＝0，
∵x>0，∴x＝1，
当00；当x>1时，g′(x)<0，
∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，
∴当x≠1时，g(x)
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