1.(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A. B. C. D．2
[答案] C
[解析] 设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝a2h，∴h＝，表面积S＝a2＋3ah＝a2＋，
由S′＝a－＝0，得a＝，故选C.
(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )
A.和R B.R和R
C.R和R D．以上都不对
[答案] B
[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4 (0＜x＜R)，
l′＝2－，令l′＝0，解得x＝R.
当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0.
所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
[答案] C
[解析] ∵y＝－x3＋81x－234，
∴y′＝－x2＋81(x>0)．
令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0，则满足2f(x)1} D．{x|x>1}
[答案] B
[解析] 令g(x)＝2f(x)－x－1，
∵f ′(x)>，∴g′(x)＝2f ′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，
∴当x<1时，g(x)<0，即2f(x)0和x>0，得00，∴ax2＋2x－1>0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a<0时，只要Δ＝4＋4a>0，∴－1－1.
解法2：f ′(x)＝－ax－2＝，
由题意可知f ′(x)<0在(0，＋∞)内有实数解．
即1－ax2－2x<0在(0，＋∞)内有实数解．
即a>－在(0，＋∞)内有实数解．
∵x∈(0，＋∞)时，－＝(－1)2－1≥－1，∴a>－1.
(理)(2011～2012·黄冈市期末)对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f ′(x)是函数y＝f(x)的导数，f ″(x)是f ′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，求：
(1)函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为________；
(2)计算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()＝________.
[答案] (1)(，1) (2)2013
[解析] (1)f ′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x＝，f()＝×()3－×()2＋3×－＝1，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(，1)．
(2)∴f()＋f(1－)＝f()＋f()＝2(k＝1，2，…，1007)，
∴f()＋f()＋…＋f()＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＋f()＝2×1006＋1＝2013.
9．有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？
[分析] 桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同，在保持铁桶容积不变的前提下，使总造价最小．问题转化为V一定求总造价y的最小值，选取恰当变量(圆柱高h或底半径r)来表示y即变为函数极值问题．
[解析] 设圆柱体高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
由于V＝πr2h，得h＝，所以y＝4mπr2＋ (r>0)．
所以，y′＝8mπr－.
令y′＝0，得r＝，此时，h＝＝4.
该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在，当r＝时，y有最小值，即hr＝4时，总造价最小．
10．(文)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？
[解析] 如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，
由于x2＋x2＋h2＝d2，
∴x2＝(d2－h2)．
∴球内接正四棱柱的体积为
V＝x2·h＝(d2h－h3)，00，∴cosθ<，∴选D.
[点评] 若f(x)为三次函数，f(x)在R上有极值，则f ′(x)＝0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一点要特别注意，如f(x)＝x3，f ′(x)＝x2＝0有实根x＝0，但f(x)在R上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．
12．如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为( )
[答案] A
[解析] ∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，
∴k＝g(x)＝xcosx，易知其图象为A.
13．函数f(x)＝2x3＋x2－x＋1的图象与x轴交点个数为________个．
[答案] 1
[解析] f ′(x)＝6x2＋x－1＝(3x－1)(2x＋1)，当x<－时，f ′(x)>0，当－时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－)上单调递增，在(－，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
∴当x＝－时，f(x)取到极大值，当x＝时，f(x)取到极小值，故f(x)的图象与x轴只有一个交点．
14．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
[答案]
[解析] 设DE＝x，
则梯形的周长为：3－x，
梯形的面积为：(x＋1)·(1－x)＝(1－x2)，
∴s＝＝·，x∈(0,1)，
设h(x)＝，h′(x)＝.
令h′(x)＝0，得：x＝或x＝3(舍)，
∴h(x)最小值＝h＝8，
∴s最小值＝×8＝.
15．(文)甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q＝＝－＋6000 (00；当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
16．(文)
用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m2的正四棱锥形有盖容器(如右图)．设容器的高为hm，盖子边长为am.
(1)求a关于h的函数解析式；
(2)设容器的容积为Vm3，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．(容器的厚度忽略不计)
[解析] (1)如右图，作PO⊥平面ABCD，O为垂足，作OE⊥BC于E，连结PE，则PE⊥BC，正四棱锥的全面积为
2＝4××a×＋a2.
所以a＝ (h>0)．
(2)V＝a2h＝·(h>0)，
V′＝·＝.
所以当00.所以V(h)在(0,1]上为增函数．
当h>1时，V′<0，所以V(h)在[1，＋∞)上为减函数．
故h＝1为函数V(h)的唯一极大值点也是最大值点，
∴Vmax＝.
答：当高h＝1m时，容积取最大值m3.
(理)如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？
[解析] 由题知，边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分．
以O点为原点，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(0，)，M(，)．
所以边缘线OM所在抛物线的方程为y＝x2(0≤x≤)．
要使如图的五边形ABCEF面积最大，则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为P(t，t2)．
则直线EF的方程为y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2，
由此可求得点E，F的坐标分别为E(，)，F(0，－t2)．
所以S△DEF＝S(t)＝··(＋t2)
＝·，t∈(0，]．
所以S′(t)＝·
＝＝，
显然函数S(t)在(0，]上是减函数，在(，]上是增函数．所以当t＝时，S△DEF取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．
此时点E、F的坐标分别为E(，)，F(0，－)．
此时沿直线EF划线可使五边形ABCEF的面积最大．
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
[答案] C
[解析] 设f ′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，
当x0，f(x)为增函数，
当x10，∴x＝8.
因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，
所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.
即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省．
5．(2011·陕西文)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f ′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g()的大小关系；
(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
[解析] ∵f(x)＝lnx，∴f ′(x)＝，g(x)＝lnx＋.
∴g′(x)＝，令g′(x)＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，∴(0,1)是g(x)的单调减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.∴(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，
因此当x＝1时g(x)取极小值，且x＝1是唯一极值点，从而是最小值点．
所以g(x)最小值为g(1)＝1.
(2)g()＝－lnx＋x
令h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，
则h′(x)＝－，
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()，
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时h′(x)<0，h′(1)＝0，所以h(x)在(0，＋∞)单调递减，
当x∈(0,1)时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g()，
当x∈(1，＋∞)时，h(x)g()；
当x＝1时，g(x)＝g()；
当x∈ (1，＋∞)时，g(x)0成立等价于g(a)－1<，即lna<1，解得0xln2对任意x>0恒成立，现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t∈(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．
[解析] (1)∵f(t)＝·100%(t为学习时间)，且f(2)＝60%，
则·100%＝60%，解得a＝4.
∴f(t)＝·100%＝·100%(t≥0)，
∴f(0)＝·100%＝37.5%，
f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.
(2)令学习效率指数＝y，
则y＝＝＝(t>0)，
现研究函数g(t)＝t＋的单调性，
由于g′(t)＝1＋＝(t>0)，
又已知2x>xln2对任意x>0恒成立，即2t－tln2>0，则g′(t)>0恒成立，
∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，且g(t)为正数．
∴y＝＝(t>0)在(0，＋∞)上为减函数，
而y|t＝1＝＝，y|t＝2＝＝，
即y＝∈(，)，
故所求学习效率指数的取值范围是(，)．
7．(2012·延边州质检)已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围；
(3)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[解析] (1)当a＝1时，由f ′(x)＝2x＋1－＝＝，
∵函数f(x)＝x2＋x－lnx的定义域为(0，＋∞)，
∴当x∈(0，]时，f ′(x)≤0，当x∈[，＋∞)时，f ′(x)≥0，
所以函数f(x)＝x2＋x－lnx的单调递减区间为(0，]单调递增区间为[，＋∞)．
(2)f ′(x)＝2x＋a－＝≤0在[1,2]上恒成立，
令h(x)＝2x2＋ax－1，有得，得a≤－.
(3)假设存在实数a，使g(x)＝ax－lnx(x∈( 0，e])有最小值3，g′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，∴g(x)无最小值．
②当0<
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