1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是(　　) A．S＝(x2－x)dx　　　　 B．S＝(x－x2)dx C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy [答案]　B [分析]　根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]　两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝(x－x2)dx. 2．如图，阴影部分面积等于(　　)
A．2 B．2－ C. D. [答案]　C [解析]　图中阴影部分面积为 S＝ (3－x2－2x)dx＝(3x－x3－x2)|＝. 3.dx＝ (　　) A．4π B．2π C．π D. [答案]　C [解析]　令y＝，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S＝×π×22＝π.
4.
已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(　　) A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．在t1时刻，甲车在乙车后面 C．在t0时刻，两车的位置相同 D．t0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]　A [解析]　判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A. 5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x，y)|－≤x≤，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是(　　) A. B. C.－1 D. [答案]　D [解析]　平面区域Ω是矩形区域，其面积是，在这个区
6．
(sinx－cosx)dx的值是(　　) A．0　　　　B.　　 　C．2　　　　D．－2 [答案]　D [解析]　
(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)
＝－2. 7．(2010·惠州模拟)(2－|1－x|)dx＝________. [答案]　3 [解析]　∵y＝， ∴(2－|1－x|)dx＝(1＋x)dx＋(3－x)dx ＝(x＋x2)|＋(3x－x2)|＝＋＝3. 8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________. [答案]　－1或 [解析]　∵－1f(x)dx＝－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|＝4，－1f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋4a＋2＝4， ∴a＝－1或. 9．已知a＝∫0(sinx＋cosx)dx，则二项式(a－)6的展开式中含x2项的系数是________． [答案]　－192 [解析]　由已知得 a＝∫0(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|0＝(sin－cos)－(sin0－cos0)＝2， (2－)6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×C×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×C×25＝－192. 10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段AB的中点P的轨迹方程． [解析]　设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设a0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为 g()＝e＋1－2e＝(－1)2.故阴影部分的面积的最小值为(－1)2. 15．求下列定积分． (1)－1|x|dx; (2)cos2dx； (3)∫dx. [解析]　(1)－1|x|dx＝2xdx＝2×x2|＝1. (2)cos2dx＝dx＝x|＋sinx|＝. (3)∫dx＝ln(x－1)|＝1. 16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．
[解析]　f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0， ∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)． ∴S阴影＝[0－(－x3＋ax2)]dx ＝(x4－ax3)|＝a4＝， ∵a<0，∴a＝－1. 1．(2011·龙岩质检)已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求
f(x)dx的值，结果是(　　) A.＋ B．π C．1 D．0 [答案]　B [解析]　
f(x)dx＝
sin5xdx＋
1dx，由于函数y＝sin5x是奇函数，所以
sin5xdx＝0，而
1dx＝x|－＝π，故选B. 2．若函数f(x)＝的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为(　　) A. B. C．1 D. [答案]　D [解析]　由图可知a＝＋cosxdx＝＋sinx|0＝.
3．对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图所示，则?sinxdx＝________.
[答案]　 [解析]　∵sinxdx＝－cosx|＝2>， ∴?sinxdx＝?2＝＝. 4．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________． [答案]　 [解析]　f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝(＋cx)|＝＋c，故＋c＝ax＋c，即ax＝，又a≠0，所以x＝，又0≤x0≤1，所以x0＝.故填. 5．设n＝(3x2－2)dx，则(x－)n展开式中含x2项的系数是________． [答案]　40 [解析]　∵(x3－2x)′＝3x2－2， ∴n＝(3x2－2)dx＝(x3－2x)| ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x－)5的通项公式为Tr＋1＝Cx5－r(－)r ＝(－2)rCx，令5－＝2，得r＝2， ∴x2项的系数是(－2)2C＝40.

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