1.已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a B.a
C.a D．2a
[答案] B
[解析] 由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2，得AB＝a，故选B.
2．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )
A．20m B．20m
C．20(1＋)m D．30m
[答案] A
[解析] 如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB＝20m，所以BM＝20m.
又在Rt△AMD中，
DM＝20m，∠ADM＝30°，
∴AM＝DMtan30°＝(m)，
∴AB＝AM＋MB＝＋20＝20m.
3．(2012·东北三校模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这艘船的速度是每小时( )
A．5n mile B．5n mile
C．10n mile D．10n mile
[答案] C
[解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是＝10(n mile/h)．
4．一艘海轮从A处出发，以每小时40n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是( )
A．10n mile B．10n mile
C．20n mile D．20n mile
[答案] A
[解析] 如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，
由正弦定理得＝，∴BC＝10，故选A.
5.(2012·厦门质检)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝( )
A. B．2－
C.－1 D.
[答案] C
[解析] 在△ABC中，由正弦定理可知，
BC＝＝＝50(－)，
在△BCD中，sin∠BDC＝
＝＝－1.
由题图知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.
6.如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5n mile的C处，则两艘轮船之间的距离为( )
A．5n mile B．2n mile
C.n mile D．3n mile
[答案] C
[解析] 连接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD中，AD＝3，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝.
7．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m．( )
A．237 B．227
C．247 D．257
[答案] A
[解析]
如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°，
∵AC＝，
∴AB＝AC·sin60°
＝
＝≈237.∴选A.
8．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
[答案] 30
[解析] 如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在三角形AMB中，由正弦定理得＝，
解得BM＝30(km)．
9．(文)如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.
[答案]
[解析] 由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴＝，∴x＝.
(理)(2011·洛阳部分重点中学教学检测)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为________．
[答案]
[解析] 由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，在△OPR中，由正弦定理得＝，在△ORQ中，＝，两式两边同时相除得＝tan∠OPQ＝.
10．(文)(2011·广东江门市模拟)如图，一架飞机原计划从空中A处直飞相距680km的空中B处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B处．已知sinθ＝.
(1)求tanC；
(2)求新的飞行路程比原路程多多少km.
(参考数据：＝1.414，＝1.732)
[解析] (1)因为sinθ＝，θ是锐角，
所以cosθ＝，所以tanθ＝，
tanC＝tan[π－(θ＋45°)]＝－tan(θ＋45°)
＝－＝－＝－.
(2)sinC＝sin(θ＋45°)＝，
由正弦定理＝＝得，
AC＝×sin45°＝520，BC＝200，
新的飞行路程比原路程多
AC＋BC－AB＝520＋200－680＝122.8(km)．
(理)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°、距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．
[分析] 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．
[解析] 如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即36t2－9t－10＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.
此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近渔轮.
能力拓展提升
11.设F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P在双曲线上，若·＝0，||·||＝2ac(c为半焦距)，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
[答案] D
[解析] 由条件知，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，根据双曲线定义得：4a2＝(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2－4ac＝4c2－4ac，
∴a2＋ac－c2＝0，∴1＋e－e2＝0，
∵e>1，∴e＝.
12．如图，在△ABC中，tan＝，·＝0，·(＋)＝0，经过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为( )
A. B.－1
C.＋1 D.
[答案] A
[解析] ∵·＝0，∴AH⊥BC，
∵tan＝，∴tanC＝＝＝，
又∵·(＋)＝0，∴CA＝CB，
∴tanB＝tan＝cot＝2＝，
设BH＝x，则AH＝2x，∴CH＝x，AB＝x，由条件知双曲线中2c＝AH＝2x,2a＝AB－BH＝(－1)x，
∴e＝＝＝，故选A.
13．△ABC的周长是20，面积是10，A＝60°，则BC边的长等于________．
[答案] 7
[解析] 由已知得
由③得b2＋c2－a2＝bc，结合①知
(20－a)2－2cb－a2＝bc④
又由②得bc＝40，代入④得a＝7.
14.如图所示，海中小岛A周围38n mile内有暗礁，一轮船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30n mile后，在C处测得小岛在船的南偏东45°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
[解析] 在△ABC中，BC＝30，
B＝30°，∠ACB＝135°，
∴∠BAC＝15°.
由正弦定理知＝，
即＝.
AC＝＝60cos15°＝60cos(45°－30°)
＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(＋) (n mile)．
于是，A到BC所在直线的距离为：
ACsin45°＝15(＋)×＝15(＋1)≈40.98(n mile)．
它大于38n mile，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．
15．(2011·辽宁文，17)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
[解析] (1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.
故sinB＝sinA，所以＝.
(2)由余弦定理知c2＝b2＋a2，得cosB＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cosB>0，故cosB＝，所以B＝45°.
16.货轮在海上自B点以40 km/h的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后，船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，问货轮到达C点时，与灯塔A的距离．
[解析] 在△ABC中，BC＝40×0.5＝20(km)，
∠ABC＝140°－110°＝30°，
∠ACB＝65°＋(180°－140°)＝105°，
∠BAC＝45°，
根据正弦定理，＝，
AC＝＝＝10，
货轮到达C点时与灯塔的距离是10km.
1．(2011·辽宁铁岭六校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)且在[－3，－2]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则f(sinα)与f(cosβ)的大小关系是( )
A．f(sinα)>f(cosβ)
B．f(sinα)α>－β>0，∴1>sinα>sin＝cosβ>0，
∴f(sinα)>f(cosβ)．
2.如图，为了解某海塔海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值为________．
[答案]
[解析] 作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝＝＝10，
DE＝＝＝130，
EF＝＝＝150.
在△DEF中，由余弦定理，
cos∠DEF＝
＝＝.
3．(2011·广东肇庆模拟)在△ABC中，B＝，且·＝4，则△ABC的面积是________．
[答案] 6
[解析] 由已知得·＝accos＝4，
所以ac＝8，
所以△ABC的面积
S＝acsinB＝×8×＝6.
4．(2011·温州五校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC边的中点，且·＝(a2－ac)，则角B＝________.
[答案] 30°
[解析] ∵·＝(－)·＝·－·
＝·a－a·c·cosB＝a2－ac·cosB，
又·＝(a2－ac)，
∴cosB＝，∴B＝30°.
5．(2011·茂名期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．
[解析] (1)∵c＝2，C＝，
∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.
又∵△ABC的面积为，∴absinC＝，∴ab＝4.
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，
得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，
即2sinBcosA＝2sinAcosA，
∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，
当cosA＝0时，∵0
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