1.已知两座灯塔A、B与C的距离都是a,灯塔A在C的北偏东20°,灯塔B在C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.a B.a
C.a D.2a
[答案] B
[解析] 由余弦定理可知,AB2=a2+a2-2a·a·cos120°=3a2,得AB=a,故选B.
2.为测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是( )
A.20m B.20m
C.20(1+)m D.30m
[答案] A
[解析] 如图所示,四边形CBMD为正方形,而CB=20m,所以BM=20m.
又在Rt△AMD中,
DM=20m,∠ADM=30°,
∴AM=DMtan30°=(m),
∴AB=AM+MB=+20=20m.
3.(2012·东北三校模拟)一船向正北航行,看见正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南60°西,另一灯塔在船的南75°西,则这艘船的速度是每小时( )
A.5n mile B.5n mile
C.10n mile D.10n mile
[答案] C
[解析] 如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在Rt△ABC中,求得AB=5,∴这艘船的速度是=10(n mile/h).
4.一艘海轮从A处出发,以每小时40n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行,30min后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是( )
A.10n mile B.10n mile
C.20n mile D.20n mile
[答案] A
[解析] 如图,由条件可知△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,∠ACB=45°,
由正弦定理得=,∴BC=10,故选A.
5.(2012·厦门质检)如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cosθ=( )
A. B.2-
C.-1 D.
[答案] C
[解析] 在△ABC中,由正弦定理可知,
BC===50(-),
在△BCD中,sin∠BDC=
==-1.
由题图知,cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1.
6.如图,海岸线上有相距5n mile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距3n mile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5n mile的C处,则两艘轮船之间的距离为( )
A.5n mile B.2n mile
C.n mile D.3n mile
[答案] C
[解析] 连接AC,∠ABC=60°,BC=AB=5,则AC=5.在△ACD中,AD=3,AC=5,∠DAC=45°,由余弦定理得CD=.
7.在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°,再向塔底方向前进100m,又测得塔尖的仰角为60°,则此电视塔高约为________m.( )
A.237 B.227
C.247 D.257
[答案] A
[解析]
如图,∠D=45°,∠ACB=60°,DC=100,∠DAC=15°,
∵AC=,
∴AB=AC·sin60°
=
=≈237.∴选A.
8.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶4h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为________km.
[答案] 30
[解析] 如图,依题意有AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在三角形AMB中,由正弦定理得=,
解得BM=30(km).
9.(文)如图,在日本地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象,然后向右转105°,行进10 m到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135°后继续前行回到出发点,那么x=________.
[答案]
[解析] 由题知,∠CBA=75°,∠BCA=45°,∴∠BAC=180°-75°-45°=60°,∴=,∴x=.
(理)(2011·洛阳部分重点中学教学检测)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时刻物体位于P点,一分钟后,其位置在Q点,且∠POQ=90°,再过一分钟,该物体位于R点,且∠QOR=30°,则tan∠OPQ的值为________.
[答案]
[解析] 由于物体做匀速直线运动,根据题意,PQ=QR,不妨设其长度为1.在Rt△POQ中,OQ=sin∠OPQ,OP=cos∠OPQ,在△OPR中,由正弦定理得=,在△ORQ中,=,两式两边同时相除得=tan∠OPQ=.
10.(文)(2011·广东江门市模拟)如图,一架飞机原计划从空中A处直飞相距680km的空中B处,为避开直飞途中的雷雨云层,飞机在A处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行,在中途C处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B处.已知sinθ=.
(1)求tanC;
(2)求新的飞行路程比原路程多多少km.
(参考数据:=1.414,=1.732)
[解析] (1)因为sinθ=,θ是锐角,
所以cosθ=,所以tanθ=,
tanC=tan[π-(θ+45°)]=-tan(θ+45°)
=-=-=-.
(2)sinC=sin(θ+45°)=,
由正弦定理==得,
AC=×sin45°=520,BC=200,
新的飞行路程比原路程多
AC+BC-AB=520+200-680=122.8(km).
(理)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°、距离为10 n mile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
[分析] 本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间t,找出等量关系,然后解三角形.
[解析] 如图所示,根据题意可知AC=10,∠ACB=120°,设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h,并在B处与渔轮相遇,则AB=21t,BC=9t,在△ABC中,根据余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°,所以212t2=102+81t2+2×10×9t×,即36t2-9t-10=0,解得t=或t=-(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.
此时AB=14,BC=6.在△ABC中,根据正弦定理得=,
所以sin∠CAB==,
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去).
即舰艇航行的方位角为45°+21.8°=66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行,需 h才能靠近渔轮.
能力拓展提升
11.设F1、F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P在双曲线上,若·=0,||·||=2ac(c为半焦距),则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
[答案] D
[解析] 由条件知,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,根据双曲线定义得:4a2=(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2-4ac=4c2-4ac,
∴a2+ac-c2=0,∴1+e-e2=0,
∵e>1,∴e=.
12.如图,在△ABC中,tan=,·=0,·(+)=0,经过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为( )
A. B.-1
C.+1 D.
[答案] A
[解析] ∵·=0,∴AH⊥BC,
∵tan=,∴tanC===,
又∵·(+)=0,∴CA=CB,
∴tanB=tan=cot=2=,
设BH=x,则AH=2x,∴CH=x,AB=x,由条件知双曲线中2c=AH=2x,2a=AB-BH=(-1)x,
∴e===,故选A.
13.△ABC的周长是20,面积是10,A=60°,则BC边的长等于________.
[答案] 7
[解析] 由已知得
由③得b2+c2-a2=bc,结合①知
(20-a)2-2cb-a2=bc④
又由②得bc=40,代入④得a=7.
14.如图所示,海中小岛A周围38n mile内有暗礁,一轮船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30n mile后,在C处测得小岛在船的南偏东45°.如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?
[解析] 在△ABC中,BC=30,
B=30°,∠ACB=135°,
∴∠BAC=15°.
由正弦定理知=,
即=.
AC==60cos15°=60cos(45°-30°)
=60(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=15(+) (n mile).
于是,A到BC所在直线的距离为:
ACsin45°=15(+)×=15(+1)≈40.98(n mile).
它大于38n mile,所以船继续向南航行,没有触礁的危险.
15.(2011·辽宁文,17)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,asinAsinB+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
[解析] (1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=sinA.
故sinB=sinA,所以=.
(2)由余弦定理知c2=b2+a2,得cosB=.
由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.
可得cos2B=,又cosB>0,故cosB=,所以B=45°.
16.货轮在海上自B点以40 km/h的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时后,船到达C点,观测灯塔A的方位角是65°,问货轮到达C点时,与灯塔A的距离.
[解析] 在△ABC中,BC=40×0.5=20(km),
∠ABC=140°-110°=30°,
∠ACB=65°+(180°-140°)=105°,
∠BAC=45°,
根据正弦定理,=,
AC===10,
货轮到达C点时与灯塔的距离是10km.
1.(2011·辽宁铁岭六校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)且在[-3,-2]上是减函数,α、β是锐角三角形的两个内角,则f(sinα)与f(cosβ)的大小关系是( )
A.f(sinα)>f(cosβ)
B.f(sinα)α>-β>0,∴1>sinα>sin=cosβ>0,
∴f(sinα)>f(cosβ).
2.如图,为了解某海塔海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=50 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=80 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=110 m,则∠DEF的余弦值为________.
[答案]
[解析] 作DM∥AC交BE于N,交CF于M.
DF===10,
DE===130,
EF===150.
在△DEF中,由余弦定理,
cos∠DEF=
==.
3.(2011·广东肇庆模拟)在△ABC中,B=,且·=4,则△ABC的面积是________.
[答案] 6
[解析] 由已知得·=accos=4,
所以ac=8,
所以△ABC的面积
S=acsinB=×8×=6.
4.(2011·温州五校联考)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知点D是BC边的中点,且·=(a2-ac),则角B=________.
[答案] 30°
[解析] ∵·=(-)·=·-·
=·a-a·c·cosB=a2-ac·cosB,
又·=(a2-ac),
∴cosB=,∴B=30°.
5.(2011·茂名期末)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.
(1)若c=2,C=,且△ABC的面积为,求a,b的值;
(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.
[解析] (1)∵c=2,C=,
∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=4.
又∵△ABC的面积为,∴absinC=,∴ab=4.
联立方程组解得a=2,b=2.
(2)由sinC+sin(B-A)=sin2A,
得sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA,
即2sinBcosA=2sinAcosA,
∴cosA·(sinA-sinB)=0,∴cosA=0或sinA-sinB=0,
当cosA=0时,∵0
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