1.(文)(2011·广西六校联考、北京石景山检测)已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2++=0,那么( )
A.= B.=2
C.=3 D.2=
[答案] A
[解析] ∵+=2,
∴2+2=0,∴=.
(理)(2012·珠海调研)已知△ABC及其平面内点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[答案] B
[解析] 解法1:由已知条件+=-.
如图,延长AM交BC于D点,则D为BC的中点.延长BM交AC于E,延长CM交AB于F,则E、F分别为AC、AB的中点,即M为△ABC的重心.
==(+),即+=3,则m=3.
解法2:∵+=-+-=+-2=m,∴+=(m-2),
∵++=0,∴(m-2)=,∴m=3.
2.(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是( )
A.直角梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
[答案] B
[解析] 由+=0知,=,
即AB=CD,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.
又(-)·=0,∴·=0,即AC⊥BD,
因此四边形ABCD是菱形,故选B.
3.(文)如图所示,在△ABC中,=,=3,若=a,=b,则等于 ( )
A.a+b
B.-a+b
C.a+b
D.-a+b
[答案] B
[解析] ∵=3,∴=,
∵=,∴=,
∴=-=-=-(+)
=-=-
=-=b-a.
(理)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
[答案] D
[解析] 由条件易知,=,
∴=+=a+=a+(b-a)=a+b.故选D.
4.(2011·广东文)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=( )
A. B.
C.1 D.2
[答案] B
[解析] a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),因为(a+λb)∥c,所以4+4λ-6=0,所以λ=.
5.(文)( 2011·惠州模拟)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=λ+μ,则的值为( )
A.1 B.
C.2 D.
[答案] C
[解析] =+=+
=+(-)=+,
∴λ=,μ=,∴=2.
(理)(2011·厦门模拟)已知点M在平面ABC内,并且对空间任一点O,=x++,则x的值为( )
A.0 B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵x++=1,∴x=.
6.设=e1,=e2,若e1与e2不共线,且点P在线段AB上,|AP||PB|=4,如图所示,则=( )
A.e1-e2
B.e1+e2
C.e1+e2
D.e1-e2
[答案] C
[解析] =4,∴=+=5,
=+=-
=-(-)=+=e1+e2.
7.(文)
(2011·山东济南市调研)如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________.
[答案]
[解析] (如图)因为=+
=+k=+k(-)
=+k(-)
=(1-k)+,
所以1-k=m,且=,
解得k=,m=.
(理)(2011·聊城模拟)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中, λ,μ∈R,则λ+μ=________.
[答案]
[解析]
如图,∵四边形ABCD是平行四边形,且E、F分别为CD、BC中点.
∴=+
=(-)+(-)
=(+)-(+)=(+)-,
∴=(+),
∴λ=μ=,∴λ+μ=.
8.(文)(2011·合肥模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足=+,则=________.
[答案]
[解析] ∵=+,+=1,
∴A、B、C三点共线,
∵=-=-=,
∴=.
(理)(2012·四川文)设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )
A.|a|=|b|且a∥b B.a=-b
C.a∥b D.a=2b
[答案] D
[解析] 对于A,|a|=|b|,且a∥b,可知a与b共线,若反向,则不能满足结论=,对于B选项,两向量反向,而C选项a∥b,同样若反向不能满足.而D项显然满足,故选D.
[点评] 注意到是与a同向的单位向量,是与b同向的单位向量,故=?a与b同向.
9.(2012·东北三省四市联考)在△ABC中,AB=2AC=2,·=-1,若=x1+x2(O是△ABC的外心),则x1+x2的值为________.
[答案]
[解析] O为△ABC的外心,=x1+x2,·=x1·+x2·,由向量数量积的几何意义,·=||2=2,∴4x1-x2=2,①
又·=x1·+x2·,∴-x1+x2=,②
联立①②,解得x1=,x2=,∴x1+x2=.
10.(文)如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别为DC、BC的中点,已知=c,=d,试用c、d表示、.
[解析] 解法一:=-=c-,①
=-=d-,②
由①②得=(2d-c),
=(2c-d).
解法二:设=a,=b,因为M、N分别为CD、BC的中点,所以=b,=a,于是有:
解得
即=(2d-c),=(2c-d).
(理)如图,在△ABC中,AMAB=13,ANAC=14,BN与CM交于P点,且=a,=b,用a,b表示.
[分析] 由已知条件可求、,∵BN与CM相交于点P,∴B、P、N共线,C、P、M共线,因此,可以设=λ,=μ,利用同一向量的两种a,b的线性表示及a、b不共线求解;也可以设=λ,用a、b,λ来表示与,利用与共线及a、b不共线求解.解题方法很多,但无论什么方法,都要抓住“共线”来作文章.
[解析] 由题意知:==a,==b,=-=b-a,=-=a-b.
设=λ,=μ,则=b-λa,=a-μb.
∴=-=b-(b-λa)=λa+b,
=-=a-(a-μb)=a+μb,
∴λa+b=a+μb,而a,b不共线.∴λ=且=μ.∴λ=.因此=a+b.
能力拓展提升
11.(2011·山东青岛质检)在数列{an}中,an+1=an+a(n∈N*,a为常数),若平面上的三个不共线的非零向量,,满足=a1+a2010,三点A、B、C共线且该直线不过O点,则S2010等于( )
A.1005 B.1006
C.2010 D.2012
[答案] A
[解析] 由题意知,a1+a2010=1,
又数列{an}为等差数列,
所以S2010=×2010=1005,故选A.
12.(文)(2011·安徽安庆模拟)已知点P是△ABC所在平面内一点,且满足3+5+2=0,设△ABC的面积为S,则△PAC的面积为( )
A.S B.S
C.S D.S
[答案] C
[分析]
由系数3+2=5,可将条件式变形为3(+)+2(+)=0,故可先构造出+与+,假设P为P′点,取AB、BC中点M、N,则=(+),=(+),条件式即转化为与的关系.
[解析] 设AB,BC的中点分别为M,N,
则=(+),
=(+),
∵3+5+2=0,
∴3(+)=-2(+),
∴3=-2 ,即点P在中位线MN上,
∴△PAC的面积为△ABC面积的一半,故选C.
(理)(2011·东北三校联考)在△ABC中,点P是AB上的一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵=+,
∴3=2+,即2-2=-,
∴2=,
因此P为AB的一个三等分点,如图所示.
∵A,M,Q三点共线,
∴=x+(1-x)
=+(x-1)(0
【点此下载】