1.(文)(2011·重庆文)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] D
[解析] ∵a＝(1，k)，b＝(2,2)，
∴a＋b＝(3，k＋2)，
∵(a＋b)∥a，
∴1·(k＋2)＝3k，∴k＝1，∴a＝(1,1)，
∴a·b＝2＋2＝4.
(理)(2012·沈阳质检)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C. D．1
[答案] A
[解析] 本题考查向量的线性运算．据已知N为AM的中点，可得＝＝λ＋μ，整理得＝2λ＋2μ，由于点M在直线BC上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝.
2．(文)(2011·蚌埠二中质检)已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] B
[解析] ＝(2,3)，∵⊥a，
∴2(2k－1)＋3×2＝0，
∴k＝－1，∴选B.
(理)(2012·昆明一中检测)已知向量a＝(x,1)，b＝(2,1)，c＝(1，y)，若a⊥(b－c)，则y－x等于( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
[答案] B
[解析] ∵b＝(2,1)，c＝(1，y)，∴b－c＝(1,1－y)，∵a⊥(b－c)，a＝(x,1)，∴a·(b－c)＝x＋(1－y)＝0，∴y－x＝1.
3．(2011·嘉兴模拟)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
[答案] D
[解析] ∵与共线，a与b不共线，
∴λμ－1＝0，故选D.
4．(2012·湖北省孝感模拟)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．菱形
[答案] C
[解析] ∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，
∴四边形ABCD为梯形．
5．(2011·山东高考调研)已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量＝x＋y，则“0≤x≤，0≤y≤”的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析]
根据平面向量基本定理，点P只要在如图所示的区域AB1C1D1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的×＝，故所求的概率是.
6．如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设＝λ，∵E、D分别为AC、AB的中点，
∴＝＋＝－a＋b，
＝＋＝(b－a)＋λ(a－b)
＝a＋(1－λ)b，
∵与共线，∴＝，∴λ＝，
∴＝＋＝b＋＝b＋
＝a＋b，故x＝，y＝.
7．(文)(2011·杭州模拟)已知向量a＝(sinx,1)，b＝(cosx，－3)，且a∥b，则tanx＝________.
[答案] －
[解析] ∵a∥b，∴＝，
∴tanx＝－.
(理)已知a＝(2，－3)，b＝(sinα，cos2α)，α∈，若a∥b，则tanα＝________.
[答案] －
[解析] ∵a∥b，∴＝，∴2cos2α＝－3sinα，
∴2sin2α－3sinα－2＝0，
∵|sinα|≤1，∴sinα＝－，
∵α∈，∴cosα＝，∴tanα＝－.
8．(文)(2012·西安五校第二次联考)梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设＝a，＝b.若＝ma＋nb，则＝________.
[答案] －4
[解析] ＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b，∴m＝，n＝－1，∴＝－4.
(理)已知e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，点P的坐标(x，y)满足方程－y2＝1，若＝ae1＋be2(a，b∈R，O为坐标原点)，则a、b满足的一个等式是________．
[答案] 4ab＝1
[解析] 因为e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，所以＝ae1＋be2＝a(2,1)＋b(2，－1)＝(2a，a)＋(2b，－b)＝(2a＋2b，a－b)．
因为点P的坐标为(x，y)，所以＝(x，y)，
即.因为x，y满足方程－y2＝1，
所以－(a－b)2＝1，化简可得4ab＝1，
此即为a、b满足的一个等式．
9．(文)(2011·北京朝阳区模拟)如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，F为AB上一点，且＝4，若＝x＋y，则x＝________，y＝________.
[答案] 2 1
[解析]
(如图)因为＝＋
＝＋＝＋×4
＝＋2.
所以x＝2，y＝1.
(理)(2011·江苏徐州市质检)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB、AC于M、N两点，若＝x，＝y，则4x＋y的最小值为________．
[答案]
[解析]
如图所示，由题意知＝(＋)，＝，
又M，E，N三点共线，
所以＝λ＋(1－λ)(其中0<λ<1)，
又＝x，＝y，
所以(＋)＝λx＋(1－λ)y，
因此有解得x＝，y＝，
令＝t，∴t>1，
则4x＋y＝＋＝t＋
＝(t－1)＋＋≥，
当且仅当t＝，即λ＝时取得等号．
10．(文)已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、＝＋t，求
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？
(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．
[解析] (1)＝＋t＝(t＋2,3t－1)．
若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝；
若点P在y轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2；
若点P在第四象限，则，∴－22
D．a与b在a＋b方向上的投影相等
[答案] B
[解析] 注意到|a|＝|b|＝1，因此(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以(a＋b)⊥ (a－b)；注意到α－β未必属于(0，π)，因此a，b的夹角未必等于α－β；由三角形法则可知，>1，于是有|a＋b|＋|a－b|>2；结合三角形法则及一个向量在另一个向量上的投影的意义可知，a，b在a＋b方向上的投影相等．综上所述，其中不正确的说法是B，选B.
2．(2011·深圳模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )
[答案] A
[解析] ＝λa＋μb＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，
令＝(x，y)，则x－y＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ)
＝2(λ－μ)≤0，
∴点C对应区域在直线y＝x的上方，故选A.
3．(2012·北京文)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________，·的最大值为________．
[答案] 1 1
[解析] 本题考查平面向量的数量积，建立平面直角坐标系如图，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x0,0)，则＝(0，－1)，＝(1,0)，＝(x0，－1)，
∴·＝(x0，－1)(0，－1)＝1，
∴·＝x0，而0≤x0≤1，
∴·的最大值为1.
[点评] 将问题转化为坐标运算使问题迎刃而解．
4．已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，＝α，＝β，则＋＝________.
[答案] 3
[解析] 连结AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴＝＝(＋)，设＝λ，
∴－＝λ(－)，∴＝＋，
∴＋＝＋，
∴∴∴＋＝3.
5．(2011·衡阳期末)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.
[解析] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
所以得
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∵(a＋kc)∥(2b－a)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.
(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
由题意得，
解得或，∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．
6．若a，b是两个不共线的向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
[解析] 设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝－a＋b，
＝－＝tb－a.
要使A、B、C三点共线，只需＝λ.
即－a＋b＝λtb－λa.
∴有?
∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．
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